Е.И. Кугушев - Курс лекций по аналитической механике (1161221), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Рассмотрим множество уровня F Mc = {x | F (x) = c}. Если на Mc grad F 6= 0, топо теореме о неявной функции Mc есть (n − 1)-мерное подмногообразие M n , причём v его всюду касается. Еслина M n определена инвариантная для v мера с гладкой плотностью, то оказывается, что на Mc можно определить (n − 1) форму, которая будет задавать инвариантную меру для ограничения нашего векторного поля наMc∂∂t F (x(t))13Утверждение 1.20. Пусть для системы ẋ = v(x) есть инвариантная мера, F (x) – первый интегралсистемы и dF 6= 0 на Mc . Тогда на Mc (локально) есть инвариантная мера для ограничения исходной системына Mc .
Пусть P ∈ Mc . Выберем в окрестности P локальные координаты x1 , . . . , xn = F (x). Так можно сделать∂f(P ) 6= 0 ⇒ в окрестности P отображение (x1 , . . . , xn ) 7→по теореме о неявной функции ( ∂xi(x1 , . . . , xi−1 , F (x), xi+1 , . . . , xn ) есть диффеоморфизм)В этих координатах исходная система примет видẋ = v1 1 ...ẋn−1 = vn−1ẋn = 0div ρv =n−1P1∂ρi∂xi= 0. Пусть инвариантная мера задаётся n-формой ωn = ρ(x)dx1 ∧ . . . ∧ dxn = ρ(x)dx1 ∧ . . . ∧ dF =(ρdx1 ∧ . .
. ∧ dxn−1 ) ∧ dF = ωn−1 ∧ dF . Ограничение ωn на Mc есть ωn−1 . Локальные координаты на Mc естьx1 , . . . , xn−1 , и уже на Mc для ρ и v выполнены условия теоремы Лиувилля, поэтому ωn−1 задаёт инвариантнуюмеру на Mc . Эта теорема локальна, и определяет ωn−1 в каждой точке Mc . Покажем, что на самом деле все эти формысогласованы. Пусть ωn−1 , ω̃n−1 – инвариантные меры на двух пересекающихся координатных окрестностях Mc .По построению в окрестности (в M n ) пересечения этих окрестностей ω = ωn−1 ∧ dF = ω̃n−1 ∧ dF .Лемма 1.21. Пусть γ – k-форма, ν – ненулевая 1-форма.
Если γ ∧ ν = 0, то γ = δ ∧ ν для некоторой(k − 1)-формы δ. Дополним ν до базиса в пространстве ковекторов и запишем в этом базисе γ. Если в γ есть слагаемыебез ν, то 0 мы не получим. Таким образом, на Mc ωn−1 − ω̃n−1 = γn−2 ∧ dF . Осталось заметить, что на Mc dF = 0. (Но не в M n , поэтомуи можно применить лемму). Поэтому ωn−1 корректно задана на всём Mc .1.4.3.
Интегрируемость в квадратурахПусть дана система дифференциальных уравнение ẋ = v(x) (x ∈ Rn ) и набор функций ϕ1 (x, t), . . . , ϕk (x, t).Тогда говорят, что (локально) система интегрируется в квадратурах, если её общее решение можно найти припомощи конечного набора операций из ϕ1 , . . . , ϕk . Допустимые операции суть арифметические действия, взятиечастных производных по координатам и времени, взятие определённого интеграла и применение теоремы онеявной функции (обращение).Утверждение 1.22. Если ϕ1 = F1 , . . . , ϕn−1 = Fn−1 — функционально независимые (rk ∂F∂x максимален)первые интегралы системы, то система интегрируема в квадратурах.
Действительно, применим к системе уравнений F1 (x) = c1...Fn−1 (x) = cn−1теорему о неявной функции: все xi выражаются через c1 , . . . , cn−1 и одну из координат (считаем, что xn ): x1 = x1 (xn , c1 , . . . , cn−1 )...xn−1 = xn−1 (xn , c1 , . . . , cn−1 ).Мы перешли к новым координатам: y1 = c1 , . . ., yn−1 = cn−1 , yn = xn . В них система уравнений выглядитгораздо лучше: ẏ1 = 0 ...ẏn−1 = 0ẏn = vn (x1 (y), . . . , xn−1 (y), yn ) = ṽ(c1 , . . .
, cn−1 , yn ).В последнем уравнении переменные разделяются:Zyn1dyn=ṽyn0Zt1t014dt.Обращением (ещё раз теорема о неявной функции) получаем xn = yn = yn (t, c1 , . . . , cn−1 , C) (C — константаинтегрирования). x1 , . . ., xn−1 получаются как функции (известные) от xn , c1 , . . ., cn−1 . 1.4.4. Теорема Якоби о последнем множителеОказывается, если есть инвариантная мера, то для интегрируемости в квадратурах достаточно иметь неn − 1, а n − 2 независимых первых интеграла.Теорема 1.23 (Якоби о последнем множителе). Пусть у ẋ = v(x) есть n − 2 независимых первыхинтеграла F1 (x), .
. . , Fn−2 (x) и инвариантная мера с гладкой плотностью ρ(x). Тогда система интегрируетсяв квадратурах. Как и раньше, по теореме о неявной функции выберем за первые n − 2 координаты наши первыеинтегралы, а оставшиеся выберем произвольным образом. Система примет вид ẏi = 0, i = 1, . .
. , n − 2ẏn−1 = vn−1 (yn−1 , yn , c), c = (y1 , . . . , yn−2 )ẏn = vn (yn−1 , yn , c)Зафиксируем c и рассмотрим ограничение системы на соответствующее многообразие уровня. Оно двумерно,обозначим для простоты записи u = yn−1 , w = yn . Система примет вид(u̇ = vu (u, w)ẇ = vw (u, w)По доказанному ранее у этой системы есть некоторая инвариантная мера с плотностью ρ(u, w). Для доказательства интегрируемости в квадратурах достаточно предъявить ещё один первый интеграл, независимый сFi .∂ρvuwПоложим ω1 ⇋ −ρvw du + ρvu dw. dω1 = ∂ρv+du ∧ dw = div ρv(u,w) = 0 по теореме Лиувилля. Из∂w∂u∂ϕзамкнутости ω1 следует, что она локально точна и существует ϕ : dϕ = ω1 , т.е. ∂ϕ∂u = −ρvw , ∂w = ρvu . Покажем,что ϕ(u, w) – первый интеграл.∂(ϕ(u(t), v(t))) = −ρvw u̇ + ρvu ẇ,∂tчто в силу уравнения равно −ρvw vu + ρvw vu = 0, что и требовалось доказать.
1.4.5. Теорема Пуанкаре о возвращенииПусть, как и раньше, задано дифференциальное уравнение ẋ = v(x). Зафиксируем ∆t и положим T = g ∆t .Ясно, что T k = g k∆t . Мы перешли к дискретному случаю (сдвиги вдоль решения на величины, кратные ∆t).Теперь рассмотрим более общую ситуацию. M — пространство с мерой µ. T : M −→ M — взаимно-однозначноеµ-измеримое преобразование. Мера µ называется инвариантной (относительно T ), если µ(D) = µ(T D) длялюбого µ-измеримого D. (По сути здесь мы определили динамическую систему.
Подробнее об этом см. книгуП. Халмоша «Эргодическая теория».)Теорема 1.24 (Пуанкаре). Если µ(M ) < ∞ и µ инвариантна относительно T , то для любого измеримогоD если µ(D) > 0, то существуют такие x ∈ D и N > 0, что T N x ∈ D (x возвращается в D). Рассмотрим семейство множеств D, T D, T 2D, . . . , T n D, . . .. Если они попарно не пересекаются, то (в силуинвариантности)nXµ(D ∪ T D ∪ .
. . ∪ T n D) =µ(T k D) = nµ(D).k=0Но тогда µ(M ) > nµ(D) −→ ∞ (n −→ ∞), что противоречит конечности меры M .Значит, существуют такие k и l, что k > l и T k D ∩ T l D 6= ∅. Но тогда T k−l D ∩ D 6= ∅, т. е. существует y ∈ Dтакой, что y ∈ T k−l D. Положим x = T −(k−l) y, N = k − l. Имеем: T N x = y ∈ D и x ∈ D (поскольку y ∈ T N D),что и требовалось. Заметим, что на самом деле верно более сильное утверждение: если µ(D) > 0, то µ-почти все x ∈ D возвращаются в D. Действительно, обозначим множество тех x, которые не возвращаются, через D′ . Если µ(D′ ) > 0,то к нему применима теорема Пуанкаре, т.е.
существует x ∈ D′ , для которого T N x ∈ D′ . Но тогда T N x ∈ D,что противоречит нашему предположению. Значит, µ(D′ ) = 0, что и требовалось1.Следующий факт мы докажем позже средствами гамильтоновой механики.1 По-хорошему ещё надо доказать измеримость D ′ . Это делается, например, так: D ′ =измеримо как счётное пересечение измеримых множеств.15TN>0 {x∈ D : TNx ∈/ D} =TN>0D\T −N D 2q̇) Утверждение 1.25.
Если L(q, q̇) – лагранжиан системы, то форма ∂ L(q, dq1 ∧ . . . ∧ dqn ∧ dq̇1 ∧ . . . ∧ dq̇n∂ q̇2задаёт инвариантную для уравнения Лагранжа меру.Можно было бы попытаться применить здесь теорему о возвращении, но, увы, эта мера на всём конфигурационномпространстве редко бывает конечной. Однако для натуральных систем мера множества Mh =no∂L∂ q̇ q̇ − L = h конечна (почему?). следовательно, имеет место свойство возвращения.1.5. Динамика тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкойДано твёрдое тело, на которая наложена единственная связь: точка O (точка подвеса) неподвижна.
Ясно, чтоэта система имеет 3 степени свободы (например, углы Эйлера). Связь считаем идеальной (трения в точке подвесанет). Мы будем рассматривать тяжёлое твёрдое тело с неподвижной точкой: тело находится в однородном полетяжести.Выведем уравнения движения нашей системы. Переместим начало координатPв точку O. Поскольку связидопускают поворот системы вокруг любой оси, для кинетического момента K = [r i , mi ṙi ] выполнено соотношение (закон изменения кинетического момента):XdK=momO Fiвнеш. =: MO .dtЗдесь Fiвнеш.
— это сила тяжести, она равна2 Pmi g.Pi ri, где m = mi — масса тела. Имеем:Пусть C — центр масс нашего тела: rC = mmhXiXMO =[ri , mi g] =mi r i , g = [mr C , g] = [rC , mg].(mg — вес тела). ОтсюдаdK= [rC , mg].dtПусть ξ, η, ζ — главные оси инерции (в них тензор инерции J имеет диагональный вид: J = diag(A, B, C)).Главные оси движутся вместе в телом. Их орты мы обозначим через e1 , e2 , e3 . rC = ℓ1 e1 + ℓ2 e2 + ℓ3 e3 , ℓi = const(главные оси неподвижны относительно твёрдого тела).Положим ω = pe1 + qe2 + re3 . Тогда K = Jω = Ape1 + Bqe2 + Cqe3 .
Далее (по теореме сложения скоростейдля вектора K),˜dKdK= v абс = v отн (K) + v пер (K) =+ [ω, K].dtdt˜Здесь dKdt := v отн (K) = (Aṗ, B q̇, C ṙ) в системе координат ξ, η, ζ, а v пер (K) = [ω, K] по формуле Эйлера.Полученное соотношение˜dKdK=+ [ω, K]dtdtназывается формулой относительного дифференцирования.Подставляя это выражение для dKdt в уравнение движения, получаем новое уравнение:˜dK+ [ω, K] = [r C , mg].dtВ проекциях на подвижные оси: Aṗ + (C − B)qr = Mξ = −mg(ℓ2 γ3 − ℓ3 γ2 )B q̇ + (A − C)rp = Mη = −mg(ℓ3 γ1 − ℓ1 γ3 )C ṙ + (B − A)pq = Mζ = −mg(ℓ1 γ2 − ℓ2 γ1 )Здесь γ — единичная вертикаль (g = −gγ, MO = −mg[rC , γ]). В неподвижной системе координат γ = (0, 0, 1),g = (0, 0, −g), в подвижной γ = (γ1 , γ2 , γ3 ).Эта система уравнений (с произвольными Mξ , Mη , Mζ — не обязательно для сил тяжести) называется динамическими уравнениями Эйлера. Эта система из 3 уравнений на 6 неизвестных — она не замкнута.Чтобы замкнуть систему уравнений Эйлера, заметим, что γ в абсолютной системе координат постоянен,откуда˜dγdγ=+ [ω, γ].0=dtdt2 Будемиспользовать обозначение g для вектора ускорения свободного падения и g для |g|.16В подвижных координатах получаем уравнения Пуассона: γ̇1 + qγ3 − rγ2 = 0γ̇2 + rγ1 − pγ3 = 0γ̇3 + pγ2 − qγ1 = 0.Вместе уравнения Эйлера и Пуассона дают замкнутую систему ОДУ из 6 уравнений относительно 6 неизвестных — уравнения Эйлера – Пуассона.1.5.1.
Первые интегралы уравнений Эйлера – ПуассонаI. Связи не зависят от времени, силы потенциальны— значит, есть интеграл энергии T + V = h = const.Pmi gzi = mgzC . Вычислим zC в подвижной системе координат:T = 12 hJω, ωi = 12 (Ap2 + Bq 2 + Cr2 ). V =zC = hγ, r C i = ℓ1 γ1 + ℓ2 γ2 + ℓ3 γ3 .
Интеграл энергии:1(Ap2 + Bq 2 + Cr2 ) + mg(ℓ1 γ1 + ℓ2 γ2 + ℓ3 γ3 ) = h.2II. Момент сил тяжести относительно γ равен нулю. Значит, есть интеграл кинетического момента отноzсительно z: dKdt = Mz = 0, Kz = σ = const. σ = Kz = hK, γi = Apγ1 + Bqγ2 + Crγ3 .III. γ12 + γ22 + γ32 = |γ|2 = 1 = const. Это — тривиальный интеграл.1.5.2.
Инвариантная мера уравнений Эйлера – ПуассонаУтверждение 1.26. Мера, задаваемая в координатах p,q,r,γ1 ,γ2 ,γ3 функцией плотности, тождественноравной единице, является инвариантной мерой для системы уравнений Эйлера – Пуассона. Достаточно проверить, что в этих координатах div ρv = div v = 0, а это ясно из вида уравнений. Заметим, что здесь положение тела выражено не через углы Эйлера, а через координаты p, q и r.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
