Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 143
Текст из файла (страница 143)
Эти закономерности следуют непосредственно из соображений размерности, их можно получить и путем оценки из уравнений (10.34), (10.35), если заменить производные отношениями величин (см. 4 4). Рассмотрим теперь случай нелинейной теплопроводности с т =ппТ", и)0.
Уравнение принимает вид дт' а д ( зт дт'», (10.36) Найдем закон движения фронта тепловой волны, так же как и в плоском случае. Имеем РАСПРОСТРАНВНИВ ТИПЛА ОТ ТОЧКЧНОГО ИСТОЧНИКА Окончательное решение можно записать в виде, аналогичном (10.32), 1 Т=Т,(1 — —,; — ) — — гф-, (10.42) где радиус фронта гф-. 1, (СО.г)зп-'-г, (10.43) Постоянная $, равна Температура в центре Т, равна (10. 44) где — средняя по объему температура в момент, когда радиус фронта волны равен гф. Например, при и = 5 ~, = 0,79 и Т, = 1,28Т. При переменной тепло- емкости С„Т~ м (й = 0,5) 1 Е=- Е, (1 — —,) Дивергенция потока почти постоянна во всей сфере за исключением тонкого слоя вблизи фронта: объем газа охлаждается сравнительно равномерно, посылая энергию, которая поглощается вблизи фронта, прогревая все новые и новые слои вещества.
Представим себе, что в маленьком объеме газа пропзогпло очень быстрое выделение большого количества энергии, в результате чего вещество нагрелось до очень высокой температуры. От места энерговыделения по окружающему газу распространяется тепловая волна. Скорость распространении тепловой волны, согласно формуле (10.39), уменьшается по мере распространения и падеяпя температуры нагретой как и в плоском случае. В законе распространения тепловой волны ВМестс Г, ~'ДЗ"г РЮ ПОЛУЧаЕМ Гф 8'Д~"'ЪЗ>. ПРИ и=5 ГГ= О, Гф РНГ Ыгф лгф — гф", 'прп и =- 5 й = 0,5, п' = 4,5 и гф ~ ИВА, — — гф ~'", гп л) Распределение температуры по радиусу в сферическом случае точно такое же, как и в плоском.
11оток почти во всей области от центра и до фронта линейно растет по радиусу и лишь около самого фронта падает до нуля: бво [гл. х тепловые Волны сферы по закону: йгеlй» и~" /ге»"'~'. Но гф ф!Т) ', так что «)ге/сй иТ"' Ы ~) '. При лучистой теплопроводности и -- 5 и ИгзlН Т". Скорость звука в нагретом газе, грубо говоря, пропорциональна )'Т. Следовательно, если вначале температура очень высока («бесконечна»), то скорость распространения тепловой волны обязательно больше скорости звука. При распространении волны по неподвижному холодному газу постоянной плотности в нем повышается давление. Грубо говоря, давление за фронтом тепловой волны пропорционально температуре р йТ, так что профиль давления примерно совпадает с профилем температуры.
Существование градиента давления в волне приводит к тому, что газ разгоняется, разлетаясь от центра, масса его перераспределяется, стремясь сосредоточиться около периферии, у фронта тепловой волны. Возмущения распространяются по газу со скоростью звука. Поэтому вначале, пока тепловая волна движется гораздо быстрее звука, вещество за нею не успевает прийти в заметное движение. Как мы видели, тепловая волна по мере распространения чрезвычайно быстро замедляется.
Через некоторое время скорость ее падает до величины порядка скорости звука и потом становятся меньше последней. С этого момента теплопроводностная волна уже не обгоняет авуковые возмущения, вещество приходит в движение и образуется ударная волна, которая вырывается вперед, распространяясь перед тепловой со скоростью, по порядку величины совпадающей со скоростью звука в нагретом газо за нею. Постепенно процесс выходит на режим, описываемый решением задачи о сильном взрыве (см. 1 25 гл. 1).
Таким образом, момент образования ударной волны и вырывания ее перед тепловой приближенно совпадает с моментом, когда скорость тепловой волны падает до скорости звука в нагретом газе. Оценка показывает, что в воздухе нормальной плотности это происходят, когда температура в нагретой сфере падает до величины порядка 300 000' К.
Если начальная температура воздуха в момент энерговыделения гораздо болыпе этой величины, то существует четко выраженная стадия, на которой энергия распространяется по неподвижному воздуху путем лучистой теплопроводности, в виде тепловой волны. Когда температура в расширяющейся нагретой сфере падает до 300000' К, образуется и вырывается вперед ударная волна, а роль лучистой теплопроводности сводится исключительно к выравниванию температуры в центральной области. Если же концентрация энергии вначале такова, что температура воздуха ниже 300 000' К, то тепловая волна вообще не возникает, а энергия с самого начала распространяется гидродинамическим путем за счет ударной волны. В конце 1 3 отмечалось, что профиль температуры на нижнем краю тепловой волны совпадает с профилем температуры в прогревной зоне очень сильной ударной волны (в очень сильной ударной волне впереди скачка уплотнения вырывается «язык» прогрева лучистой теплопроводностью).
В частности, на самом переднем краю тепловой волны излучение неравновесно за счет «прострельных квантов» и температура спадает до нуля по экспоненцпальному закону в зависимости от оптической координаты. Это означает, что видимая яркость поверхности фронта тепловой волны совпадает с яркостью поверхности фронта очень сильной ударноп волны. В з 4 гл.1Х было показано, что эта предельная яркость в воздухе нормальной плотности соответствует эффективной температуре в видимой части спектра, примерно 17 000' К.
Такова же эффективная температура НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЬЛЬНЫЕ НЛОСКИЕ ЗАДАЧП 523 и поверхности фронта тепловой волны. Таким образом, наблюдая издалека тепловую волну, распространяющуюся по воздуху, мы будем «видеть» температуру порядка 17 000', несмотря на то, что в центральных областях волны температура может достигать многих сотен тысяч градусов. й 7.
некоторые автомодельные плоские задачи Рассмотрим несколько автомодельных задач. Две из них исследуем полукачественным методом, изложенным в 2 4. Для одной получим точное РЕ1ПЕНИЕ. Постоянная температура на границе. Пусть на границе плоского полупространства х = 0 с нулевой начальной температурой поддерживается постоянная температура Т,. От границы внутрь среды распространяется тепловая волна, как показано на рис.
10.5. Поскольку имеется масштаб температуры Те, козффициент температуропровод- Те ности по порядку величины равен у аТ,", и фронт тепловой волны рас- с! тх пространяется по закону ! хе )г тК (аТ„8)2. Рнс. 10.5. Распространение тепловой волны прн зеленной температуре на Значение численного коэффициен- границе. та в атой формуле, так же как и профиль температуры, который, очевидно, автомоделен, можно найти путем численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения для безразмерной функции ! Я)1 Т=Т,1Д, ~АТЬ!)2 прк граничных условиях 1 (О) = 1, г (со) = О. Поток тепла через границу уменьшается с течением времени по закону: ! х АТх'! Т~ —,'! „2Т 2 Я вЂ” аТ е дТ е дх 1 ! Тп!)2 !2 Как меняется со зрел!енсы количество энергии в тепловой волне, можно оценить любым из двух способов: хз 1 1 2 г г и! Ю вЂ” 1дТс)х Техе-2 .
о ) ~с)2 '! 1 — 1 . е е Е 12 Постоянный поток на границе. Предположим, что на границе задан постоянный поток тепла Л„поступающий в тело извне: Яе= — к ~ — ) = — стоаТ"! — ( ==совах при х= О. ~ *(. Закон распространения тепловой волны и изменения температуры в волне во времени найдем, заменяя проиаводные отношениями величин, 524 1гл. х теплОВые Волны Поток в зоне тепловой волны меняется от оо до нуля. Средняя температура в волне по порядку величины дается соотношением: «Та+2 оо-с Е Х«о Но нз уравнения теплопроводности следует, что по порядку величины т я« Из этих двух приближенных уравнений найдем закон распространения тепловой волны н закон изменения температуры во времени: 1 ° 1-1 1 1 аоо Ч" ' 2 "+2 е, (с дпЯа)п+21 а+2 Т ( о ) (, суда ) При в=5 хв 1 Т 1 хв,— о/7 /7 /о *Ф -1/о а'1 Скорость тепловой волны уменьшается очень медленно, средняя температура медленно растет.
Возрастание температуры объясняется тем, что по мере распространения волны градиент г температуры уменьшается, и для того чтобы поддержать постоянство потока, должен расти коэффициент теплопроводности. Распространение волны показано на рис. 10.6. Еа Решение типа диполя. Пусть г, вблизи плоской границы полупространства в Фо каком-то слое произошло энерго выделение. Предположим, что тепло растекается в теле х настолько быстро, что температура очень скоро Рис, 10.6.
Распространение падает до малой величины, практически до тепловой волны ври задавяом нуля. Несмотря на то, что температура на гранатова ва границе. нице очень мала, поток тепла через границу остается конечным (соответственно очень велик градиент температуры), так что энергия вытекает лз тела. В задаче не существует интеграла энергии. Идеализируем поставленную задачу с тем, чтобы исключить из нее размерные параметры длины (например, толщину слоя, где произошло энерговыделение, или расстояние его от границы). Будем считать, что энерговыделенне произошло мгновенно в бесконечно тонком слое на поверхности тела х=0, причем в пределе, когда толщину слоя энерговыделения устремляем к нулю и сам слой приближаем к поверхности х= О, остается конечным «момент> температуры.
~ хТ(х, 0)«Ь(со при Т(х, О) — +б(х). о Легко показать, что в этом случае при условии, что температура на границе равна нулю, вместо интеграла энергии, как в задаче о плоском мгновенном источнике, имеется интеграл «момента»: сохраняется во времени момент температуры. Это положение было установлено Г. И. Баренблаттом (5]. Умножим на х уравнение теплопроводности (10.23) и проинтегри- руем от 0 до со, принимая во внимание, что поток на бесконечности 525 НЕКОТОРЫН АВТОМОДНЛЬНЫЕ ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ отсутствует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
