Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 148
Текст из файла (страница 148)
Если температура не слишком высока, атомы твердого тела (и жидкости) совершают малые колебания около положений равновесия (узлов кристаллической решетки в твердом теле). Колебания являются гармоническими до тех пор, пока амплитуда их гораздо меньше междуатомного расстояния, иначе говоря, пока энергия колебаний, которая порядка кТ на атом, значительно меньше высоты потенциального барьера для перескоков атомов из уалов решетки в междоузлия или в другие свободные узлы.
При нормальной плотности твердого тела высота барьеров имеет 541 ткпловок движннии атомов порядок одного или нескольких электронвольт *), т. е. величина йТ сравнивается с высотой потенциального барьера при температурах порядка десятка или нескольких десятков тысяч градусов.
При более высоких температурах атомы могут почти свободно перемещаться по телу. Тепловое движение при атом теряет характер колебаний и приближаетсн скорее к хаотическому, наподобие газового: вещество превращается в плотный газ из сильно взаимодействующих атомов. Положение, однако, меняется, если одновременно с нагреванием вещество сжимается. При сжатии очень резко возрастают силы отталкивания между соседними атомами, благодаря чему резко возрастает высота потенциального барьера, который нужно преодолеть атому, чтобы уйти из своей ячейки 1из своего узла кристаллической решетки).
Свободные перемещения атомов в теле при атом сильно затрудняются и движение атома остается ограниченным пространством своей ячейки. Это поясняется рис. 11.4. В каком-то грубом приближении тепловое движение атомов в сжатом веществе можно рассматривать как малые колебания около положений равновесия даже при тех максималь- рко. 11.4, Схема, поясвяюных температурах в 20 000 — 30 000' К, которые щая изменение высоты по- достигаются в наиболее мощных ударных вол текцкальных барьеров для нах, исследованных на опыте. атомов в твердом теле при сжатии. При температурах выше нескольких сотен градусов Кельвина квантовые эффекты в колебаниях не играют никакой роли, и теплоемкость тела, атомы которого совершают гармонические колебания, равна своему классическому значению 3 й на 1 атом нли ск = ЗХй на 1 г, где Х вЂ” число атомов в грамме. Принимая во внимание отличие теплоемкости от этого значения при низких температурах в квантовой области, запишем выражение для тепловой энергии, связанной с колебаниями атомов, в виде с~ — — ЗХ7с, (11.6) е, = съ (Т вЂ” То) + зо, г.
где еэ = ~ ск (Т) ИТ вЂ” тепловая энергия при комнатной температуре Т„ 'о которую можно взять из соответствующих таблиц. При температурах Т, значительно превышающих Тэ, можно пренебречь отличием скТо от ео, так как обе эти величины малы по сравнению с ст Т. При этом е,=с, Т, с~ =ЗХк (11. 7) Теплоемкость равна 3 й на атом лишь в том случае, если тепловое движение атомов имеет колебательный характер. При достаточно высоких температурах атомы свободно перемещаются по телу; теплоемкость соответствует только поступательным степеням свободы атомов и равна 3 — й на атом, как в одноатомном газе.
Переход от колебательного движения 2 атомов к поступательному и связанное с ним уменьшение теплоемкости *) Это есть величина, равкая примерно энергии активации для самодиффуэии атомов в теле ЬУ. Ова обычно несколько меньше энергии связи, ко такого же порядка, что и последила, ЬУ ж (0,5 —: 0,7) У. 542 1гл, хг УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ происходит постепенно в области таких температур, при которых кине- 3 тнческая энергия атома —, ЕТ порядка высоты потенциального барьера 2 !!! для перемещений атомов в теле ЬТТ/Х. Эффективной границей, разделяющей области с предельными значениями теп- 3 лоемкостн 3 к и — Тг, может служить 2 температура: !3 2 ЛТТ 3 ЬЛ (11.8) При высоких температурах Т » Т» тепловую энергию одного атома можно представить в виде суммы кинетической 3 Т Т Т энергии поступательного движения — ЙТ 2 и среднего значения потенциальной, коэнергии от температуры при резвых торая в случае малых колебаний также плотностях (объемах).
3 ЛТТ равнялась — йТ а теперь порядка;. — . \ ,".й Это находится в соответствии с эффективным определением тепло- емкости разрывной формулои: с„= — Хй при Т ) Тд. 3 2 су = ЗХЙ прн Т ( ТА' Если Т ) ТА, энергия равна при этом т ТА т е = ~ ст йТ= ~ Зт!'ЛйТ+ ~ 2 ХлйТ= 2 Л'ЬТ+ЛгТ. (11.9) Для примера укажем, что в железе нормальной плотности — — 2,5 эв и ТА ж 20000'К.
Лгг .ь,~ 11ри сжатии тела высота потенциального барьера возрастает, растет и граничная температура ТА, так что кривые зависимости тепловой энергии от температуры прн разных плотностях (объемах) имеют внд, схематически изображенный на рис. 11.5. В предельном случае Т » Тд, когда тепловое движение атомов (точнее, ядер) не отличается.от газового, тепловое давление, связанное с этим движением, равно, как обычно, !Л'!!ЬТ 2.
р =пйТ= — = — — ' У 3 $4. Уравнение состояния тела, атомы которого совершают малые колебания Будем считать, что атомы тела совершают малые колебания около положений равновесия, и найдем отвечающую этим колебаниям величину теплового давления р, (Г, Т). Если температура не слишком высока и электронным возбуждением можно пренебречь, уравнение состояния 1 47 УРАВнкник сОстОЯниЯ твлА с колввлющимисЯ АтОЖАми а43. и внутреннюю энергию тела при этом можно записать в виде р=р. (Р)+ р, (~'„Т), (11 10) е = — е„()7) + 3%ОТ.
(11 11)- Температурную зависимость теплового давления можно сразу же установить при помощи общего термодинамического тождества: ( — ").='( ~: ).-' (11. 121 Упругие члены, в соответствии с уравнением (11.1), удовлетворяют этому соотношению автоматически. ао я, что теплоемкость су=37т'7с не зависит от объема, получим из формулы ( ., что тепловое давление пропорционально температуре: р, =- ср ([') Т, где ср ([7) — некоторая функция объема. Перепишем зту формулу в виде (11.14) (с, — скорость звука, определяемая сжимаемостью). Параметры нескольких металлов при нормальных условиях приведены в табл. 11.1, взятой из работы [3) е). Т а 6 липа 11.1 Некоторые характеристики металлов ири нормальных уеловивх Се РЬ 8,96 1,37 2,31 2,09 5,2 16,1 500 г7смг су 10 г, грг/г град ко 10 ,' 73 а.10г, град "о со, ем(сга ео.10 г, грг!г грг7г ограде 8,93 3,82 0,73 1,65 1,98 3,95 7,71 110 11,34 1,29 2,42 2,9 2,46 1,91 3,23 *) О том, что такое ро, будет сказано в еледугащек параграфе.
р =Г(1) — — Г(р) (11.13) Величина Г, характеризующая отношение теплового давления к тепловой энергии решетки, называется коэффициентом Грюнайзена. Коэффициент Грюнайзеяа при нормальном объеме тела' Го = Г (5со) связан с другими параметрами вещества известным термодинамическим соотношением (см., например, [16)): с'ду'~ Поскольку — — ( — ~ = ко есть изотермическая сжимаемость Уо др т увещества пРи ноРмальных УбловиЯх, а — ( --а) = а — коэффициент Уо ( дгар бъемного теплового расширения, получим уоа а асса (11.15). СУХО ссскиа су 544 [гл. хз удАРные ВОлны В тВВРдых телАх Коэффициент Грюнайзена Г соответствует уменьшенному на единицу показателю адиабаты в случае идеального газа с постоянной теплоеме' костью (вспомним уравнение состояния газа р =(у — 1) --).
У). В силу принятого прн выводе формулы (11.13) условия, что тепло- емкость су не зависит от объема, коэффициент Грюнайаена оказался не зависящим от температуры. В действительности 'же, в пределе очень высоких температур, когда тепловое движение атомов (ядер) становится хаочическим, уравнение (11.13) должно превращаться в уравнение состояния 2 одноатомного газа,.т, е.
Г -~- — при Т -~ оо. Если представить себе, что 3 атомы тела разъединяются и разводятся на большие расстояния внешней силой (объем растет), вещество превращается в газ даже при низкой 2 .температуре, так что формально при Р -+. Оо, Г -+.—. Как видно из таблицы, в нормальных условиях козффициепты Грюнайзена металлов близки к двум. Для того чтобы выяснить физический смысл произвольной функции— коэффициента Грюнайзена Г (Е), которая появилась формально в результате интегрирования термодинамического тождества (11.12), следует обратиться к известному из статистической физики выражению для свободной зпергии тела, атомы которого совершают гармонические колебания. При высоких температурах, когда йТ много больше энергии колебательных квантов ят, удельная свободная энергия равна (см.
[16)) (11.16) г'=-з (г')+ЗХЙТ)п — „ ьт где у — некоторйя средняя частота колебаний, которая связана с дебаев- ской температурой 8 соотношением Ьу =- е-ихз0.=- 0,715 Й8 (например, у железа 0 = 420' К). Первый член в (11.16) представляет собой потен- циальную энергию взаимодействия атомов, совпадающую с энергией холодного тела. Второй член описывает тепловую часть свободной энер- гии. Из формулы (11.16) с помощью общих термодинамических соотно- шений легко найти удельную внутреннюю знергию и давление тела: з =-Š— Т вЂ” =-е (у)+ЗХЕТ=з,+з, дл дГ Х (мы, естественно, пришли к формуле (11.11)) и р == — — — = — — х — ЗЛ7сТ вЂ”вЂ” дд дех д1в» ду Л' дг' Первое слагаемое дает уже известное нам упругое давление, а второе — тепловое.
Принимая во внимание определение коэффициента Гвюнайзена (11.13), найдем д1в у (11.17) Коэффициент Грюнайзена можно связать с функцией холодного сжатия путем следующего простого рассуждения. Средняя частота спектра упругих колебаний решетки У, очевидно, близка к максимальной частоте.
Максимальная частота по порядку величины равна отношению скорости распространения упругих волн объемного сжатия се к минимальной длине волны, которая в свою очередь порядка межатомного расстояния гз, так 2 41 УРАвнениВ состОЯниЯ телА с кОлеБлющимисЯ АтомАми 545 что У се/гс. Но скоРость звУка с,=- [ — )г — — ], а гс )г, откУДа / Нрл '~мв 1/в 2 — Г Нрл ~2 Г' ( — — *-( ~Л' ( Взяв логарифмическую производную от этого выражения, получим Эта формула была получена Слзтером [17] и Л.
Д. Ландау и К. П. Станюковичем [18]. Опыт показывает, что коэффициенты Грюнайзена несколько уменьшаются при сжатии (при уменьшении удельного объема ]г). Чтобы представить себе порядок величины теплового давления (11.13), укажем, что если, например, нагреть алюминий при постоянном объеме, равном нормальному, до температуры 1000'К, то давление в нем поднимется до величины р,= 51 000 атм. При нагревании твердого тела в обычных условиях, т. е.
при постоянном атмосферном давлении, тело расширяется. Причина теплового расширения тел совершенно ясна, стоит только взглянуть на формулу для давления (11.10). При нагревании положительное тепловое давление рв возрастает. Для того чтобы полное давление осталось неизменным, упругое давление р„должно стать отрицательным, т. е. тело должно расшириться до тех пор, пока силы сцепления, удерживающие атомы в решетке, или отрицательное давление не уравновесят растапливающее действие положительного теплового давления.
Отсюда становится ясной связь между коэффициентами Грюнайзена, теплового расширения и сжимаемости, которая выражается формулой (11.15). В самом деле, небольшое расширение при постоянном давлении связано с небольшим нагреванием условием откуда и следуют соотношения (11.14) и (11.15) *). Оценим для примера, насколько расширяется алюминий, если нагреть его прн постоянном давлении (нулевом или атмосферном, что практически все равно) от абсолютпого нуля до комнатной температуры Т = 300' К. Пользуясь константами, приведенными в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
