Е.И. Кугушев - Курс лекций по аналитической механике (1161221), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Подставим в форму ξ и η = (ei , 0, 0): 0 = ωi (ξ, η) = bi +∂Hподставив η = (0, ej , 0), получим 0 = ω2 (ξ, η) = −ai + ∂pc, откуда видно, что ξ параллелен ṽH . i∂H∂qi c,2.2.2. Интегральные инварианты Пуанкаре и Пуанкаре–КартанаRОпределение. Пусть γ – замкнутая кривая в расширенном фазовом пространстве. Тогда ω1 называетсяγотносительным интегральным инвариантом Пуанкаре–Картана.
(относительным, потому что только для замкнутых кривых)Пусть s – какой-нибудь параметр на γ и t(s) непрерывна(а ещё лучше – гладкая) определим γ̃(s) = g t(s) γ(s)— сдвиг вдоль фазового потока системы на t(s). Поверхность, которую описывает γ при сдвиге вдоль фазовогопотока, называется трубкой тока.Теорема 2.3.
Пусть γ(s) и сдвиг t(s) таковы, что трубка тока является многообразием с краем γ ⊔ γ̃ (небудем уточнять, когда именно это выполнено). ТогдаZZω1 = ω1 .γγ̃ Обозначим поверхность трубки тока через Σ. Так как ṽH касается Σ, то ω2 |Σ = 0. Действительно Σдвумерно, поэтому в любой точке x ∈ Σ в Tx Σ можно выбрать базис из ṽH (x) и ещё какого-нибудь вектора y.Тогда для любых ξ = aṽH + by, η = xṽH + zy ω2 (ξ, η) = ω2 (aṽH , zy) + ω2 (by, xṽH ) = 0, т.к.
ṽH аннулирует ω2 .Осталось вспомнить, что ω2 = dω1 , поэтому по формуле СтоксаZZZ0=ω2 = ω1 − ω1 ,Σγ̃γт.к. индуцированные ориентации на γ и γ̃ противоположны. Следствие 2.1. Пусть g τ — сдвиг вдоль линий тока на τ . ТогдаRγω1 =Rω1 .gτСледствие 2.2. Пусть γ ∗ — контур в фазовом пространстве (γ = (q(s), p(s))) в момент τ0 . ТогдаZZpdq.pdq =γ∗gττ0 γ ∗Это называется интегральным инвариантом Пуанкаре. Заметим, что на кривых в фазовом пространстве dt = 0. 2.2.3. Инвариантность канонической формы при сдвиге вдоль фазовых кривыхВспомним, что диффеоморфизм f : M −→ N порождает линейное отображение касательных пространствf ∗ : Tx M −→ Tf (x) N , называющееся дифференциалом отображения. Как хорошо известно, при этом возникаетлинейное отображение внешних алгебр в обратную сторону: если у нас была дифференциальная форма ω2 наT N , то на T M можно определить (f∗ ω2 )(η1 , η2 ) = ω2 (f ∗ η1 , f ∗ η2 ).
Замечательное свойство канонической формысостоит в том, что фазовый поток её не меняет.24Теорема 2.4. g∗t ω2 = ω2 . Вспомним,чтоRR 2-формы α и β совпадают тогда и только тогда, для любого гладкого вложения двумерного диска Σ Σ α = Σ β.ZZZZZZω2 =ω1 =ω1 =ω1 =ω2 =g∗t ω2 .Σ∂Σgt ∂Σ∂gt Σgt ΣΣ2.2.4. Ещё раз теорема Лиувилля о сохранении фазового объёмаИспользуя предыдущую теорему, можно показать, что сдвиг фазового пространства (не расширенного) посредством g t сохраняет 2-форму dp ∧ dq (доказательство производится подъёмом в расширенное пространство споследующим наблюдением, что на кривых с постоянной координатой t dt = 0), поэтому он будет сохранять ивнешние степени dp ∧ dq.Из сохранения формы (dp ∧ dq)n = Cdp1 ∧ .
. . ∧ dpn ∧ dq1 ∧ . . . ∧ dqn мы получаем ещё одно доказательствотеоремы Лиувилля: фазовый объём при сдвиге вдоль траекторий системы инвариантен.2.3. Канонические преобразованияДля автономного случая всё просто: H = H(q, p); Q, P — новые переменные. Преобразование (замена координат) каноническое, если форма уравнений остаётся гамильтоновой с гамильтонианом H̃(Q, P ) = H(q(Q, P ), p(Q, P )).Дадим общее определение.Определение. Преобразование q, p, t −→ Q, P, T (замена координат в расширенном фазовом пространстве)каноническое, если существуют функции H̃ и S на расширенном фазовом пространстве такие, чтоp dq − H dt = P dQ − H̃ dT + dS.(1)Это определение унивалентного канонического преобразования.
Иногда рассматривают преобразования с условиемp dq − H dt = c(P dQ − H̃ dT ) + dS, где c — произвольная константа, называемая валентностью преобразования.Утверждение 2.5. Если замена каноническая, то в координатах Q, P , T уравнения движения q̇ = Hp ,ṗ = −Hq имеют вид∂ H̃ dQ=dT∂P(2)dP∂ H̃=−,dT∂Qто есть являются гамильтоновыми с гамильтонианом H̃. Возьмём внешнюю производную от (1) и вспомним, что d2 S = 0:dp ∧ dq − dH ∧ dt = dP ∧ dQ − dH̃ ∧ dT.Множества аннуляторов правой и левой частей совпадают, значит вектор vH = (Hp , −Hq , 1) есть аннуляторформы dP ∧ dQ − dH̃ ∧ dT . Значит, vH = cvH̃ , где vH̃ = (H̃P , −H̃Q , 1), то есть поле направлений для (2.5)совпадает с полем направлений для исходной системы уравнений.
Заметим, что не всегда будет H̃ = H.Далее считаем, что T = t (время не меняется). Тогда (1) перепишется в видеp dq − H dt = P dQ − H̃ dt + dS.(3)В фиксированный момент времени t0 рассмотрим фазовое пространство. Каждая точка в нём задаётся, содной стороны, координатами q, p, а с другой стороны — Q, P . Возьмём смешанный набор: рассмотрим случай,когда в качестве (локальных) координат в фазовом пространстве можно взять q, Q. Тогда можно записатьS = S(q, Q, t). S(q, Q, t) называется производящей функцией канонического преобразования. Дальше мы увидим,что само преобразование записывается через производные S. Заметим, что в (2.3) входят только дифференциалынезависимых переменных (dq, dQ и dt) и dS.
Запишем dS как полный дифференциал и подставим в (2.3):p dq − H dt = P dQ − H̃ dt +25∂S∂S∂Sdq +dQ +dt.∂q∂Q∂tОтсюда получаемp=∂S,∂qH̃ =∂S+ H,∂tP =−∂S.∂Q2∂ S6= 0 (в таком случае преобразование называется свободным по переменным q, Q). ТогдаПусть det ∂Q∂q∂Sпоследнее соотношение (P = − ∂Q(q, Q, t)) можно разрешить относительно q: q = q(Q, P, t), откуда p = ∂S∂q =p(Q, P, t), H̃ = H̃(Q, P, t). Если S не зависит от времени, то H̃ есть старый гамильтониан H, записанный в новыхпеременных.2.3.1.
Производящая функция тождественного преобразованияРассмотрим тождественное преобразование: q = Q, p = P . Здесь в качестве координат в фазовом пространстве брать q и Q уже нельзя.В качестве новых координат возьмём q и P . S = S(q, P ). По формуле Лейбница P dQ = −Q dP + d(P Q). Второе слагаемое (полный дифференциал) отнесём к S, положив S̃ = S + P Q. Условия каноничности и свободности(по переменным q и P ) запишутся так:p dq − H dt = −Q dP − H̃ dt + dS̃;det∂ 2 S̃6= 0.∂q∂PЭтим условиям удовлетворяет S̃ = qP — это и будет производящая функция тождественного преобразования.2.3.2. Сдвиг по траекториям как каноническое преобразованиеСдвиг по траекториям гамильтоновой системы тоже есть замена координат (в качестве координат Q и Pточки в фазовом пространстве можно взять координаты q0 и p0 точки, которая переходит в данную за время∆t).
Мы знаем, что при сдвиге сохраняется каноническая 2-форма:dP ∧ dQ − dH̃ ∧ dt = dp ∧ dq − dH ∧ dt,откуда в силу леммы Пуанкаре для некоторой функции Sp dq − H dt = P dQ − H̃ dt + dS,т.е. преобразование является каноническим.2.4. Понижение порядка по УиттекеруПусть система автономна: H = H(q, p), q, p ∈ Rn . Значит, есть первый интеграл H(q, p) = h.
Пусть Σ ={(q, p) | H(q, p) = h} — его многообразие уровня. dim Σ = 2n − 1. На Σ выберем новые координаты P , Q и τ ирассмотрим Σ как расширенное фазовое пространство новой гамильтоновой системы (уже неавтономной).vH = (Hp , −Hq ) касается Σ (dH(vH ) = 0 в силу уравнений Гамильтона). Фазовые кривые лежат в Σ икасаются поля направлений, заданного векторным полем vH .∂HДопустим, что локально ∂p6= 0. Тогда разрешим уравнение H(q, p) = h относительно pn :npn = −K(q1 , .
. . , qn , p1 , . . . , pn−1 , h).Введём новые переменные: Q = (q1 , . . . , qn−1 ) ∈ Rn−1 , P = (p1 , . . . , pn−1 ) ∈ Rn−1 , τ = qn . Тогда pn =∂H−K(Q, P, τ ). Заметим, что при этом выборе координат τ̇ = q̇n = ∂p6= 0, то есть векторное поле vH действиnтельно является полем направлений вдоль «времени» τ .Теорема 2.6. В координатах Q, P , τ дифференциальные уравнения, соответствующие полю направленийvH |Σ , таковы:∂K ′Q =∂P∂K ′,P = −∂Qdгде ′ = dτ.
Рассмотрим фазовое пространство X в любой фиксированный момент времени t0 (всё равно, в какой, ибополе направлений у нас инвариантно относительно сдвигов по t). На нём задано векторное поле vH = (Hp , −Hq ),а в расширенном фазовом пространстве Y задано поле направлений ṽH = (Hp , −Hq , 1).26Мы хотим доказать, что ограничение поля vH на Σ аннулирует форму ω̃2 = dP ∧dQ − dK ∧dτ ; тогда по леммео аннуляторе наше поле на Σ будет гамильтоновым с нужным гамильтонианом. Очевидно, для ξ, η ∈ T Σ ⊂ T Xвыполнено (dP ∧ dQ − dK ∧ dτ )(ξ, η) = (dp ∧ dq)(ξ, η).Осталось заметить две вещи: во-первых, ограничение ω2 |Σ совпадает с dp∧dq, т.к.
dH, dt на Σ равны нулю, вовторых, ∀η ∈ T Σ ω2 (vH , η) = ω2 (ṽH , η), т.к. ω2 (vH −ṽH , η) = ω2 ((0, 0, 1), η) = −(dH ∧dt)((0, 0, 1), η) в координатах(q, p, t), но на Σ dH(η) = dt(η) = 0. Так как vH ∈ T Σ, то получаем ω̃2 (vH , η) = (dp ∧ dq)(vH , η) = ω2 (vH , η) =ω2 (ṽH , η) = 0 для всех η ∈ T Σ. 2.5. Автономизация гамильтоновой системыПусть система неавтономна: H = H(q, p, t). Введём новые координаты: Q = (q, t), P = (p, Pn+1 ) (t = Qn+1 ) иновый (автономный) гамильтониан W (Q, P ) = H + Pn+1 . Для новой системы уравнения движения имеют вид∂W∂H=(i = 1, .
. . , n)q̇i = Q̇i =∂P∂pii∂W=1 Q̇n+1 = ∂Pn+1∂W∂Hṗi = Ṗi = −=−(i = 1, . . . , n)∂Qi∂qi∂W∂H Ṗn+1 = −=−∂Qn+1∂tПри начальных условиях Qn+1 (0) = 0 получаем решение исходной системы.2.6. Уравнение Гамильтона – ЯкобиПусть задана система с гамильтонианом H(q, p, t). Мы ищем каноническое преобразование q, p, t −→ Q, P, t,для которого H̃ = 0 (при этом уравнения движения приобретут простейшую форму), т.е. соответствующуюпроизводящую функцию S(q, Q, t):∂SH̃ =+ H(q, p, t)= 0.∂tq=q(Q,P,t), p=p(Q,P,t)Подставим сюда p =∂S∂qи получим соотношение на S (как функцию от q, Q, t):∂S∂S+ H q,, t = 0.∂t∂qСчитая Q параметром (зафиксировав его), получим уравнения в частных производных на S по переменным qи t — уравнение Гамильтона – Якоби.Условие свободности преобразования записывается так:det∂2S6= 0.∂q∂Q2.6.1.
Полный интеграл уравнения Гамильтона – ЯкобиОпределение. Функция W (q, α, t), зависящая от t, q ∈ Rn и параметров α ∈ Rn , называется полным интегралом уравнения Гамильтона – Якоби, если:1. для всех α W есть решение уравнения Гамильтона – Якоби:∂W∂W+ H q,, t = 0;∂t∂q2.det∂2W6= 0.∂q∂αУтверждение 2.7. Если известен полный интеграл уравнения Гамильтона – Якоби, то система уравнений Гамильтона интегрируется в квадратурах.27 Рассмотрим каноническое преобразование q, p, t −→ Q = α, P = β, t, задаваемое производящей функциейS = W (q, α, t).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
