Е.И. Кугушев - Курс лекций по аналитической механике (1161221), страница 7
Текст из файла (страница 7)
V ∗ (u) также∂u −выпукла в силу монотонности производной.Совершив обратную замену, получим, что V ∗ (θ) имеет единственный строгий минимум в θ0 ∈ (0, π) и является выпуклой вниз функцией(рисунок бы). При переходе к фазовому портрету это будет означать, что имеетсяцентр и все фазовые траектории замкнуты, т.е. движение по координате θ периодично.β −β cos θ ∗Обозначим через θ∗ такое значение θ, при котором ψ̇ = ψA sinϕ2 θ∗ = 0.Утверждение 1.30. θ∗ < θ0 . Достаточно доказать, что (V ∗ )′ (θ∗ ) < 0 (см.
график). Но (V ∗ )′ (θ∗ ) = (βψ − βϕ cos θ∗ ) · ... − mgl sin θ∗ =−mgl sin θ∗ < 0. 1.5.8. След оси динамической симметрии на сфере2Рассмотрим различные варианты энергии волчка (энергия здесь обобщённая: h = A2θ̇ + V ∗ (θ)) и посмотрим,какие кривые ось динамической симметрии Oeζ описывает на сфере с центром в точке подвеса:1. h = h0 (минимальная энергия, при которой есть движение).θ = const,В этом случае ψ̇ = const, — это регулярная прецессия.ϕ̇ = constОсь описывает на сфере параллель с широтой θ.202.
Обозначим через h∗ уровень энергии, при котором при θ = θ∗ θ̇ = 0 (да, без рисунка это понять сложно,но что поделаешь). При h0 < h < h∗ имеем знакопостоянство ψ̇(ψ̇ 6= 0), поэтому по координате ψ волчокдвижется все время в одном направлении. След оси находится между двумя параллелями, соответствующими двум широтам θ : V ∗ (θ) = h и описывает кривую, напоминающей синусоиду (колеблется междудвумя параллелями, по очереди касаясь их).3. h = h∗ .Опять, имеем неотрицательность (или неположительность) ψ̇ (едем по ψ в одном направлении) и колебаниямежду двумя параллелями θ : V ∗ (θ) = h. Однако теперь, как мы знаем, меньшая из этих широт равна θ∗и там ψ̇ = 0.
Если нарисовать график θ(ψ), то касательная в тех точках, где ψ̇ = 0, будет вертикальна.Найдём, как ведут себя ψ и θ в окрестности этой особой точки.∗∗∂V∗∗Имеем Aθ̈ = − ∂V∂θ . В точке θ , как мы знаем, − ∂θ > 0, поэтому при θ = θ θ̈ > 0. Положим t = 0 приat2∗∗∗ 1/2θ = θ . Тогда локально θ(t) = θ + 2 + . . ., a 6= 0. Поэтому t = α(θ − θ )+ .
. .(члены более высокого3порядка малости). Теперь рассмотрим ψ: ψ̇(0) = 0, ψ̈(0) = ∂∂θψ̇ θ̇(0) = 0, откуда ψ = ψ ∗ + bt6 + .... Подставивсюда t = α(θ − θ∗ )1/2 + . . . и забив на члены более высокого порядка, получим (ψ − ψ ∗ )2 = β(θ − θ∗ )3 + ..., тоесть в окрестности нашей особой точки график θ(ψ) приблизительно является полукубической параболой.4. h > h∗ .Опять имеем колебания между двумя параллелями, однако теперь при прохождении широты θ∗ меняетсязнак ψ (мы начинаем идти назад), соответственно, касательные в этих точках вертикальны. Однако можнопоказать, что это всё локально и до того, как мы вернёмся на нижнюю параллель, знак ψ поменяется опятьна нужный, то есть в итоге по ψ мы движемся глобально в одном направлении, периодически описывая«завитушки», касающиеся верхней параллели, но не доходящие до нижней, с переменой знака ψ.
Мы этогодоказывать не будем. Также можно показать, что траектория в этом случае не может быть периодической(т.е. представлять из себя замкнутую «завитушку»), но мы этого тоже делать не будем, ибо это 5 страницвыкладок.2. Гамильтонова механика2.1. Уравнения Гамильтона2.1.1. Вывод уравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа 2-го рода2∂p∂ LОбобщённый импульс: p = ∂L∂ q̇ . p = p(q, q̇, t).
В предположении det ∂ q̇2 = det ∂ q̇ 6= 0 разрешим относительноq̇: q̇ = q̇(q, p, t). Новые переменные q, p, t называются каноническими переменными.Функция Гамильтона (гамильтониан):H(q, p, t) = (hp, q̇i − L)|q̇=q̇(q,p,t) .Запишем dH двумя различными способами:∂L∂L∂L∂L∂Ldq −dq̇ −dt = q̇ dp −dq −dt;∂q∂ q̇∂t∂q∂t∂H∂H∂HdH =dp +dq +dt.∂p∂q∂tdH = hdp, q̇i + hp, dq̇i −ОтсюдаВ силу уравнений Лагранжа∂H∂L=− ;∂q∂q∂H= q̇;∂p∂H∂L=−.∂t∂t∂H∂Ld ∂L=−=−= −ṗ,∂q∂qdt ∂ q̇что даёт нам систему 2n ОДУ первого порядка — уравнения Гамильтона:∂H q̇ =∂p∂H ṗ = −.∂q212.1.2. Преобразование ЛежандраТеперь посмотрим на всё это с более высокой точки зрения. Пусть переменная x пробегает Rn и функция∂2 fnf (x) ∈ C∞ (Rn ). Положим y = ∂f∂x ∈ R . Потребуем (локально), чтобы det ∂x2 6= 0.
Тогда по теореме о неявнойфункции x можно выразить через y: x = x(y). Положимg(y) = (xy − f (x))|x=x(y)(под xy понимается их скалярное произведение). Функция g называется преобразованием Лежандра функцииf . Пишем g = G(f ), G : f 7→ g.Обычно от f требуется не только гладкость и невырожденность гессиана, но ещё и выпуклость. В нашемслучае это так: лагранжиан натуральной системы есть выпуклая функция скоростей.Свойства преобразования Лежандра.1◦. G2 есть тождественное преобразование.∂f2◦. Функции f и g = Gf могут зависеть ещё и от параметра z. Тогда ∂g∂z = − ∂z.−1∂2 f∂2g, а f выпукла тогда и3◦.
Если f выпукла, то g = Gf тоже выпукла. (Легко проверяется, что ∂y2 =2∂xтолько тогда, когда матрица Гессе положительно определена.)4◦. Для выпуклых функций g(y) = maxn (xy − f (x)).x∈R Действительно, пусть y лежит в образе ∂f∂x . Тогда функция h(x) = xy − f (x) вогнута (xy линейна и невлияет на выпуклость), и поэтому может иметь не более одного строгого максимума, который может достигаться∂fтолько в точке, в которой ∂h∂x = 0, что эквивалентно y − ∂x = 0, то есть именно там, где нужно.
(попутно мы(x)доказали, что для выпуклой f отображение x 7→ ∂f∂xинъективно) 5◦. Из предыдущего свойства получаем неравенство Юнга f (x) + g(y) > xy.Из этих свойств можно получить уравнения Гамильтона: z = (q, t); L = L(q̇, q, t) = f (q̇, z); H = Gq̇ f . Диффе∂Lренцируя по параметру, получаем ∂H∂q = − ∂q . Далееṗ =d ∂L∂L∂H==−,dt ∂ q̇∂q∂qа поскольку L есть применение преобразования Лежандра к H (свойство 1◦), то q̇ =Гамильтона.∂H∂p .Получили все уравнения2.1.3. Свойства уравнений Гамильтона◦1 . В силу уравнений Гамильтона∂H∂H∂H∂HdH=q̇ +ṗ +=,dt∂q∂p∂t∂t∂Hто есть dHdt = ∂t . В частности, если гамильтониан не зависит явно от времени, то он является первыми интегралом системы.2◦.
H — значение обобщённой энергии системы.Первые интегралы. Кроме интеграла энергии у гамильтоновых систем бывают ещё и циклические интегралы: если ∂H∂qi = 0, то ṗi = 0, т.е. pi — первый интеграл. Понижение порядка системы здесь тривиально: еслинайдём общее решение уравнений Гамильтона по нециклическим координатам (с подставленной произвольнойконстантой вместо pi ) и подставим его в уравнение на qi , то в нём разделятся переменные и его можно будетлегко проинтегрировать, т.к.
H не зависит от qi .2.1.4. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёмаМера, заданная в координатах q, p, t единичной плотностью, является инвариантной для системы уравненийГамильтона.∂HПроверим условие div f = 0 (f = ∂H— векторное поле, соответствующее гамильтоновой системе).∂p , − ∂qДействительно,NNXX∂2H∂2Hdiv f =+−= 0.∂pi ∂qi i=1 ∂qi ∂pii=1Мера с единичной плотностью есть объём в фазовом пространстве, поэтому это утверждение можно записатьи так: V (D) = V (g t D) для любой области D.2Отсюда следует (по теореме о замене переменных в кратном интеграле), что мера с плотностью det ∂ q̇∂i ∂Lq̇jбудет инвариантной для лагранжевой системы.
Для натуральной системы (L = 12 hA(q)q̇, q̇i−V (q)) инвариантнойбудет мера с плотностью ρ = det A.222.1.5. Вариационный принцип Гамильтона в фазовом пространствеВведём функционал действия на кривой γ = (q(t), p(t)) в фазовом пространстве следующим образом:I(γ) =Zt1(pq̇ − H)dt.t0Такое действие называется действием по ГамильтонуЗафиксируем интервал [t0 , t1 ] и кривую γ0 = (q0 (t), p0 (t)), t ∈ [t0 , t1 ].Определение. Вариацией по Гамильтону кривой γ0 в фазовом пространстве называется семейство кривыхγα , α ∈ (−ε, ε), для которых1.
q(ti , α) = q0 (ti ), p(ti , α) = p0 (ti ), i = 0, 1, то есть концы закреплены,2. q(t, 0) ≡ q0 (t), p(t, 0) ≡ p0 (t) и3. q(t, α), p(t, α) являются гладкими функциями.Определение. Вариацией функционала I на γα называется δI(γα ) =∂∂α I(γα ) α=0 .Определение. γ0 – экстремаль I, если δI(γα ) = 0 для любой вариации γα кривой γ0 .Утверждение 2.1 (Вариационный принцип Гамильтона). γ0 — движение системы (решение уравнений Гамильтона) тогда и только тогда, когда γ0 — экстремаль I. Рассмотрим систему с 2n степенями свободы, обобщёнными координатами p, q и «суперлагранжианом»Λ(p, q, ṗ, q̇, t) = pq̇ − H(q, p, t).
Запишем для этого лагранжиана уравнения Лагранжа:∂Λ∂H ∂Λ∂Λ∂H∂Λ= p,=−,= 0,= q̇ −,∂ q̇∂q∂q ∂ ṗ∂p∂pи уравнения имеют вид∂ ∂Λ ∂Λ∂H ∂t ∂ q̇ − ∂q = p + ∂q = 0,∂H ∂ ∂Λ ∂Λ−= −q̇ += 0,∂t ∂ ṗ∂p∂pчто в точности совпадает с уравнениями Гамильтона исходной системы. Осталось только заметить, что действиедля этой лагранжевой системы в точности совпадает с гамильтоновым действием для исходной системы, исослаться на уже доказанный вариационный принцип для лагранжевых систем. 2.2. Каноническая форма. Инвариант Пуанкаре – Картана2.2.1. Лемма об аннуляторе канонической 2-формыОпределение.
Дифференциальная 1-форма в расширенном фазовом пространстве (p, q, t; размерность2N + 1) ω1 = p dq − H dt называется интегральным инвариантом Пуанкаре – Картана.PЗдесь p dq = pi dqi .Определение. Дифференциальная 2-форма ω2 = dω1 = dp∧dq −dH ∧dt называется канонической 2-формой.Определение. Вектор (касательный) ξ называется аннулятором формы ω2 , если для любого (касательного)вектора η ω2 (ξ, η) = 0.Система ОДУ первого порядка задаётся векторным полем v в фазовом пространстве. В расширенном фазовом пространстве ему соответствует поле направлений, задаваемых векторами (v, 1).
Кривая в расширенномфазовом пространстве, в каждой своей точкекасающаясяпрямой поля направлений, — и есть решение.∂H∂H∂HДля уравнений Гамильтона v = vH = ∂p , − ∂q — векторное поле; поле направлений: ṽH = ∂H∂p , − ∂q , 1 .Лемма 2.2 (об аннуляторе канонической 2-формы). ṽH является аннулятором ω2 . Если ũ являетсяаннулятором ω2 , то ũ = cṽH для некоторой константы c.∂H∂H Пусть ξ = (a, b, c), η = (x, y, z), где a, b, x, y ∈ Rn , c, z ∈ R. Распишем форму dH = ∂H∂q dq + ∂p dp + ∂t dt,∂H∂HdH(ξ) = ∂H∂q a + ∂p b + ∂t c, и при внешнем умножении на dt последнее слагаемое убьётся. Запишем значение ω223на ξ и η:!∂H∂Hdq ∧ dt −dp ∧ dt (ξ, η) =ω2 (ξ, η) =dpi ∧ dqi − dH ∧ dt (ξ, η) =dpi ∧ dqi −∂q∂pii X dpi (ξ) dqi (ξ) dH(ξ) dt(ξ) =dpi (η) dqi (η) − dH(η) dt(η) =i X bi ai ∂H a + ∂H b c ∂H∂H∂H∂H∂q∂p=yi xi − ∂H x + ∂H y z = bx − ay − ∂q az − ∂p bz + ∂q xc + ∂p yc.∂q∂pi!XПодставим в полученное выражение ξ =ω2 (ξ, η) = −X∂H∂H∂p , − ∂q , 1= ṽH :∂H∂H∂H ∂H∂H ∂H∂H∂Hx−y−z+z+x+y = 0.∂q∂p∂q ∂p∂p ∂q∂q∂pТеперь пусть ξ = (a, b, c) 6= 0 аннулирует ω2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
