Е.И. Кугушев - Курс лекций по аналитической механике (1161221), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Заметим, что ∂∂L̃q̇1 = Cq, ∂∂q= C T q̇. Обозначим кососимметри∂qiческую матрицу C − C T через Ω. Уравнение Лагранжа для «линеаризованного» лагранжиана L̃ будет иметьвидAq̈ + Ωq̇ + Bq = 0.Рассмотрим натуральную 2 систему (L1 ≡ 0): если 0 является точкой строгого локального минимума V (q) и V V не вырождена в нуле ( ∂q∂i ∂q 6= 0), то это положение равновесия устойчиво (как мы знаем) и линеаризованноеjуравнение Лагранжа принимает вид Aq̈ + Bq = 0. Это уравнение называется уравнением малых колебаний.
Помалым колебаниям можно судить о характере движения системы в окрестности положения равновесия.1.3.3. Нормальные координатыDE˙ Dξ˙ −Совершим линейную замену координат q = Dξ, det D =6 0. Тогда L̃ = 12 hAq̇, q̇i − 21 hBq, qi = 12 ADξ,DE T111T˙ ˙2 hBDξ, ξi = 2 D AD ξ, ξ − 2 D BDξ, ξ , то есть A и B преобразуются, как симметричные билинейныенормы.10Забудем пока, что (0, 0) – устойчивое положение равновесия (т.е., что B положительно определена), будемсчитать лишь, что ∂V∂q(0) = 0. A положительно определена, как матрица кинетической энергии, а про B мызнаем, что она (как гессиан) симметрична.A задаёт некоторое скалярное произведение (структуру евклидового пространства), и по известной теоремелинейной алгебры существует невырожденная замена координат q = Dξ, такая, что базис {ēξi } ортонормированотносительно скалярного произведения, задаваемого A и ортогонален относительно симметричной билинейнойформы, задаваемой B, т.е.
DT AD = E, DT BD = Eλ ∈ diag(R).После этой замены уравнение малых колебаний, а точнее, линеаризованное уравнение Лагранжа (потомучто у нас не обязательно устойчивое положение равновесия и никаких колебаний может не быть) примет видξ¨ + Eλ ξ = 0, Eλ = diag(λ1 , . . . , λn ), λi ∈ R,или, что то же самое,ξ¨i + λi ξ = 0,i = 1, . . . , n.Определение. Координаты, в которых уравнение малых колебаний принимает такой вид, называются нормальными.Если B > 0, то, как мы знаем, положение равновесия устойчиво и λi > 0 по теореме о сохранении сигнатурысимметричной билинейной формы.
Обозначим λi = ωi2 , где ωi > 0 называются частотами малых колебаний.Общее решение системы уравнений ξ̈i + ωi2 ξ = 0, i = 1, . . . , n имеет вид ξi (t) = сi1 cos ωi t + ci2 sin ωi t, то естьтраектории системы – гармонические колебания по всем нормальным координатам.Нормальные координаты можно искать с помощью стандартной процедуры приведения пары форм к диагональному виду: найти все решения det(B − ω 2 A) = 0, нормальной координатой, соответствующей частоте ωi ,будет собственный вектор B−ωi2 A с собственным значением ωi . (если собственных векторов с одним собственнымзначением подпространство, в нём нужно выбрать ортонормированный по A базис)1.3.4. Фазовый портрет малых колебанийВ случае малых колебаний фазовая траектория линеаризованной системы по каждой из координат вблизиξ̇ 2положения равновесия представляет собой эллипс 2i + λ2i ξi2 = c (это линия уровня интеграла энергии), а топологически – тор T1 .
Так как все координаты ξi изменяются независимо, то фазовая кривая всей системы –это условно-периодическое движение по тору Tn , который есть прямое произведение n одномерных торов, покаждому из которых мы движемся с одинаковой «угловой скоростью» (ϕ̇i = ci ). Про обмотки тора есть многоинтересных фактов, например, фазовая кривая на нём будет замкнута тогда и только тогда, когда ci рационально зависимы, а если они рационально независимы, то она будет незамкнута и всюду плотна на Tn . Но это всё– в нормальных координатах. Про то, как себя система будет вести в исходных координатах, есть целая теория(КАМ-теория), но это очень сложно и у нас в курсе этого не будет.1.3.5.
Степень неустойчивости и гироскопическая стабилизацияВернёмся к изучению устойчивости положения равновесия уравнения Aq̈+Ωq̇+Bq = 0. Это линейная системаОДУ, её базисные решения имеют вид q = eλt η, η ∈ Rn , η 6= 0. Подставив такую функцию в уравнение, получим(Aλ2 + Ωλ + B)η = 0, т.е. матрица Aλ2 + Ωλ + C должна быть вырождена и η – вектор из её ядра.Определение. f (λ) = det(Aλ2 + Ωλ + B) называется характеристическим многочленом нашей системы, акорни f (λ) = 0 – её характеристическими числами.Мы будем рассматривать только случай, когда среди характеристических чисел нет 0, т.к.
теоремы об(не)устойчивости по линейному приближению работают только в этом случае. Про вырожденные положенияравновесия есть отдельная сложная наука.Лемма 1.14. f (λ) чётен: f (−λ) = f (λ). f (−λ) = det(Aλ2 − Ωλ + B) = det(Aλ2 − Ωλ + B)T = det(Aλ2 + Ωλ + B) = f (λ), т.к. Ω кососимметрична,а A и B симметричны. Таким образом, вместе с каждым корнем λ у нас есть корень −λ, а если вспомнить, что f (λ) ∈ R[λ], то скаждым комплексным корнем λ обязательно есть ещё и корень λ̄.
Мы получили следующееУтверждение 1.15 (Парность корней характеристического многочлена). Чисто мнимые и действительные ненулевые корни у характеристического многочлена встречаются парами: x ∈ R – корень ⇔−x – корень, z ∈ iR – корень ⇔ −z – корень. Остальные ненулевые корни встречаются четвёрками: a + bi –корень, (a, b 6= 0) ⇒ ±a ± bi – тоже корни.Важным следствием отсюда являетсяСледствие 1.1. Если у характеристического многочлена есть корень с ненулевой действительной частью, то у него есть и корень с положительной действительной частью.11Решением, соответствующим λ с Re λ > 0 будет ξ = eRe λt Ω(poly(t)): оно убегает на бесконечность при t −→ ∞.Интуитивно понятно, что в этом случае положение равновесия исходной системы должно быть неустойчивым.Подкрепляет интуицию следующая теорема, которую мы доказывать не будем.Теорема 1.16 (Ляпунова о неустойчивости по первому приближению).
Если среди корней характеристического многочлена линеаризованной системы есть λ с Re λ > 0, то положение равновесия исходнойсистемы неустойчиво.Из парности корней следует, что если есть корень вне iR, то положение равновесия автоматически неустойчиво.Определение. Степенью неустойчивости положения равновесия называется число характеристических чисел с положительной действительной частью (с учётом кратности)Пусть есть неустойчивая система. Поставим вопрос – можно ли добавлением каких-то сил в систему сделатьданное положение равновесия устойчивым?Определение.
Силы, вносящие в лагранжиан вклад вида Ωq̇, называются гироскопическими.На практике интересен вопрос именно о гироскопической стабилизации, поскольку силы, которыми обычностабилизируют механическую систему, являются гироскопическими. Итак, пусть (0, 0) – неустойчивое положениеравновесия. Существует ли такая кососимметрическая Ω, что при добавлении в линеаризованный лагранжианΩq̇ это положение станет устойчивым? Оказывается, далеко не всегда.Теорема 1.17 (О гироскопической стабилизации). Если степень неустойчивости положения равновесия (0, 0) системы Aq̈ + Ωq̇ + B = 0 нечетна, то гироскопическая стабилизация невозможна.
Заметим, что #{λ | f (λ) = 0, λ ∈ R+ } тоже нечетно, поскольку комплексные корни входят парами. Покажем, что в этом случае det B < 0. Рассмотрим det(Aλ2 + Ωλ + B). Если расписать этот определитель, то станет ясно, что это многочлен степени 2n со старшим членом, равным |A| > 0. По теореме ВиеQ2nта f (0) = det BQ= |A| i=1 λi . Заметим, что произведение пар сопряжённых корней положительно, поэтомуsgn det B = sgn λi ∈R λik = −1, т.к.
отрицательных корней столько же, сколько и положительных – нечётноеkчисло. Теперь посмотрим на f (λ) на бесконечности. det(Aλ2 + Ωλ + B) = λ2n (det A + o(1)) , λ −→ +∞. Поэтому∃ X > 0 : f (X) > 0. Определитель непрерывен, поэтому на интервале (0, X) обязательно найдётся корень характеристического уравнения с положительной (какой же ещё) действительной частью. Осталось только применитьтеорему Ляпунова. 1.3.6. «Три источника гироскопических сил»В механике есть три основных источника, из которых берутся гироскопические силы:1.
Кориолисовы силы в неинерциальных системах отсчёта.2. Силы, действующие на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле3. Нестационарные связи, понижение порядка по Раусу и прочая чертовщина.1.4. Инвариантная мераКак мы далее увидим, было бы здорово, если бы в фазовом пространстве была бы задана мера с гладкой плотностью, инвариантная относительно фазового потока.
У нас мера будет пониматься немного не в томсмысле, что в курсе теории меры (хотя то, что мы будем рассматривать – это частный случай обычной меры).Итак, пусть M n – гладкое n-мерное многообразие, и ωn – дифференциальная форма степени n, т.е. (гладкое)поле полилинейных кососимметричных функционалов на касательном расслоении T M n. (ωn (P )) (ξ1 , . .
. , ξn ) =ρ(P )dx̄(ξ1 , . . . , ξn ), где P ∈ M n , ξi ∈ TP M n , ρ – гладкая функция на M n , а dx̄ – стандартная евклидова формаобъёма (определитель матрицы, составленной из векторов координат ξi ). ρ называется плотностью меры. Самамера определяется на некотором семействе множеств:ZZωn (A) ⇋ ωn = ρ(x̄)dx̄.AAТеорема 1.18 (Напоминание о изменении плотности при замене координат).
Пусть A лежит в пересечении двух карт, и координаты в этих картах – x и y. Тогда для P ∈ A ρy (P ) = ρx (P ) ∂x∂y . Обычная замена переменных в кратном интеграле. Пусть теперь на многообразии задано векторное поле v. Рассмотрим в локальных координатах дифференциальное уравнение ẋ = v(x). Это уравнение порождает однопараметрическую группу преобразований{g t | t ∈ R+ }, где g t – сдвиг сдоль решения ẋ = v(x) за время t.
Эта группа называется фазовым потоком.12Определение. Гладкая мера называется инвариантной мерой по отношению к фазовому потоку g t , Если∀ V ∀ t:ZZρdx̄ =ρdx̄.Vgt V1.4.1. Теорема Лиувилля об инвариантной мереСформулируем критерий инвариантности меры.Теорема 1.19 (Лиувилль). Мера с гладкой плотностью ρ инвариантна по отношению к фазовому потоку, порождаемому полем v тогда и только тогда, когда div(ρv) = 0.nP∂(ρvi )Здесь div(ρv) =∂xi — дивергенция. Заметим, что мы не требуем декартовости системы координат.i=1Из разложения Тейлора имеем (при t −→ 0):∂g t x∂v=E+t + O(t2 ).∂x∂xg t x = x + vt + O(t2 );Обозначим |A| = det A для произвольной матрицы A.
Легко проверить, что при ε −→ 0 имеет место соотношение|E + εA + O(ε2 )| = 1 + ε tr A + O(ε2 ).Инвариантность меры равносильна соотношению (для любого D)ZZρ(x) dx =ρ(x) dx.Dgt DСовершим во втором интеграле замену y = g t x. Получим t ZZZ ∂g x ttt dx.ρ(x) dx = ρ(g x) d(g x) = ρ(g x) ∂x Dgt DDRИнвариантность меры равносильна тому, что интегралρ(x) dx не зависит от t, т.е.gt Dd 0=dtZgt Dρ(x) dx=t=0ZDddt t ∂g x t ρ(g x) dx.∂x t=0В силу автономности системы достаточно требовать равенство нулю производной при t = 0. Истинность этогоt равенства для всех D равносильно равенству нулю подынтегрального выражения.
Вспоминая, что dgdtx = v,t=0 t t ∂g x ∂v= |E| = 1 и ∂g∂xx = E + ∂xt + O(t2 ), получаем ∂x t=0 t ∂g x dρ(g t x) ∂g t x d ∂g t x tρ(g x) =·+ ρ(g x) ·=∂x t=0dt∂x dt ∂x t=0 ∂ρ dg t x d ∂v∂ρd∂v2 2=+ ρ(x)E+t + O(t ) =, v + ρ(x)1 + trt + O(t ) =∂x dt t=0dt ∂x∂xdt∂xt=0∂ρ∂v=, v + ρ(x) tr.∂x∂xDEP ∂vi∂ρ∂vОстаётся заметить, что справа как раз стоит div(ρv) = ∂x, v + ρ div v (div v =∂xi = tr ∂x ). d0=dtti1.4.2. Построение инвариантной меры на многообразиях уровня первых интеграловПусть F (x)интеграл системы ẋ = v(x), т.е. для любого решения системы x(t) выполняется – первый= ∂F∂x , v = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
