Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 149
Текст из файла (страница 149)
11.1, найдем — ж Гс '-,У нсс1 Т ж 2ес (ЛТ = 300' К). При этом в состоянии с Т, = 300 К тепловое давление так же, как и абсолютная величина упругого, равно рг, = 17 000 атлв. Отсюда и видно, что атмосферное давление всегда можно считать равным нулю, так как оно ничтожно мало по сравнению с обеими составляющими давления даже при комнатной температуре. Если известна функция Г (Р), легко найти и энтропию вещества.
Рассматривая состояния, мало отличающиеся по плотности от нормального, можно считать Г постоянным и равным своему нормальному значению Гс. При этом для энтропии получим уравнение Ие+рЛУ Ле +р Л" Лт ну — — — — — — — + Гсс1— т т у р' *) Мы рассматриваем только вещества с нормальными свойствами, расширяющиеся ири нагревании. 35 я, Б. Зсвьвсвве, Ю.
П. Рвзвер 547 $») теплОВОе Возвуждвнив злвктэонов Кинетическая энергия полностью вырожденного электронного газа, которая порядка Ео на один электрон, включается в упругую энергию тела и не имеет отношения к тепловой энергии. Точно так же соответствующее ей «кинетическое» давление включается в упругое давление наряду с «потенциальным» давлением, обусловленным электростатическим взаимодействием электронов и ионов.
В сумме зто полное давление нетеплового происхождения равно нулю, если тело находится в вакууме при абсолютном нуле температуры. При повышении температуры электроны частично переходят в более высокие энергетические состояния, превышающие граничную энергию Ферми, и энергия электронного газа повышается. Если температура Т гораздо меньше температуры Ферми Т*, то, грубо говоря, из первоначальной сферы Ферми в пространстве импульсов вырываются электроны, отстоящие от границы Ферми на энергетическом расстоянии порядка йТ.
Число воабужденных электронов составляет долю порядка лТ/Ео от полного числа электронов. Каждый из них приобретает дополнительную энергию порядка йТ. Таким образом, тепловая энергия на один электрон по порядну величины равна ()«Т/Еа) )«Т и.пропорциональна )та1аТ» (так как Ео и'с; Р '1а). С учетом численного коэффициента тепловая энергия электронов, рассчитанная на 1 з металла при Т «Т*, окааывается равной (см., например, [16)) з, = — 'рТ~, (11.23) где коэффициент Р зависит от плотности вещества и равен з 1 2 (11.
24) (Зла)3 (Л', — число свободных электронов в 1 г металла; Рс — нормальный удельный объем металла). Удельная теплоемкость при постоянном объеме пропорциональна температуре и равна су,=рТ. (11.25) Зная число свободных электронов, приходящихся на атом металла, можно по формуле (11.24) вычислить коэффициент ро и найти электронную теплоемкость при данной температуре.
На опыте электронную теплоемкость измеряют при очень низких температурах, при которых тепло- емкость решетки подчиняется квантовым законам и пропорциональна Т'. При достаточно низких температурах преобладает электронная тепло- емкость, пропорциональная только первой степени Т, и ее можно измерить. При комнатной же температуре электронная теплоемкость обычно в десятки и даже в сто раз меньше теплоемкости решетки, которая в этих условиях постоянна и равна своей классической величине су = ЗЛй. Экспериментальные значения коэффициентов электронной теплоемкости ро для нескольких металлов приведены в табл. 11.1 *).
Если сопоставить значения теплоемкостей электронов и решетки при различных температурах, то можно видеть, что уже при температуре порядка 10 000 К электронная теплоемкость становится весьма заметной, а, скажем, при 50 000' К даже больше, чем теплоемкость решетки. Следует, однако, иметь в виду, что зависимость (11.25) справедлива только до тех пор, пока температура меньше температуры Ферми. «) Они соввадают зо порядку величины с вычисленными по формуле (И.24), ЗЗ« 548 1гл.
Хг удАРные ВОлны В тВеРдых телАх При Т» Т* свободный электронный газ с постоянным числом электронов не вырожден, и его теплоемкость равна классическому значению з су, = —, /1Г,/г. В действительности же при высоких температурах возрастает само число «свободных» электронов, и электронная теплоемкость вещества не описывается простыми формулами. Вопрос об электронной теплоемкости плотного газа при высоких температурах подробно обсуждался в з 14 гл. 111. При температурах порядка 10 000 — 20 000' К, которые были достигнуты В опытах по ударному сжатию металлов, до такого положении еще далеко, и теплоемкость электронов можно приближенно считать пропорциональной температуре, как это следует из формулы (11.25).
Надо сказать, что температура вырождения Та возрастает при сжатии металла (Та ег з/а), так что температурная область, в которой справедливо приближение з, Т', сге Т, в сжатом веществе больше, чем при нормальной плотности. Согласно уравнению состояния для свободного электронного газа (как вырожденного, так и невырожденного), тепловая часть давления электронов равна 1 р )гзТ 2 ае 1 Т е З У З Кслн определить «коэффициент Грюнайзена» для электронов Г, соотношением, аналогичным (11.13), р.=г Ф ° (11.27) то длЯ свободного электРонного газа он окажетсЯ Равным з/з. С. Б. Корнером [3) был проведен детальный анализ температурного поведения электронов на основе статистических моделей атомной ячейки по Томасу — Ферми и Томасу — Ферми — Дираку (см.
з 12 — 14 гл. И1). Были привлечены приближенные расчеты Гильвари И9), который рассматривал температурные члены как поправку по отношению к модели холодного атома Томаса — Ферми, расчеты Латтера 120), о которых шла речь в з 14 гл. 111, и экспериментальные данные. Этот анализ показал, что до температур порядка 30 000 †000' К теплоемкость электронов, как и в модели свободных электронов пропорциональна температуре: сне 'Т, з, Т', причем с ростом плотности такая закономерность сохраняется до все более высоких температур. Что же касается теплового давления, то коэффициент Г, оказывается равным з/з только в предельных случаях очень высоких температур или очень больших плотностей, когда кинетическая энергия электронов гораздо болыпе кулоновской. В реализованной на опытах по ударному сжатию области температур и плотностей вечичина Г, несколько меньше; она равна примерно 0,5 — 0,6.
В результате оказалось, что можно с достаточной степенью точности принять Г, = сопз1 = '/з. Для того чтобы не вступить при этом в противоречие с термодинамическим тождеством (11.12), вместе с изменением коэффициента Г, необходимо одновременно изменить связанный с ним показатель степени в зависимости энергии от объема, а именно, следует вместо е, 1/*~«Т» принять зависимость е, е"'/«Т» *).
е) Легко проверять, что прн зависимости а — Уьг' н уравнении состояния р = Геа /У с Г = сопз«тармодннамнчсское тождество удовлстворяегся только прн А = Ге. о 71 удАРБАя АдиАБАтА КОндкнсиРОВАннОГО ВкщкстВА 549 Полагая коэффициент электронной теплоемкости при нормальном объеме равнк<м своему экспериментальному значению, можно согласно С. Б. Кормеру записать приближенно, при Т ( 30 000 — 50 000' К: ее= — РТт (11.28) < ее Ре 2 у (11.
29) $ 6. Трехчленное уравнение состояния Резюмируем коротко результаты $ 2 — 5. Удельную внутреннюю энергию и давление твердого или жидкого вещества можно представить в виде сумм трех составляющих, которые описывают упругие свойства холодного тела, тепловое движение атомов (ядер) и тепловое возбуждение электронов. Рассматривая не слишком высокие температуры, не выше нескольких десятков тысяч градусов (и болыпие сжатия), можно в порядке приближения считать, что атомы совершают малые колебания и что теплоемкость их равна су = 3<т'<<. Злектронпые члены при таких температурах описываются приближенными формулами (11.28), (11.29): Таким образом, энергия и давление равны: е = ох(У)+ет+ее Р =Рх(У)+ Рт+ Ре где Уок ЕХ(У) = ~ Рх(У) <<7', е, = ЗЛ<й (Т вЂ” То) + еа е,= —,' ро(-,,- — )'Т', ет 7 те р,=г(У)-,—, р,=-,— —,— (11.30) 2.
УДАРНАЯ АДИАБА<А й 7. Ударная адиабата конденсированного вещества Законы сохрапения потоков массы, импульса и энергии на фронте ударной волны (1.61) — (1.63) имеют совершенно общее значение, безотносительно к агрегатному состоянию вещества, по которому распространяется волна. Поскольку дая<е в очень слабых ударных волнах давления измеряются тысячами атмосфер, начальным атмосферным давлением То — комнатная температура; ео — тепловая энергия атомной решетки при комнатной температуре, которая берется из таблиц. Коэффициент электронной теплоемкости при нормальном объеме ро берется из опытов по измерению теплоемкости при очень низких температурах.
Коэффициент Грюнайзена Г (У) связан с функцией рх (Р) дифференциальным соотношением (11.18). Остается только одна неизвестная величина — упругое давление как функция объема р (У), которая должна находиться экспериментальным путем. .2 550 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ всегда можно пренебречь, считая его равным нулю. Обозначим, как обычно, через  — скорость распространения ударной волны по невозмущенному веществу, а через и — скачок массовой скорости во фронте, равный скорости вещества за фронтом (в лабораторной системе координат), если перед фронтом вещество покоится.
Опуская индекс у величин аа фронтом, запишем законы сохранения массы и импульса в виде (11.31) У (» — )* Р= — '," . (11.32) Исключая из этих уравнений скорость и, получим (11.33) В качестве третьего, энергетического соотношения возьмем уравнение ударяой адиабаты (1.71) с ро — — 0: з — со= — Р(г~о — 2 ). 1 (11.34) Полная энергия, приобретаемая 1 г вещества в результате ударного сжатия р (ого — )г), распределяется поровну между кинетической их/2 и внутренней е — зо энергиями (в системе д координат, где невозмущенное вещество покоится). Изменение внутренней энергии з свою очередь складывается из изменений упругой энергии и тепловой.
Рассмотрим сначала ударную волну, распространяющуюся по телу с нулевой темпеРатУРой: То = О, зо — — О, гго = гго„. ПРоведем на диаграмме р, У (рис. 11.6) адиабату холодного сжатия р„(гг) и ударную адиабату рн (г), которая, естественно, про- С л ходит выше, так как полное давление за фрон- том складывается из упругого и теплового. '2 Упругая энергия з, приобретаемая вещестр 22 з Р гг „а „„вом, численно равна площади криволинейного ударного сжатия холодного треугольника ОВС, заштрихованного гори- вещества. < "х зонтально ( з = 1 р ггр') . Полная внутнринан холодного ожагин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
