Е.И. Кугушев - Курс лекций по аналитической механике (1161221)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций поаналитической механикеЛектор — Евгений Иванович КугушевIV курс, 8 семестр, поток математиковМосква, 2007 г.Оглавление1.2.Лагранжева механика1.1. Уравнения Лагранжа 2-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1. Напоминание о виртуальных перемещениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Вывод уравнений Лагранжа 2-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3. Случай потенциальных сил. Лагранжиан . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.4. Первые интегралы уравнений Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.5. Калибровка лагранжиана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.6. Понижение порядка по Раусу . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Вариационные принципы и симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Поле симметрий. Теорема Нётер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2.

Принцип Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3. Принцип Мопертюи – Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Устойчивость положения равновесия . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1. Диссипативные силы и их влияние на устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.2. Малые колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .1.3.3. Нормальные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.4. Фазовый портрет малых колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.5. Степень неустойчивости и гироскопическая стабилизация . . . . . . . . .

. . . . . . . .1.3.6. «Три источника гироскопических сил» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Инвариантная мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.1. Теорема Лиувилля об инвариантной мере . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.2. Построение инвариантной меры на многообразиях уровня первых интегралов . . . . .1.4.3. Интегрируемость в квадратурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.4. Теорема Якоби о последнем множителе . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.5. Теорема Пуанкаре о возвращении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Динамика тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.1. Первые интегралы уравнений Эйлера – Пуассона . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .1.5.2. Инвариантная мера уравнений Эйлера – Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.3. Понятие о трёх классических случаях интегрируемости уравнения Эйлера – Пуассона1.5.4. Волчок Эйлера . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.5. Геометрическая интерпретация Пуансо движения волчка Эйлера . . . . . . . . . . . . .1.5.6. Регулярная прецессия волчка Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .1.5.7. Волчок Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.8. След оси динамической симметрии на сфере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................4444566677789101010111112121313141515161717171818192020Гамильтонова механика2.1. Уравнения Гамильтона .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1. Вывод уравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа 2-го рода2.1.2. Преобразование Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3. Свойства уравнений Гамильтона . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .2.1.4. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма . . . . . . . . .2.1.5. Вариационный принцип Гамильтона в фазовом пространстве . .2.2. Каноническая форма. Инвариант Пуанкаре – Картана . . . . . . . . . .2.2.1. Лемма об аннуляторе канонической 2-формы . . . . . . . . . . .

.2.2.2. Интегральные инварианты Пуанкаре и Пуанкаре–Картана . . . .2.2.3. Инвариантность канонической формы при сдвиге вдоль фазовых2.2.4. Ещё раз теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма . . . .2.3. Канонические преобразования . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .2.3.1. Производящая функция тождественного преобразования . . . . .2.3.2. Сдвиг по траекториям как каноническое преобразование . . . . .2.4. Понижение порядка по Уиттекеру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5. Автономизация гамильтоновой системы . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .2.6. Уравнение Гамильтона – Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.1. Полный интеграл уравнения Гамильтона – Якоби . . . . . . . . .2.7. Симплектическое многообразие . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .2.7.1. Симплектическая структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7.2. Теорема Дарбу о канонических координатах . . . . . . . . . . . ...........................................212121222222232323242425252626262727272828282. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . ..

. . . .. . . . .. . . . .. . . . .кривых. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .........................................................................................................................................................................2.7.3. Гамильтоново векторное поле . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8. Скобки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.1. Алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.2. Связь коммутаторов функций и гамильтоновых векторных полей .2.8.3. Теорема Пуассона о первых интегралах гамильтоновых систем . .2.9. Переменные действие – угол . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .2.9.1. Теорема Лиувилля – Арнольда о вполне интегрируемых системах2.9.2. Переменные действие – угол для систем с одной степенью свободы2.9.3. Пример: гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................................................................282829292929293030ПредисловиеЭто рабочий черновик лекций по аналитической механике для математиков IV курса, набираемых в режимеRT Александром Харитоновым (kalkin@mexmat.net) и Степаном Кузнецовым (skuzn@inbox.ru).В главу о волчках нужна куча рисунков, без них, боюсь, разобраться будет сложно.

(Саша, April 2, 2008)Теперь здесь есть все лекции, просьба искать ошибки и присылать багрепорты.Последняя компиляция: 13 мая 2008 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.31. Лагранжева механика1.1. Уравнения Лагранжа 2-го рода1.1.1.

Напоминание о виртуальных перемещениях→Рассмотрим систему из N материальных точек с положениями −r = (r1 , . . . , rN ) и массами m1 , . . . , mn , снаб−→жённую k независимыми голономными связями fi ( r , t) = 0, i = 1, . . . , k.

Пусть f = (f1 , . . . , fk ). Независимость∂fiмаксимален, т.е. равен k. Из этого и теоремы о неявной функции слездесь означает, что ранг матрицы ∂rjдует, что конфигурационное пространство нашей системы Σt в каждой точке t локально взаимно однозначно→и взаимно гладко описывается n = 3N − k координатами −q = (q1 , . .

. , qn ), и это описание к тому же гладко−→−→−→→зависит от времени, т.е. ri = ri ( q , t), i = 1, . . . , N , fi ( r ( q , t), t) = 0, i = 1, . . . , k для всех (−q , t) ∈ U × (t0 , t1 ), где−→−→U – открытое множество и r ( q , t) – гладкая функция.Напомним, что такое виртуальное перемещение. →Определение. δr ∈ R3N – виртуальное перемещение, если ∂f δr = 0. Обозначим это, как δr ∈ L(−r , t).∂rвирт→Легко видеть, что Lвирт (r, t) есть не что иное, как касательное пространство к Σt в точке −r.∂rИз геометрических соображений очевидно, что вектора ∂qi образуют базис этого касательного пространства, и поэтому виртуальные перемещения – это образ Rn при отображении x 7→ ∂r∂q x (мы получаем всевозможныелинейные комбинации строк матрицы, т.е.

как раз всё касательное пространство). Докажем это чуть болеенудно, но строго.Возьмём t ∈ R, q, δq ∈ Rn и кривую q(α) на Σt , такую что q(0) = q, q ′ (0) = δq. По определению обобщённыхкоординат, g(α) = f (r(q(α), t), t) ≡ 0. Продифференцируем это по α при α = 0: ∂f∂rg ′ (0) =δq = 0.∂r∂q Следовательно, по определению виртуального перемещения, Im ∂r⊆ Lвирт . Осталось заметить, что этот ∂q∂rобраз имеет ту же размерность, что и Lвирт , то есть n. (матрица ∂qимеет максимальный ранг) Итак, доказана ∂r(q, t) = Lвирт (r(q), t).Лемма 1.1. Im ∂q1.1.2.

Вывод уравнений Лагранжа 2-го родаРассмотрим систему точек с идеальными связями. В прошлом семестре мы получили для неё уравненияЛагранжа с множителями (первого рода) и доказали принцип Д‘Аламбера – Лагранжа:Теорема 1.2. r(t) – действительное движение системы ⇔ в любой точке t для любого виртуальногоперемещения δr hM r̈ − F, δri = 0. (M = diag(m1 , m1 , m1 , . .

. , mN , mN , mN )).Подставим сюда наше новое выражение для виртуальных перемещений.hM r̈ − F,и перенесём матрицу∂r∂q∂rδqi = 0∂q∀δq ∈ Rnналево:*∂r∂qTM r̈ −∂r∂qTF, δq+=0∀δq ∈ Rn .Отсюда получаем уравнения Лагранжа 2-го рода, правда, пока в совершенно уродском виде:∂r∂qTM r̈ =∂r∂qTF.Перепишем их, как уравнения относительно q, q̇, q̈, t: r = r(q, t), ṙ =поэтому, подставив это всё, получим уравнение∂r∂qTM∂r∂qq̈ + g(q, q̇, t) = 0.4∂r∂q q̇+∂r∂t= r(q, q̇, t), r̈ = r̈(q, q̇, q̈, t), .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций