Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 142
Текст из файла (страница 142)
Заменяя в нем производные дТ дТ Т Т д дТ -:--, — равными вм по порядку величины отношениями —, — —, а —.— Х вЂ”, д7' дх, х ' дх дх [гл. х тепловые волны Видно, что при большом показателе и тепловая волна очень быстро замедляется по мере распространения. Зто связано с тем, что при распространении тепла температура падает и очень резко уменьшается коэффициент температуропроводности. Имея в виду, что средняя температура в тепловой волне порядка Т ~)/хэ, а средний ноэффициент температуропроводности у = аТ а(/'/хвс, можно записать закон распространения тепловой волны в форме, соответствующей линейной теории: хв (/)(г, При этом следует иметь в виду, что средний коэффициент температуропроводностн в этой формуле сам зависит от времени по закону 2 о аО" аО" у — — „— - „— — =- (аь)")" г ( дя)й+2 гй+2 Закон распространения тепловой волны можно получить и из уравнения тсплопроводности, заменяя приближенно производные отношениями дТ Т дТ д дТ Т"+г величин: — -~ —; —,-~ Т/хе, — Т" — -+- — —,.
Получим таким образом ду т' дл ' дт дл лот 4 аТ" г )(ц воспользовавшись соотношением Т ()/хо, придем к уже найденным законам. й 5. Автомодельная тепловая волна от мгновенного плоского источника Найдем точное рептеиис плоской задачи о распространении тепловой волны в неограниченной среде нри мгновенном выделении энергии в момент г' = 0 в плоскости х = О. Процесс описывается нелинейным уравнением теплопроводности (10.23), причем решение удовлетворяет закону сохранения энергии (10.19). Из размерностных соображений, изложенных в предыдущем параграфе, ясно, что ретпение поставленной задачи — автомодельное ").
В самом деле, единствеяная безразмерная комбинация, которую можно составить из координаты х, времени Г и параметров задачи а и (), есть (10. 24) (аО"т) +з ! 1 Величина размерности температуры есть ()/(а()' () "+т = ((/т/аг)"-"т . Поэтому регпение Т(х, г) следует искать в виде: т = (' ~,' )"+' /(5), (10. 25) где / (Э) — новая неизвестная функция. Подставляя выражение (10.25) в уравнение (10.23) и переходя к дифференцированию по автомодельной переменной, с помощью формул д/ ( д/ $ д/ ( д/ дт и+2 д5 т ' дт ~ дс (аО"г) "+т , получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции (и+ 2) — (/" — ) + з — — + / = О.
(10. 26) *) 0 понятии автомодельлоств см. 1 1(, 25 гл. Х См. также гл. Х((, о 22 АВтомОДельнАЯ теплОВАЯ ВолнА От плоского нсточникА 517 1.(а)ж=- 1 ((~) В=1. (10.29) Вычисление дает Ь= 1л /1 1' ° и+2 (л+2)2+Я 22 — л ( 2+ л) г ( — ') (10.30) (à — гамма-функция). Закон движения фронта тепловой волны З = $о есть ! оф = Зо(а(~"2)л+'. (10.31) Он, как и следовало ояондать, с точностью до численного коэффициента $о совпадает с законом, найденным в предыдущем параграфе из полукачественных соображений. Температуру в плоской тепловой волне удобно представить в форме 1 Т= Т,(1 — —,' )", (10. 32) где хф(2) — коорДината фронта, определяемая в зависимости от временп формулами (10.31), (10.30), а Т,— температура в плоскости Е=О. Ее можно выразить через среднюю температуру в волне (среднюю по нагретому объему): Т.=-'- о— (10.33) где о'= ~ (1 — 2) С22= — З $о= 0,77 и Т,=1,12Т.
Т=— олф Например, при я=5 Решение этого уравнения должно удовлетворять условиям, которые следуют из физических условий задачи: Т=О при х= ~ со или Т=О эт приз=+со и — =0 при х=О (в силу симметрии относительно плода скости х = 0) . Отсюда (Д)=0 при з=-со; — „=-0 при $=0. Ы/ (10.27) Решение уравнения (10.26), удовлетворяющее условиям (10.27), было найдено в работах (1, 2). Оно имеет вид 1 1 ! ) 2(л+2) (з' 1) (2(лч2)~) ( ) Ра) =о при $) зо, (10.28) где Зо — постоянная интегрирования. Постоянная ~о находится из уравнения сохранения энергии (10.19), которое принимает вид + +со 518 ткпловыв волны 1гл.
х При учете переменности теплоемкости профиль температуры отличается от (10.32) лишь очень немного. Действительно, профиль энергии есть Е=Е,(1 — —., ) вф Но Š— Т"", и' = (и — М)/(/т-'г-1), откуда 1 т = Т,(1 — -'.,-)" Поскольку и 5, й 0,5, это выра>кение мало отличается от (10.32) ( 1' 1 в первом случае показатель — - =. --; во втором = — ) . Также и ' 5 ' и — и 4,5)' мало отличается н новая константа $в(и') в законе распространения тепловой волны. Сам же закон распространения меняется сильнее. При и = 5 й = 0 (постоянная теплоемкость) ///,", хе 1'/", при п = 5 /с = 0,5 (т. е.
ск Тв в), 1 а) хе 1 1~/6 Профиль температуры Т/Т, в зависимод/ / Г / л/хв сти от т/хе изображен на рнс. 10.4, а для случая и = 5. Для тепловой волны с сильно зависящим от температуры коэффициентом теплопроводности характерно существование «плаж х/хв то» температуры: температура почти постоянна, выравнена теплопроводностью во всей нагретой области, за исключением сравнительно тонкого / слоя вблизи фронта, где она быстро спадает 4 Ят4лвдалие х/хв до нуля. Такая тенденция выражается тем резче, чем болыпе показатель нелияейности п. Распределение потока по координате дается выражением Рнс.
10.4. 11рофнлн температуры, потоквл диввртенааи потока в тепловой волне. „дТ Г хв Е- — Т" — -(1 — —,~~ „. дл ( ло) Т-С1 — —..; ) -à —,(хе — )1 -(хе — х) что было уже найдено раньше (см. формулу (10.22)). Поток почти линейно растет от начала х=-0 до самого края волны и быстро спадает до нуля лишь вблизи края, как показано на рис. 10.4, б. Дивергенция потока дЯ!дх почти постоянна во всей области плато. Основная область нагретого газа охлаждается почти равномерно и лишь около края волны газ нагревается за счет тепла, отнятого от основной массы газа (см. рис.
10.4, в). Процесс распространения тепла идет таким образом, что объем нагретого газа почти равномерно охлаждается и потерянная им энергия поглощается около фронта волны, за счет чего волна и захватывает все новые и новые слои холодного газа. Вблизи фронта распределентп1 температуры приближенно можно представить в виде РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА ОТ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА 519 Устремим в решении (10.25), (10.28), (10.30) показатель и к пре- делу п — > О, что соответствует переходу к линейной теплопроводности (постоянная а в уравнении (10.23) в пределе и = 0 играет роль постоян- ного коэффициента температуропроводности )4 = сопзг).
При и 0 $е — > 2()ги 1 .=- —.==-е '"', а=у, г' 4иаг т. е. приходим к известному решению линейного уравнения теплопро- водности (10.20). В заключение этого параграфа отметим, что нелинейное уравнение второго порядка (10.26) допускает группу преобразований, оставляющих уравнение инвариантным. Действительно, легко проверить непосред- ственной подстановкой, что если ввести вместо а и ) новую независимую переменную $' и функцию 1' но формулам ь' = С"й, ~' = Сз), С = сопз1, то в переменных $', 1' новое уравнение будет иметь такой же вид, как и (10.26).
Согласно теореме Ли, порядок обыкновенного дифференциальяого уравнения, допускающего однопараметрическую группу преобразований, можно понизить на единицу. Для понижения порядка удобно ввести новые переменные: у = а и1, г = )п С. В этих переменных новое уравнение содержит - только под знаком дифференциала, так что можно ввести новую переменную р = ггу1аа и исключить г, получив уравнение первого порядка в переменных р, ут и ду т и-г 4+ЗА и '1, 4+2и и,, У у р — --Вирту + — — — ру +.—.-, - р+ + у + — =-.О.
ду ' " и ' и-1-2 ' из и Следовательно, задача решения уравнения второго порядка (10.26) сводится к решению уравнения первого порядка и квадратуре. Такое положение характерно для многих автомодельных задач теории нелинейной теплопроводности *). $ 6. Распространение тепла от мгновенного точечного источника Рассмотрим сферически-симметричную задачу. Пусть в момент 1=-0 в точке г=О выделилась энергия $ зрг. Уравнение теплопроводности в атом случае имеет вид дт 1 д Г, дт. дг гз дг ( дг г (10. 34) Закон сохранения эяергии дает Т4игз г(г —..— = Д град езтз. си~ о *) А такяге и для автомодельяых задач газовой динамики. См.
об этом подробно л гл. Х!1. 520 ~гл. х ткпловыв волны (10. 35) гф )[г~ 2 где )[ — козффициент температуропроводности, соответствующий средней температуре нагретой области в момент 2. Но Т (10.37) так что газ аТ т — а(/"те "1, откуда 1 1 ,. (и() )з +згз.+з (10.38) Скорость фронта тепловой волны пропорциональна ! две гп [п0п)зп+2 а0» 1 Зп+1 „Зп+1 1З»+2 Ф (10.36) Она чрезвычайно резко уменыпается по мере распространения волны. Например, при п = 5 с[го/2[2 1/г". Точное решение уравнения теплопроводности ищем в автомодельной форме з 1Р й) (10.40) где автомодельная переменная й определяется как г 1 [, 0»1)Зп+2 Подставляя (10.40) в уравнение (10.36), получим обыкновенное уравнение для функции ср (З), несколько отличающееся от уравнения (10.26) для плоского случая.
Это уравнение было решено С. 3. Беленьким и независимо Г. И. Баренблаттом [2[*). *) Распространение тепловой волны, близкой к сферической, рассматрива,п Э. И. Аидрианиин я О. С. Рыжов [3[ В работе Э. И. Анлрианнина [4[ рассматриваотсв сферическая тепловая волна с учетом энергии излучения. (10.411 Решение задачи для линейной теплопроводностн у=сопят известно: Т= . е 121 з [4пу1)2 Тепло растекается так, что основная энергии сосредоточена в сфере, радиускоторой г [/ 422, аналогично плоскому случаю, когда х [/ оуя Температура в центре падает как Т фгз — 1',)/()[2) ~э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
