Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 144
Текст из файла (страница 144)
Интегрируя по частям, найдем СΠ— ~ хт (х, !) дх = — Т'+1 (О, 2). о Если на границе Т(0, 2)=0, то момент сохраняется во времени, сохра- няется «дипольный моментг температуры: хТ (х, 2) дх = Р = солэ2. о (10.45) Задача при этом автомодельна, так как имеются только два размерных параметра, Р град'см' и а смг сек 'град ". Она была решена Рис. 10.7. Решение типа диполя. Температуру можно представить в виде и-!-2 1 1 ! Т=С вЂ” ) МС вЂ”,) Г1 — С вЂ”,) Т (1046) численные константы $э н М равны 1 и ! 1 и с — (в+ 2)2 (и+ 1) 2!и+1) 2(»ь1) 22(и ь1)~ В ( 1+ и+ + 1 '! ) 2!п+!! и ' и+2 1 2 Ь 2(и+2) 1 (эдесь В(р, о) — так называемая бета-функция, значения которой можно найти в таблицах).
При и= 5 функция температуры имеет внд 1 1 ! Т- — ',— ( —,* )' ~1 — ( — ")'~', !6 в работе Г. И. Баренблатта н Я. Б.,Зельдовича [6) применительно к процессу фильтрации газа. Фронт тепловой волны распространяется по закону: хф = $о (аР "8) 2(из' > 526 !гл. х ТКПЛОВЫВ ВОЛНЫ а фронт распространяется по закону 1 хф 212 дхф 11 11 с" — хф Распространение тепловой волны показано на рнс. $0.7. Легко видеть, что поток через границу х= 0 отличен от нуля, т. е. знергия вытекает из среды.
Действительно, при х/хф <(1 и дТ дгиь1 д Г х ,у Ти — — ( — ~ ~0. дх дх дх (, хф (10.47) В своей работе (2) Г. И. Баренблатт исследовал целый класс авто- модельных решений плоских задач с весьма общими условиями на границе полупространства: Т = сове! !', д~о илн О =сопзг!', дуи0 $8. Замечания о проникновении тепла в среду нрн учете движения Выше отмечалос!ь что возможность пренебрежения движением среды прн рассмотрении тепловых волн связана с тем, что на ранней стадии распространония тепловой волны от источника, прн очень высокой температуре, скорость распространения гораздо больше скорости звука и вещество просто не успевает «сдвинуться с места». В некоторых случаях, однако, движение среды оказывается существенным с самого начала.
Предположим, что температура на границе среды растет с течением времени по степенному закону Т,=совзг!'! (д)0). Расстояние, на которое тепло проникает в среду механизмом лучистой теплопроводности, ифь! )" ! Гггб ! г (2,Т) (10. 48) Скорость распространения тепловой волны Нхф хф ид-! 2 Ш 1 Ударная волна от знергетического источника на границе среды распространяется в глубь среды со скоростью порядка скорости звука (температура илн поток на границе растут со временем по степенному закону). Он рассмотрел также задачи с цилиндрической и сферической симметриями. о пгоникповкннн ткпла в сгвдх пги гчктв двия кния 527 в нагретом веществе: )7 )! Т вЂ” !'.
Сопоставим скорости распространения тепловой и ударной волн, лхф пд — ! д 1 — — и г). Если —,(--, д(, то в начале процесса, при 1 — О, г! 2 2' к — 1' скорость тепловой волны всегда больше, чем скорость ударной, тепловая волна обгоняет ударную. В этой стадии движением среды можно пренебречь, как это и делалось выше. Лишь начиная с некоторого момента лхф !', когда скорость Ю станет больше — —, ударная волна вырвется вперед, !! ' обгонит тепловую, и вещество в области тепловой волны придет в движение (разумеется, четкой временнбй границы !' не существует, и процесс «разгона» вещества происходит постепенно; 1' представляет собой эффективную границу меясду двумя стадиями).
»д — 1 д ! !!хф Если —,, ) —,, д) —, положение обратное: при 1 — ~ О, г! ) —- 2' а — 1' !!! ударная волна обгоняет тепловую, и тепловая волна с самого качала процесса распространяется по движущемуся веществу. Начиная с некоторого »эффективного» момента !", тепловая волна вырывается перед ударной и распространяется по неподвижной среде. Масса веп1ества. охваченного движением, которая пропорциональна .01 ! (яа ! см' 2 поверхности), составляет при этом все меныпую и меньп!ую долю от уд — , '! массы, прогретой тепловой волной, которая пропорциональна хф »д — 1 д 1 В промежуточном случае,„-.- —,, д =. скорости распространения тепловой и ударной волн нарастают с течением времени по одинаковому закону.
При этом, вообще говоря, не существует четко выраженных стадий, когда энергия проникает в среду только одним способом (либо гидродинамическим путем, либо путем теплопроводяости), как в крайних случаях д —. Вещество прогревается теплопровод) а — !' постыл и приходит в движение почти одновременно. Замечательно, что в частном случае и -- 6 (когда длина пробега излучения ! Т') уравнения гидродинамики с учетом лучистой теплопроводности (но беэ учета энергии и давления излучения) допускают автомодельное решение. Это ре!пение соответствует закону нарастания температуры на границе среды Т» 1И!» (существование такого автомодельного ре!пения указано в работе Маршака [7!).
Масштаб плотности при этол! постоянен и равен начальной плотности среды р,, давление р рТ 1Р!», скорость вещества и )/р(ц 1И!м Координата ! границы возмущенной области (фронта тепловой или ударной волны) растет с течением времени по закону !! х — и! )Г)!! — ~Г Т»1 — ! ' ". (!0.49) Лвтомодельной переменной служит комбинация $ = сопз1 хГ»!I!о, так что решение уравнений представляется в виде ! Т = сопз! !»1! Д), [гл, х тепловые Волны Существенно, что автомодельное решение возможно при произвольном законе зависимости теплопроводности (длины пробега излучения) от плотности: )~ = 1 (р) Т' (так как масштаб плотности не зависит от времени). В том, что уравнения газодинамики с учетом лучистой теплопроводности действительно допускают указанное автомодельное решение, легко убедиться путем непосредственного рассмотрения этих уравнений *).
Характер автомодельного режима зависит от того, что больше: скорость звука с )г Т или скорость распространения возмущений путем теплопроводности х!г р'у/~. Обе величины нарастают со временем по одинаковому закону гпгз, и соотношение их определяется коэффициентами пропорциональности. Поэтому характер процесса зависит от численного значения коэффициента в законе нарастания температуры на границе среды с течением времени Тз гик Возможен такой режим, в котором впереди по невозмущенному веществу бежит ударная волна, а за нею по нагретому и сжатому веществу следует тепловая. Возможен режим, когда границей между невозмущенной и возмущенной областями является фронт тепловой волны, за которым вещество приходит в движение. Отметим работу И.
В. Немчинова [8), в которой рассматриваются некоторые задачи переноса тепла излучением с учетом движения среды. й 9. Автомодельное решение как предельное решение неавтомодельиой задачи (з — вйз Т(Х, Г)= ~ То(у)Е 4тг Г)у 1 4ях~ (10. 50) Оно представляет собой обобщение решения (10.20) на случай распределенного источника. Рассмотрим поведение температуры нри 1 -т. оо на болыпих расстояниях от места, где было сосредоточено тепло в начальный момент, т. е. при х » у.
Разлагая ядро подынтегрального выражения в ряд по степе- ") Напоминаем, что уравнения непрерывности в двюксввя прп учете лучистой тспяопроводвостя пе меняются, а в ураввевво эисргвк вводятся дополввтеяьвый поток энергии (гб.8) (см. 1 9 гл. Н). в") Такое начальное условие ставится применительно к задаче о нелинейной тевлопроводвости.
В лвпейпом случае допустимо более общее усвовве достаточно быстрого убывания температуры ва бесконечности. Автомодельные решения интересны не столько как частные решения отдельных узких классов задач, но главным образом как пределы, к которым асимптотически стремятся решения более общих задач, не автомодельных в своей постановке.
Этот вопрос исследовался в раооте Я. Б. Зельдовича и Г. И. Баренблатта (9) применительно к задаче Коши для нелинейного уравнения теплопроводности в одномерном плоском случае (10. 23) . Основные физические особенности аснмптотического поведения решения удобнее всего выяснить на примере линейной теплопроводности, когда решение особенно просто.
Пусть в начальный момент 1 = — 0 задано распределение температуры по оси х: Т (х, О) =- Т„(х), причем температура отлична от нуля только на конечном отрезке оси х в"). Как известно, решение уравнения теплопроводности (10.18) в этом случае имеет вид (т = — сопзг): 4 93 529 АВТОМОДЕЛЬНОК РЕШЕНИЕ КАК ПРЕДЕЛЬНОЕ ням малой величины у/х, получим Т (х, () =-== — е 4 ( ~ Те(у) Ыу+ —,—.= ~ Те(у) уеду+ в $ 4лХЕ + — ~ Те(У)У е(У+ ° ° ° ~, (10. 51) где (',)= ~ Т,(у) (у, ( те(у) уеу Хо= ) Те(у) Еу (10.53) ) Те(у) уеду т=- ! Х ) Те(у)уу 34 я.
в. зельдович, ю. и. Развез х Решение представляется в виде суммы автомодельных слагаемых, в которых степени времени каждый раз возрастают на 1/2, а козффициенты выражаются через последовательные моменты Функции начального распределения температуры. В пределе (-ь со остается первый член в квадратной скобке, соответствующий решению (10.18) для сосредоточенного источника, причем следующий член разлояеения, который характеризует отличие истинного решения от предельного, порядка 1/(Нв по отношению к главному члену т= Т.„, ~1+ — '® +... ~ . (10. 51') е2 Благодаря тому, что уравнение (10.18) допускает произвол в выборе начал отсчета координаты и времени и масштаба температуры (донускает группы преобразований х = х — х„г = г + т, Т' = 19Т), уравнению (10.18) удовлетворяет более общее, чем (10.20), автомодельное решение вида (х — хе)е Тает (х — те, Г+'г, ~) = —.=.=е ех("+Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
