Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 139
Текст из файла (страница 139)
чем приближенно и определяется нтыкний край волньь Температура Т, зависит от произвольно задаваемой величины А только логарифмически в силу экспоненциальной зависимости ) (Т), подобно тому как раньше оиа логарифмпчески зависела от произвольно задаваемого характерного масштаба длины д (согласно условию ( (Тг) =. «(). В данном случае характерным масштабом служит расстояние, на котором температура падает вследствие адиабатического охлаждения от величины Т, до нуля, что, кстати, и определяет положение нижнего края волны, т. е. координату х,. Фактически для определения температуры прозрачности остается условие ( (Т,) Н, только теперь задается не сама величина д, а величина А, с которой связан масштаб Н.
*) Эта снтуацнн несколько напомннает положение зо фронте ударной эолам с нзлученнем: аа ударным раарывом плотность налученяя меньше равновесной, гаэ охлаждается налученнем н посылает поток е область перед разрывом, где поток поглощается, плотность налучепня выше разноаесной, н гаа кагреаается. ГЛАВА Х ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ $ 1, Теплопроводноеть вещества Если тело нагрето неравмомерно или же в нем происходит выделение энергии, появляется поток тепла, переносимый путем теплопроводности. Теплопроводность способствует распространению энергии и выравниванию температуры.
Наряду с градиентами температуры, вообще говоря, возникают и градиенты давления, благодаря чему вещество приходит в движение. Во многих случаях гидродинамический перенос энергии преобладает над теплопроводностным. Однако часто движение и гидродинамический перенос энергии несущественны и тепло от источников распространяется только путем теплоироводности.
При невысоких температурах механиамом переноса тепла является обычная теплопроводность вещества. При обычной теплопроводности тепловые возмущения распространяются в среде сравнительно медленно (в дальнейшем это будет показано на примере газа). Небольшие возмущения давления распространяются со звуковой скоростью, за счет некоторого перераспределения плотности, и давление выравнивается гораздо скорее, чем температура. Если изменения температуры в среде невелики, скорости движения вещества гораадо меньше скорости звука и при.изучении распространения тепла путем теплопроводности движением вещества часто можно пренебречь, считая, что процесс происходит при цостояпном давлении. Уравнение баланса энергии при этом имеет вид — = — йч Я+И', дТ д8 (10.1) где о — плотность, которую приближенно можно считать постоянной, ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении, Я вЂ” вектор потока тепла, И' — энерговыделение в 1 смэ в 1 сея за счет посторонних источников.
Теплопроводностный поток тепла в первом приближении пропорционален градиенту температуры: Я= — кягайТ, (10.2) где я — коэффициент теплопроводности, зависящий от свойств вещества. Подставляя выражение (10.2) в уравнение баланса энергии (10.1), получим общее уравнение теплопроводности, которое описывает температуру среды в зависимости от координат и времени: йср — — — а1т (к огай Т) + 'гг. (10.3) НБЛИНБЙНАЯ (ЛУЧИСТАЯ) ТБПЛОПРОВОДНОСТЬ 507 В не слишком большом диапазоне температур коэффициент теплопроводпости и теплоемкость вещества меняются мало и практически постоянны. Уравнение теплопроводности (10.3) при этом является линейным (за исключением случаев, когда знерговыделение И' зависит от температуры нелинейным образом).
При х = сопзс имеем Еср дг ЛТ+Чг' дТ (10.4) Если разделить уравнение теплопроводностн (10.4) на асср, оно принимает форму, в которой свойства вещества характеризуются только одним параметром:коэффициентом температуропроводности у = х/рср. дТ -„—,=уЛТ+у, у=в И~ (10. 5) 1 у з где 1, — длина пробега молекул, а о — их средняя тепловая скорость; например, в воздухе при нормальных условиях т = 0,205 ск'/сек. В жидкостях и твердых телах механизмы теплопроводности более сложны.
На этом вопросе мы здесь останавливаться не будем. Укажем, что в воде при комнатной температуре )( = 1,5 10 э см'/сек. К уравнению теплопроводности следует добавить начальные и граничные условия. В начальный момент задается распределение температуры в среде: Т(л, у, г, О) =Та(з, у, з). (10.6) На границах двух сред 1 и 2 с разными свойствами непрерывен поток тепла (х лгай Т), = (х огай Т),. (10. 7) На границах рассматриваемого тела задаются как функции времени температура или поток тепла или, в общем случае, связь между ними.
Математическая теория линейной теплопроводности, которая занимается решением уравнения (10.5) применительно к различным конкретным задачам, хорошо разработана и широко применяется в самых различных областях физики и техники. $2. Нелинейная (лучистая) теплопроводность Прн высоких температурах порядка десятков и сотен тысяч градусов появляется совершенно иноя механизм переноса тепла — лучистая теплопроводность.
С процессом лучистой теплопроводности мы подробно ознакомились в гл. 11, а такясе в гл. Ч11 и 1Х, где рассматривалнсь задачи о структуре фронта очень сильной ударнон волны и об охлаждении воадуха излучением. Существенное отличие лучистой теплопроводности от обьгчной заключается в том, что коэффициент лучистой теплопроводности сильно зависит от температуры; благодаря чему уравнение теплопроводностн является нелинейным. В газах коэффициент температуропроводности приближенно равен коэффициенту диффузии молекул: 508 !гл. х ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ Поток тепла, переносимый механизмом лучистой теплопроводности, равен (см.
формулу (2.76)): !с !с 4ате 8 = — - — ягайУр — — — — краев 3 3 с (10.8) где Ур — — 4ОТз1с — плотность энергии равновесного излучения, а 1— росселандов пробег света *). Поток энергии (10.8) можно записать через градиент температуры в виде (10.2), если определить коэффициент лучи- стой теплопроводности формулой Ы 3!! !бота! ~=з 3т з (10.9) —,= Йч (у пгаб Т)+д, дт (10.10) соответствующее уравнению (10.5). Коэффициент лучистой температуро- проводности у равен я !с сизл Х= (10.11) пер 3 йср Имеется глубокая параллель между этой величиной и коэффициентом обычной температуропроводности газа )( = 1,п13.
Последний совпадает с коэффициентом диффузии молекул, являющихся переносчиками тепла. *) Напоминаем,что перенос излучения имеет характер теплопрозодностк, если плотность энергии излучения з каждой точке среды близка к равновесной. Для этого нужно, чтобы размеры нагретой области значительно превышали длину пробега излучения. Коэффициент лучистой теплопроводности зависит от температуры как засчет пропорциональности теплоемкости излучения сззл = с!ар 1г) Т Т', так и вследствие зависимости от температуры пробега излучения !, Прн лучистом механизме теплопроводности энергия может распространяться со скоростью гораздо большей, чем скорость звука в веществе. Это связано с тем, что скорость света при нерелятивистских температурах во много раз больше скорости звука.
Если в теле произошло выделение энергии и вещество нагревается до достаточно высокой температуры, то эта энергия вначале быстро растекается путем лучистой теплопроводности. Пока скорость распространения тепла гораздо болыпе скорости звука, вещество не успевает прийти в движение, давление в нем не успевает выравняться и тепло растекается по неподвижному веществу. В дальнейшем будет дана оценка условий, при которых возникает движение. Мы будем рассматривать здесь распространение тепла путем лучистой теплопроводности только в неподвижной среде, плотность которой не меняется с течением времени.
Баланс энергии по-преп!нему описывается уравнением (10.1) или (10.8) (но не (10.4), так как х ф сепах), с той лишь разницей, что вместо. теплоемкости при постоянном давлении ср в уравнение следует подставлять теплоемкость при постоянном объеме ср. При этом предполагается, что плотностью энергии излучения Ур можно пренебречь по сравнению с плотностью энергии вещества де (Т). Если приближенно рассматривать теплоемкость ср как величину,. не зависящую от температуры, и разделить уравнение теплопроводности на рср, получим уравнение 509 нвлинкйнля (лучистля) твнлонРОВОдность 1=АТ, т->О (10.12) В полностью ионнзованном газе, где механизм излучения и поглощения света чисто тормозной, т= 7/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
