Е.И. Кугушев - Курс лекций по аналитической механике (1161221), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Из пункта 2 определения полного интеграла следует, что это преобразование свободно. В новыхпеременных уравнения движения тривиальны: H̃ = 0 в силу уравнения Гамильтона – Якоби, а значит α̇ = 0,β̇ = 0, т.е. α = const, β = const.Далее, в силу свободности уравнение β = ∂W∂α (q, α, t) можно разрешить относительно q: q = q(α, β, t). Отсюдаp = ∂W=p(α,β,t).Получилипараметрическоесемейство решений уравнений Гамильтона. ∂q2.7. Симплектическое многообразие2.7.1. Симплектическая структураkПусть M — гладкое многообразие.Определение. Симплектической структурой на M k называется 2-форма ω2 со следующими свойствами:1.
замкнутость (dω2 = 0);2. невырожденность: ∀ξ ∈ Tx M, ξ 6= 0 ∃η ∈ Tx M, η 6= 0 ω2 (ξ, η) 6= 0 (т.е. аннулятор ω тривиален — состоиттолько из нулевого вектора).Многообразие с симплектической структурой называется симплектическим многообразием.Утверждение 2.8. Размерность любого симплектического многообразия чётна (k = 2n). Действительно, пусть ω2 (ξ, η)|x = hA(x)ξ, ηi. Тогда в силу косой симметрииhAξ, ηi = ω2 (ξ, η) = −ω2 (η, ξ) = −hAη, ξi = −hAT ξ, ηi,для всех ξ, η, откуда A = −AT (A — кососимметрическая матрица). Значит, det A = det(−AT ) = (−1)k det A.При нечётных k матрица A, а значит и форма ω2 вырождена.
2.7.2. Теорема Дарбу о канонических координатахПриведём без доказательства следующее утверждение (кому интересно, пусть посмотрит в книгу А. Картана«Дифференциальные формы»):Теорема 2.9 (Дарбу). Пусть (M 2n , ω2 ) — симплектическое многообразие, x0 ∈ M 2n . Тогда в окрестностиx0 существует система координат x = (q, p), q = (x1 , . .
. , xn ), p = (xn+1 , . . . , x2n ), в которой симплектическаяструктура имеет видnXω2 = dp ∧ dq =dxi+n ∧ dxi .i=1Такие координаты называются каноническими.2.7.3. Гамильтоново векторное полеПусть на симплектическом многообразии (M 2n , ω2 ) задано векторное поле v(x). Положим ω1 (ξ) := ω2 (ξ, v),J : v 7→ ω1 (векторные поля −→ 1-формы). В точке J есть невырожденное отображение конечномерных пространств (R2n ), поэтому есть обратное: J −1 : ω1 7→ v.Определение. Пусть H — функция на M 2n . Векторное поле vH = J −1 (dH) называется гамильтоновым сгамильтонианом H.Заметим, что это определение не зависит от выбора системы координат.
ω2 (ξ, vH ) = dH(ξ). Теперь перейдём(по теореме Дарбу) в канонические координаты.Утверждение 2.10. В канонических координатах vH = (Hp , −Hq ). Действительно, в канонических координатахX ξ i ξ i q piω2 (ξ, η) = (dp ∧ dq)(ξ, η) =ηp ηqi = ξp ηq − ξq ηp .iПодставляя η = vH и вспоминая, что ω2 (ξ, vH ) = Hq ξq + Hp ξp , получаем требуемое. 2.8.
Скобки ПуассонаГладкие функции на M 2n образуют векторное пространство. Есть гомоморфизм из него в пространствогамильтоновых векторных полей. Введём в пространстве гладких функций структуру алгебры Ли.28Определение. Пусть H и F — гладкие функции на M 2n . Тогда функцияG = {H, F } = ∂vH F = dF (vH ) = ω2 (vH , vF )называется скобкой Пуассона функций H и F .Свойства скобок Пуассона: (все эти свойства проверяются явно)0◦.
В канонических координатах∂F ∂H∂F ∂H−.{H, F } =∂q ∂p∂p ∂q1◦. Кососимметричность: {F, G} = −{G, F }.2◦. Билинейность.3◦. Тождество Якоби: {F, {G, H}} + {G, {H, F }} + {H, {F, G}} = 0.Утверждение 2.11. F является первым интегралом гамильтоновой системы с гамильтонианом H тогдаи только тогда, когда {H, F } = 0.2.8.1. Алгебры ЛиЛинейное пространство, оснащённое билинейной кососимметрической формой, удовлетворяющей тождествуЯкоби, называется алгеброй Ли.
Сама форма в этом случае называется скобкой Ли или коммутатором.Мы показали, что C∞ (M 2n ) со скобкой Пуассона есть алгебра Ли. Примерами алгебр Ли являются такжепространство матриц n × n с коммутатором {A, B} = BA − AB и R3 со структурой векторного произведения.2.8.2. Связь коммутаторов функций и гамильтоновых векторных полейНапомним определение коммутатора векторных полей:Определение. Векторное поле w = [u, v] называется коммутатором векторных полей u и v, если∂w = ∂u ∂v − ∂v ∂u .Из курса дифференциальной геометрии известно, что w — это действительно векторное поле (старшие производные сокращаются).Утверждение 2.12.
v{H,F} = [vH , vF ].∂v{H,F} G = dG(v{H,F} ) = {{H, F }, G} = −{G, {H, F }} = {H, {F, G}} + {F, {G, H}} = {H, {F, G}} −{F, {H, G}} = ∂vH ∂vF G − ∂vF ∂vH G = ∂[vH ,vF ] G. Следствие 2.3. Коммутатор гамильтоновых векторных полей есть гамильтоново векторное поле. Гамильтоновы векторные поля с коммутатором образуют алгебру Ли.2.8.3. Теорема Пуассона о первых интегралах гамильтоновых системТеорема 2.13. Пусть F и G — первые интегралы системы с гамильтонианом H. Тогда {F, G} — тожепервый интеграл этой системы. {H, {F, G}} = −{F, {G, H}} − {G, {H, F }} = 0. Следствие 2.4.
Первые интегралы образуют алгебру Ли.2.9. Переменные действие – угол2.9.1. Теорема Лиувилля – Арнольда о вполне интегрируемых системахОпределение. Функции g и h на M 2n находятся в инволюции, если {g, h} = 0.Приведём без доказательства следующее утверждение:Теорема 2.14. Пусть у гамильтоновой системы на (M 2n , ω) с гамильтонианом H есть n первых интегралов f1 = H, f2 , .
. . , fn , причём1. f1 , . . . , fn попарно находятся в инволюции;2. выполнены условия невырожденности (не будем уточнять, какие).3. Пусть c ∈ Rn , Mc = {x ∈ M 2n : fi (x) = ci } — многообразие уровня c (то, что это действительно многообразие, входит в условия невырожденности); df1 , . . . , dfn независимы на Mc . Mc называетсяинвариантным многообразием.4. M̃c — компактная связная компонента Mc .Тогда:291. M̃c = T n = S 1 × . . .
× S 1 (n-мерный инвариантный тор). На T n можно ввести координаты ϕ1 , . . . , ϕnmod 2π; в этих координатах уравнения движения имеют вид ϕ̇i = ωi = const (движение — условнопериодическое).2. Существует окрестность T n × Rn компоненты M̃c , где можно ввести канонические координаты ϕ, I(ω2 = dI ∧ dϕ), в которых система имеет вид: H = H(I), ϕ̇ = ω(I) = ∂H∂I ˙I = 0.Такие системы называются вполне интегрируемыми по Лиувиллю; ϕ и I — переменные действие – угол.2.9.2. Переменные действие – угол для систем с одной степенью свободыМы приведём лишь схему вывода, не обращая внимания на мелкие детали.Итак, H = H(q, p) — гамильтониан.
Нам достаточно одного интеграла f1 = H. Невырожденность в данномслучае означает dH 6= 0. Пусть γh = {(q, p) | H(q, p) = h} — линия уровня. Ориентируем γh по часовой стрелке.Мы хотим перейти в новые канонические координаты ϕ, I. ПоложимZ1S(h)I(h) =p dq =.2π2πγhЗдесь S(h) — площадь внутри γh ; второе равенство следует из формулы Грина.
Условие невырожденности:∂I∂h 6= 0.∂II = I(H(q, p)). В областях, где ∂H∂p 6= 0, это соотношение можно разрешить относительно p, т.к. там ∂p =∂I∂H∂h ∂H∂p 6= 0. Заметим, что таких областей внутри γh две: они разделены линией { ∂p = 0} (если не ясно,нарисуйте несколько вложенных γh на плоскости). Итак, p = fj (q, I), где j = 1, 2 — номер области (1 — верхняя,2 — нижняя).Переход к новым координатам Q = ϕ, P = I задаётся производящей функцией W = W (q, P ): Q = ∂W∂P ,.p = ∂W∂qp = fj (q, I) = ∂W∂q , откудаZWj = fj dq + Cj (I).Cj подберём так, чтобы при склейке разных j всё было гладко, т.е.
определим (многозначную) W на всейокрестности.ϕ = ∂W∂I . При обходе γh ϕ меняется на 2π:ZZ 2ZZ∂ W∂∂W∂∂(2πI)∂ϕ∆ϕ|γh =dq =dq =dq =p dq == 2π.∂q∂q∂I∂I∂q∂I∂Iγhγhγhγh2.9.3. Пример: гармонический осцилляторУравнение движения: mẍ = −cx (c > 0).2Обозначим k 2 = c/m, уравнение: ẍ = −k 2 x. Лагранжиан: L = ẋ2 −q = x, p = ∂L∂ q̇ .√pγh — эллипс с полуосями a = 2h, b = 2h/k 2 площади S(h) = πab.I(h) =S(h)abh== .2π2kIk = H =pоткуда p2 = 2kI − k 2 q 2 , т.е. p = f1,2 = ± 2kI − k 2 q 2 =W1,2k 2 x22 .1 2 1 2 2p + k q ,22∂W1,2∂q .ОкончательноZq p=±2kI − k 2 q 2 dq0(считаем Cj = 0).30Гамильтониан: H =1 22p+ 12 k 2 q 2 ,Далее,∂W=ϕ=∂IZq0а потомуk dqp= arcsin2kI − k 2 q 2sin ϕ =rkq.2IПолучаем заменуВ новых координатах система имеет видr q = 2I sin ϕk√p = ± 2kI cos ϕ.(ϕ̇ = kI˙ = 0.k = ω1 — частота колебаний.31r!kq ,2I.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
