Е.И. Кугушев - Курс лекций по аналитической механике (1161221), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Преобразование задаётся кинематическими формулами Эйлера (см. прошлый семестр):  ϕ̇pq  = D(ϕ, θ, ψ) ψ̇  ,rθ̇причём det D = sin2 θ 6= 0, когда θ ∈/ {0, π} (т.е. углы Эйлера не вырождаются). Поэтому, если мы знаем p, q иr, то получаем систему ОДУ  ϕ̇ϕ̇ψ̇  = D−1 ψ̇  ,θ̇θ̇которая интегрируема в квадратурах (это мы доказывать не будем).По теореме Якоби о последнем множителе если известны 4 первых интеграла и инвариантная мера, системаинтегрируется в квадратурах.

У нас есть 3 первых интеграла. Четвёртый удаётся найти только в некоторыхчастных случаях.1.5.3. Понятие о трёх классических случаях интегрируемости уравнения Эйлера –ПуассонаУкажем три случая, в которых удаётся найти недостающий первый интеграл. Первый и второй случай потомбудут рассмотрены подробнее.1. Волчок Эйлера. ℓ1 = ℓ2 = ℓ3 = 0 (центр масс находится в точке подвеса) или g = 0. В этом случаеправые части уравнений (моменты сил тяжести) равны нулю.2.

Волчок Лагранжа. A = B (динамически симметричное твёрдое тело), ℓ1 = ℓ2 = 0 (центр тяжестилежит на оси динамической симметрии Oζ).3. Волчок Ковалевской. A = B = 2C, ℓ3 = 0.В. В. Козлов доказал, что при малых отклонениях от этих случаев дополнительного аналитического интеграла не существует.171.5.4. Волчок ЭйлераВ этом случае уравнения Эйлера имеют вид (система уравнений Пуассона отделяется и нас не интересует): Aṗ + (C − B)qr = 0B q̇ + (A − C)rp = 0C ṙ + (B − A)pq = 0.Моменты сил равны нулю, значит, K̇ = 0, то есть K = const. Отсюда k 2 = A2 p2 + B 2 q 2 + C 2 r2 = K 2 =const — получили добавочный первый интеграл.

Теперь систему можно проинтегрировать. Действительно, изсоотношений( 2Ap + Bq 2 + Cr2 = 2hA2 p2 + B 2 q 2 + C 2 r2 = k 2можно выразить q и r через p, после чего получается одно уравнение вида Aṗ = f (p), которое решается методомразделения переменных.Фазовый портрет уравнений Эйлера. Фазовое пространство у нас трёхмерно (p, q, r). Зафиксируем h(выделим в пространстве эллипсоид), k меняем. Перейдём к координатам k1 = Ap, k2 = Bq, k3 = Cr. В этихкоординатах наши первые интегралы имеют вид: 222 k1 + k2 + k3 = 2hABC 2k1 + k22 + k32 = k 2 ,то есть фазовой кривой будет пересечение сферы с эллипсоидом.Считаем A > B > C (рассматриваем только невырожденный случай со строгими неравенствами) и h > 0.Обозначая a2 = 2Ah, b2 = 2Bh, c2 = 2Ch, перепишем первое уравнение в видеk12k22k32++= 1.a2b2c2Это эллипсоид с полуосями a > b > c.Второе уравнение задаёт пересекающую этот эллипсоид сферу радиуса k.

Рассмотрим несколько случаев:1. k 2 < c2 . Пересечение пусто (движения не существует).2. k 2 = c2 . Касание в двух диаметрально противоположных точках. Этот случай соответствует стационарным вращениям — очевидным решениям уравнений Эйлера r(t) = r0 = const, p(t) = q(t) = 0 (в этом случаеω = (0, 0, r0 ) — вращение вокруг третьей главной оси); в случае k 2 = a2 получится вращение вокруг первой оси.3. c2 < k 2 < b2 или b2 < k 2 < a2 .

Топологически — две окружности.4. Остался последний и самый интересный случай: b2 = k 2 . Тогда 222 k1 + k2 + k3 = 1222abc 2k1 + k22 + k32 = b2 (= k 2 ).Обозначим α2 =1b2−1a2и −β 2 =1b2−1c2(это корректно, т.к. a > b > c). Получаемα2 k12 − β 2 k32 = 0,то есть"αk1 − βk3 = 0αk1 + βk3 = 0— две плоскости в пространстве k1 , k2 , k3 . В сечении сферы получаются две окружности — сепаратрисы.Стационарное вращение вокруг средней оси неустойчиво, вокруг наибольшей и наименьшей — устойчиво(имеется в виду устойчивость в пространстве угловых скоростей).1.5.5.

Геометрическая интерпретация Пуансо движения волчка ЭйлераВспомним, что в любое твёрдое тело «вморожен» эллипсоид инерции, задающийся в главных осях инерцииξ, η, ζ уравнением Aξ 2 + Bη 2 + Cζ 2 = 1. Если мы сможем описать движение этого эллипсоида, то, очевидно, мыопишем и движение нашего твёрдого тела.Теорема 1.27 (Пуансо).

Эллипсоид инерции волчка Эйлера катится без проскальзывания по неподвижной(в абсолютных координатах) плоскости, ортогональной K.18 Зафиксируем неподвижную СК, у которой начало в центре масс волчка, ez направлен противоположноK, ex,y – произвольные дополнение ez до ортонормированного базиса.

Обозначим через π горизонтальнуюплоскость, на которой в данный момент времени «стоит» эллипсоид, касаясь её в точке P . Для доказательстватеоремы нужно, чтобы π была неподвижной и чтобы v абс (P ) = 0 (качение без проскальзывания).Начнём с неподвижности π. Запишем координаты P в главных осях инерции: P = (ξP , ηP , ζP ), причёмAξP2 +BηP2 +CζP2 = 1. Т.к. эллипсоид касается π, то нормаль к эллипсоиду в P параллельна ez , т.е. K. Вспоминая,что нормаль к поверхности, заданной уравнением f (x, y, z) = 0 параллельна ∇f , получим2(AξP , BηP , CζP ) = αK = αJω = α(Ap, Bq, Cr),−−→то есть OP = λω.

Заметим, что λ > 0, т.к. hK, ωi = hJω, ωi = 2T > 0, поэтому ω смотрит «вниз» (угол между ω−−→и K не больше π/2), но OP тоже смотрит «вниз».Теперь докажем, что λ = const. Действительно, имеем (ξP , ηP , ζP ) = λ(p, q, r), (AξP , BηP , CζP ) = λ(Ap, Bq, Cr),поэтому λ2 · 2h = λ2 (Ap2 + Bq 2 + Cr2 ) = AξP2 + BηP2 + CζP2 = 1, откуда λ = √1h . Далее,d(O, π) =−−→ KOP ,|K|=λ hω, Kiλλ · 2h=hω, Jωi == const .|K||K||K|Найдём скорость точки касания в абсолютной СК.

По формуле Эйлераh −−→ivP = vO + ω, OP = 0 + 0,−−→т.к. OP параллелен ω. 1.5.6. Регулярная прецессия волчка ЭйлераРассмотрим волчок Эйлера с A = B. Справедливо тривиальноеУтверждение 1.28. У такого волчка вектора eζ , K, ω лежат в одной плоскости. Запишем определитель, натянутый на наши вектора в главных осях инерции.001 Ap Aq Cr = 0.pqr Поэтому ω = αeζ + βez (т.к. K k ez ).Теперь рассмотрим три системы координат:1. Систему, в которой неподвижны ez и eζ ,2.

Систему главных осей инерции (в которой неподвижны оси eξ , eη , eζ ),3. Неподвижную систему Oxyz.Утверждение 1.29. Система 1 вращается в системе 3 с угловой скоростью ω1/3 = βez , а система 2вращается в системе 1 с угловой скоростью ω2/1 = αeζ . Это просто теорема о сложении угловых скоростей. Определение.

Такое движение твёрдого тела называется регулярной прецессией.Одно из динамических уравнений Эйлера в случае симметричного волчка упростится: C ṙ + (B − A)pq =C ṙ = 0, откуда r = r0 = const. Подставим эту константу в закон сохранения энергии: Ap2 + Aq 2 + Cr2 =const ⇒ A(p2 + q 2 ) = const. Легко видеть, что θ = ∠(ez , eζ ) = const (все точки оси Oζ описывают окружности,ортогональные Oz), поэтому кинематические формулы Эйлера принимают видp = ψ̇ sin θ cos ϕ,q = ψ̇ sin θ sin ϕ,r = ψ̇ cos θ + ϕ̇.Поэтому const = p2 + q 2 = ψ̇ 2 sin2 θ, следовательно, ψ̇ = const. Из третьей формулы Эйлера получим ϕ̇ =r0 − ψ̇ cos θ = const. Мы получили альтернативное определение регулярной прецессии (легко проверить, что оноэквивалентно предыдущему):19Определение. Движение твёрдого тела называется регулярной прецессией, если углы Эйлера можно выбрать таким образом, чтоθ̇ = 0,ϕ̇ = const,ψ̇ = const .1.5.7.

Волчок ЛагранжаУ волчка Лагранжа A = B, а центр масс лежит на оси симметрии (она же третья главная ось инерции),ℓ1 = ℓ2 = 0. Интеграл C ṙ + (B − A)pq = −mg(ℓ1 γ2 − ℓ2 γ1 ) вырождается в C ṙ = 0, поэтому r = const. Запишемлагранжиан волчка: V = mgzцм = mgl cos θ, где l – расстояние от центра масс до подвеса (считаем, что подвес2C 2AC22222ниже). T = A2 (p + q ) + 2 r = 2 (ψ̇ sin θ + θ̇ ) + 2 (ψ̇ cos θ + ϕ̇) ,L=T −V =A 2 2C(ψ̇ sin θ + θ̇2 ) + (ψ̇ cos θ + ϕ̇)2 − mgl cos θ.22Видно, что ϕ, ψ – циклические, интегралы импульса:(∂L∂ ϕ̇ = cϕ̇ + cψ̇ cos θ = βϕ ,∂L= Aψ̇ sin2 θ + C ψ̇ cos2 θ + cϕ̇ cos θ = Aψ̇ sin2 θ + cos θβϕ = βψ .∂ ψ̇Рассмотрим невырожденный случай C 6= A, θ 6= 0, π. Выразим циклические импульсы и понизим порядок уравнения по Раусу:βψ − βϕ cos θβϕ − C ψ̇(βϕ , βϕ , θ) cos θβϕψ̇ ==− ψ̇ cos θ, ϕ̇ =CCA sin2 θAR(θ, θ̇, βϕ , βψ ) = L − βϕ ϕ̇ − βψ ψ̇ =2(β −β cos θ)2(βψ − βϕ cos θ)2βϕC22sin θ + θ̇ +ψ̇ cos θ +− ψ̇ cos θ − βϕ ϕ̇ − βψ ψ̇ =2CA2 sin4 θβϕ2Aθ̇2(βψ − βϕ cos θ)2Aθ̇2=−+− mgl cos θ =− V ∗ (θ).222C22A sin θβ2β2ϕV ∗ (θ) = ψ2A sin+ mgl cos θ − 2Cϕ — приведённый потенциал.

Константа 2Cϕ не влияет на вид уравнений2θРауса, поэтому мы её отбросим.Изучим фазовый портрет решений уравнения Рауса (у нас осталась система с одной степенью свободы). Дляэтого сделаем в V ∗ замену u = cos θ, u ∈ (−1, 1) и разложим потенциал на простые дроби.V ∗ (u) = A1 + A2 u +Имеем V ∗ (u) −→ +∞ при u −→ ±1, поэтому A3 , A4 > 0.∗A3A4+.1−u 1+u∂V ∗∂u= A2 +A3(1−u)2−A4(1+u)2– монотонная функция,∂V ∗∂u−→ −∞, u −→ −1, ∂V→ +∞, u −→ 1. Поэтому существует единственный минимум V ∗ в точке u0 .

Характеристики

Список файлов лекций