Е.И. Кугушев - Курс лекций по аналитической механике (1161221), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Рассмотримсемейство кривых q(t), t ∈ [t1 , t2 ] с закреплёнными концами: q(t1 ) = q1 , q(t2 ) = q2 . Определим на этих кривыхфункционал, называемый действием: вот так он действует на кривую q0 (t):I[q0 ] =Zt2L(q0 , q̇0 , t) dt.t1Вариацией по Гамильтону кривой q0 называется семейство кривых q∗ (t, α), t ∈ [t1 , t2 ], α ∈ (−ε, ε). такое, чтоq∗ (t, 0) = q0 (t), q∗ (t1 , α) = q1 , q∗ (t2 , α) = q2 . Заметим, I[q∗ ] есть функция параметра α. Вариацией I на вариацииq∗ называется производная этой функции по параметру α в нуле:dI[q∗ ] .δI[q∗ ] =dα α=0Утверждение 1.7 (вариационный принцип Гамильтона).
Кривая q0 (t) удовлетворяет уравнениямЛагранжа 2-го рода (является траекторией движения) тогда и только тогда, когда δI[q∗ ] = 0 для любойвариации q∗ кривой q0 .Кривые, на которых все вариации функционала I равны нулю, называются его экстремалями. Если накривой q0 (t) достигается слабый минимум в задаче классического вариационного исчисления: I[q] −→ min, q(t1 ) =q1 , q(t2 ) = q2 , то это экстремаль (обратное неверно). Используя понятие экстремали, можно переписать принципГамильтона так: кривая q0 (t) является траекторией движения тогда и только тогда, когда она являетсяэкстремалью функционала I. Внесём дифференцирование по α под знак интеграла и в предположении того, что всё гладко, проинтегрируем по частям.
Внеинтегральный член равен нулю (поскольку на концах q∗ не зависит от α). ОкончательнополучимZt2 ∂Ld ∂L ∂q∗ δI[q∗ ] =−dt,∂qdt ∂ q̇ ∂α α=0t1что равно нулю для всех q∗ в том и только в том случае, когда выполняется уравнение Лагранжа (скобка подинтегралом равна нулю).Более подробно и аккуратно это рассуждение излагается в любом приличном курсе вариационного исчисления. В случае натуральной системы можно показать (мы этого делать не будем), что для достаточно близких q1 иq2 траектория движения даёт минимум действия (а не просто экстремаль).
В этом случае принцип Гамильтонаназывается ещё принципом наименьшего действия. На длинных траекториях могут появляться сопряжённыеточки.1.2.3. Принцип Мопертюи – ЯкобиБудем предполагать, что наша система натуральна. Тогда L = 21 hA(q)q̇, q̇i−V (q). Матрица A(q) положительноопределена, а значит, задаёт риманову метрику ds2 = hA(q) dq, dqi. Эта метрика называется кинетической.2(k · k — норма, задаваемая кинетической метрикой).T = kq̇k2Зафиксируем константу h. Введём метрику Якоби в области {q : h − V (q) > 0}: dρ2 = 2(h − V (q)) ds2 .
Вслучае, когда h — значение интеграла энергии, эта область есть внутренность ОВД.Пусть γ0 — кривая, соединяющая q1 и q2 (в любой параметризации. Действием по Якоби называется длинаэтой кривой в метрике Якоби:ZZ p√ Z √J[γ0 ] = dρ = 2h − V ds = 2(h − V )T dt.γ0γ0γ0√Последнее равенство следует из вот √таких соотношений: kq̇k = 2T ; ds2 = hA(q) dq, dqi = hA(q)q̇ dt, q̇ dti =hA(q)q̇, q̇i dt2 = kq̇k2 dt2 ; ds = kq̇k dt = 2T dt.Вариация по Якоби кривой γ0 — это семейство кривых γ∗ (α), α ∈ (−ε, ε), γ∗ (0) = γ0 , левый и правый концыγ∗ (α) — это q1 и q2 соответственно.
Вариация функционала:dJ[γ∗ (α)] .δJ[γ∗ ] =dαα=08Зададим кривую γ0 и постоянную h, для которой h > V (q) для всех q ∈ γ0 . Тогда на γ0 можно ввести такуюпараметризацию q(t), что энергия движения вдоль пути q(t) из q1 в q2 будет в точности равна h. Действительно,пусть τ — некоторый параметр на γ0 . Для искомого параметра t должно выполняться соотношение11hA(q)q ′ , q ′ iτ̇ + V (q) = hA(q)q̇, q̇i + V (q) = h22(здесь ′ =dddτ , ˙ = dt ).Отсюда получаемτ̇ =s2(h − V );hAq ′ , q ′ it=Zτ s0hAq ′ , q ′ idτ2(h − V )— получили требуемый параметр t (знаменатель положителен в силу выбора h, а числитель — в силу положительной определённости матрицы A).Итак, каждой кривой γ сопоставляется движение по ней q(t) с энергией h.Утверждение 1.8 (вариационный принцип Мопертюи – Якоби).
γ0 — траектория (q0 (t) — движениепо ней с энергией h) тогда и только тогда, когда δJ[q∗ ] = 0 для любой вариации по Якоби γ∗ траектории γ0 .Здесь q∗ — движение по γ∗ с энергией h.Докажем эквивалентность экстремальности по Якоби и экстремальности по Гамильтону. ПоложимI1 [q0 ] = I[q0 ] + h(t2 − t1 ). Этот функционал отличается от действия на константу, поэтому δI1 = δI. ПосколькуRt2h(t2 − t1 ) = h dt,t1Zt2Zt2 pZt2 √ 2√I1 [q0 ] = (T − V + h) dt =h−V − Tdt + 2(h − V )T dt.t1t1t1Второе слагаемое есть J[γ0 ], а первое есть тождественный ноль в силу того, что h = T + V как полная энергия.Отсюда получаем, что δI[q∗ ] = 0 тогда и только тогда, когда δJ[q∗ ] = 0, что и требовалось. 1.3.
Устойчивость положения равновесияPРассмотрим натуральную механическую систему, т.е. систему с лагранжианом L = L2 + L0 = T − V =i,j aij (q)q̇i q̇j − V (q).Определение. q0 называется положением равновесия, если q(t) = q0 – решение уравнения движения системы. Элемент фазового пространства (q0 , t0 ) называется состоянием равновесия, если q0 – положение равновесия.12Лемма 1.9.
q0 — положение равновесия ⇔∂V (q0 )∂q= 0.Запишем уравнение Лагранжа на траектории, соответствующей положению равновесия (на ней q̇ ≡ 0):XX ∂aij∂ ∂Vaij q̇j −q̇k q̇j += 0.∂t∂q∂qiijj,kВспомним, что такое устойчивость положения равновесия по Ляпунову (в нашем случае).Определение. Положение равновесия системы ОДУ второго порядка q0 называется устойчивым по Ляпу⋆⋆нову, если ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀(q ⋆ , q̇ ⋆ ) : kq −q0 k + kq̇ k < δ для решения q̃(t) с начальными условиями q̃(t0 ) =⋆ ˙⋆˙ < ε для любого t > t0 .q , q̃(t0 ) = q̇ выполнено kq̃(t) − q0 k + q̃(t)Теорема 1.10 (Лагранжа-Дирихле об устойчивом положении равновесия натуральных механических систем). Пусть система натуральна и q0 – точка строгого локального минимума потенциальнойэнергии V (q).
Тогда q0 – устойчивое (по Ляпунову) положение равновесия.(q0 ) Из того, что q0 – локальный минимум V , следует, что ∂V∂q= 0. Без ограничения общности считаем,что q0 = 0, V (q0 ) = V (0) = 0 (если это не так, сделаем замену координат и сдвинем V ). ∃β > 0 : 0 < kqk < β ⇒V (q) > 0.Заметим, что полная энергия системы E = T + V также имеет в точке (0, 0) строгий локальный минимум:E(0, 0) = 0, E(q, q̇) > 0 при 0 < ||q||C 1 < µ для некоторого µ > 0. Пусть ε < µ, c = min||q||+||q̇||=ε E(q, q̇) > 0. Изнепрерывности E имеем, что∃δ > 0 : ||q|| + ||q̇|| < δ ⇒ E(q, q̇) < c.9Теперь рассмотрим траекторию с начальными условиями в δ-окрестности (0, 0). Тогда E(t) ≡ E = E(q0 , q̇0 ) < c,что означает, что (q, q̇) никогда не выйдет на уровень ||q|| + ||q̇|| = ε, а, следовательно, не покинет ε-окрестность(0, 0), что и требовалось. Рассмотрим систему с L = L2 + L1 + L0 , ∂L∂t = 0 – н.м.с.
с гироскопическими силами. Для таких системтеорему можно обобщить:Теорема 1.11. q0 – строгий локальный максимум L0 (q) ⇒ q0 – устойчивое положение равновесия. Доказывается аналогично, используя интеграл энергии: ∂L∂ q̇ q̇ − L = L2 − L0 = h = const. 1.3.1. Диссипативные силы и их влияние на устойчивостьОпределение. Обобщённая сила Q(q, q̇) называется диссипативной, если ∀(q, q̇) hQ, q̇i 6 0 (мощность неположительна). d∂L∂LРассмотрим систему с непотенциальными силами: dt∂ q̇ − ∂q = Q(q, q̇).d∂LЛемма 1.12. dt∂ q̇ q̇ − L = hQ, q̇i.
D E∂Ld∂L∂L∂L∂Ld∂L∂Ld dt∂ q̇ q̇ − L = dt∂ q̇ q̇ + ∂ q̇ q̈ − ∂q q̇ − ∂ q̇ q̈ = dt∂ q̇ − ∂q , q̇ = hQ, q̇i в силу уравнения Эйлера. Таким образом, при наличии в системе только диссипативных непотенциальных сил, обобщённая энергиясистемы (значение интеграла Якоби) не возрастает вдоль траектории движения. Для того, чтобы доказать дляэтих систем теорему Лагранжа–Дирихле, осталось только показать, что при добавлении диссипативных силположение равновесия останется положением равновесия, для чего достаточна следующаяЛемма 1.13. Q(q, 0) = 0. Мы считаем, что Q у нас непрерывна, поэтому Q(q, ε) = Q(q, 0) + o(1), ε −→ 0.
Пусть Q(q, 0) = a 6= 0.Рассмотрим ε = λa, λ −→ 0+. Запишем условие диссипативности:2hQ(q, λa), λai = ha + o(1), λai = λ(kak + ho(1), ai) 6 0.При малых λ последнее неравенство противоречиво. Пример 3.1.(Силы Релея) Пусть Φ(q, q̇) = 12 hR(q)q̇, q̇i > 0(q̇ 6= 0), где положительно определённая Rназывается матрицей Релея. Сила Q(q, q̇) = − ∂Φ∂ q̇ = −R(q)q̇ будет диссипативной: hQ, q̇i = −2Φ 6 0.Примером такой силы является сопротивления вязкой среды при движении с небольшой скоростью, в такомслучае Q = O(kq̇k).1.3.2. Малые колебанияPРассматриваем систему с лагранжианом L = L2 + L1 + L0 = 12 i,j ai,j (q)q̇i q̇j + hd(q), q̇i − V (q), ∂L∂t = 0.Пусть q0 – положение равновесия. Линеаризуем уравнение движения в окрестности q0 , т.е.
разложим его в рядпо q и q̇ и отбросим нелинейные члены. Для удобства заметим, что замена лагранжиана L 7→ L + hα, q̇i , α ∈ Rnдопустима (не меняет уравнений движения), поэтому заменим q 7→ q − q0 , V 7→ V − V (q0 ), d(q) 7→ d(q) − d(q0 ).Теперь можно считать q0 = 0, V (0) = 0, d(0) = 0. Разложим L в ряд по q и q̇ до членов второй степени(потому что при подставлении в уравнение Лагранжа дифференцирование L по q и q̇ одну степень «убьёт»).Получим11L̃ = L̃2 + L̃1 + L̃0 = hAq̇, q̇i + hCq, q̇i − hBq, qi ,22 2∂dj (0)∂ V (0)L̃1где A = (aij (0)), B = ∂qi ∂qj , C =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
