Е.И. Кугушев - Курс лекций по аналитической механике (1161221), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. .,Обозначим матрицу∂r∂qTM∂r∂qчерез A. Покажем, что оно разрешимо относительно q̈, т.е. A обратима.Возьмём кривую r = r(q(α)) и посчитаем на этой кривой «кинетическую энергию» T ′ = 21 hM r′ , r′ i > 0, заметим,∂q∂q ∂q∂q′что r′ = ∂r∂q ∂a , поэтому T = hA ∂a , ∂a i > 0 для любого ∂a 6= 0, значит, A положительно определена и обратима.∂r∂ ṙ∂rИтак, ṙ(q, q̇, t) = ∂r∂q q̇ + ∂t , поэтому ∂ q̇ = ∂q . Считаем все связи достаточно гладкими (чтобы можно было∂ ∂r∂ ṙ∂∂ ∂rпереставлять местами частные производные). Тогда ∂t( ∂q ) = ∂q, ∂q(ṙ) = ∂t( ∂q ).
T∂rF называется вектором обобщённой силы. Qi =Преобразуем правую часть нашего уравнения. Q = ∂qP ∂rj∂rjj ∂qi Fj , т.е. это как бы мощность (а ∂qi – «скорости»).Теперь разберёмся с левой частью.! T T T !∂r∂∂∂r∂∂r(M ṙ) =M ṙ −M ṙ.∂q∂t∂t∂q∂t∂qЗапишем кинетическую энергию в обобщённых координатах: T = T (q, q̇, t) = 12 hM ṙ, ṙi = 12 hM ṙ(q, q̇, t), ṙi.∂a=Лемма 1.3. Пусть x, b(x) ∈ Rn , A – симметрическая n × n-матрица, a(x) = 12 hAb(x), b(x)i.
Тогда ∂x∂b TAb.∂x Проверяется непосредственно. T T∂ ṙ∂T∂ ṙПользуясь этой леммой, видим, что ∂T=Mṙ,=. Поэтому окончательно уравнение можно∂ q̇∂ q̇∂q∂qпереписать в виде∂ ∂T∂T−= Q.∂t ∂ q̇∂qЭта система уравнений называется уравнениями Лагранжа 2-го рода.1.1.3. Случай потенциальных сил. ЛагранжианПусть теперь силы потенциальны, т.е. существует V : F = − ∂V∂r и система стационарна, т.е. r = r(q). Если T T∂r∂r∂V∂Vрасписать, можно увидеть, что Q = ∂qF = − ∂q∂r = − ∂q , где V (q) понимается, как V (r(q)).Определение. Лагранжианом такой системы называется функция L = T (q, q̇, t) − V (q).∂LL не зависит от q̇, поэтому ∂T∂ q̇ = ∂ q̇ , и уравнение Лагранжа можно переписать в виде∂ ∂L∂T∂V−=−,∂t ∂ q̇∂q∂qили, что то же самое,∂∂t∂L∂ q̇−∂L= 0.∂qЭто уравнение называется уравнением Лагранжа 2-го рода для консервативных систем.
Всем, кто знает ОПУ, это уравнение хорошо знакомо в качестве уравнения Эйлера которому удовлетворяет экстремаль впростейшей задаче КВИ, и это неспроста.Кинетическая энергия — это квадратичная форма на векторе скоростей системы: T = 12 hM ṙ, ṙi = T2 +T1 +T0 ,где Ti содержит члены i-й степени по ṙ. Ясен арафат, что в случае, когда ṙ = (ṙ1 , . . . , ṙN ) = (ẋ1 , ẏ1 , ż1 , .
. . , ẋN , ẏN , żN )– просто вектор скоростей системы точек в R3 , T0 = T1 = 0. Система в обобщённых координатах, для которойэто все равно верно, называется натуральной. Перепишем T в произвольных обобщённых координатах: 1∂r∂r∂r∂rT =Mq̇ +,q̇ +.2∂q∂t∂q∂t T D E ∂r ∂r ∂r∂r∂rКак видим, здесь T2 = 12 hA(q)q̇, q̇i, где A(q) = ∂qM ∂r∂q , T1 = M ∂q q̇, ∂t , T0 = M ∂t , ∂t . МатрицаA(q) называется матрицей кинетической энергии системы. Как подобная матрице масс M , она положительноопределена.Если силы потенциальны, то обобщённые силы тоже потенциальны, и можно ввести лагранжиан L(q, q̇, t) =T − V .
Иногда бывает, что силы можно представить в виде F = F п + F н , где F п — потенциальные силы,которым соответствует потенциал V , а F н — непотенциальные силы, которым соответствуют обобщённые силыQн . Полагаем L = T − V . Уравнения движения приобретают видd ∂L ∂L−= Qн .dt ∂ q̇∂q5Наложим на нашу систему ещё одну связь f (q, t) = 0. Как и раньше, можно ввести уравнения Лагранжа2-го рода с множителями:T d ∂L − ∂L = Qн + ∂f λdt ∂ q̇∂q∂q f (q, t) = 0.1.1.4. Первые интегралы уравнений ЛагранжаФазовое пространство у нас есть пространство переменных q, q̇. Напомним, что первым интегралом системыназывается функция Φ такая, что Φ(q, q̇) постоянна на траекториях системы.I. Обобщённый интеграл энергии (интеграл Якоби)∂LУтверждение 1.4. Если ∂L∂t = 0, то h = ∂ q̇ q̇ − L — первый интеграл уравнений Лагранжа 2-го рода.
Дифференцируем по времени:d ∂Ld ∂L∂L∂L∂Ld ∂L ∂Lq̇ − L =q̇ +q̈ −q̈ −q̇ = q̇−.dt ∂ q̇dt ∂ q̇∂ q̇∂ q̇∂qdt ∂ q̇∂qПоследняя скобка равна нулю в силу системы. Лемма 1.5 (Эйлера об однородных функциях). Пусть f (x1 , . . . , xk ) — однородная функция степениk, т.е. f (λx) = λk f (x) при λ > 0 (x = (x1 , . .
. , xk )). Тогда∂f, x = kf (x).∂x См. прошлый семестр. T = T2 + T1 + T0 , L = T2 + T1 + T0 − V . T2 — однородная функция степени 2, а T1 — степени 1 по q̇ (а T0 отq̇ не зависит). По лемме Эйлера об однородных функциях получаем ∂L∂ q̇ q̇ = 2T2 + T1 . Поэтому интеграл Якобизаписывается в виде:∂Lq̇ − L = 2T2 + T1 − T2 − T1 − T0 + V = T2 − T0 + V∂ q̇и для натуральных систем равен полной энергии системы h = T + V .II.
Циклические интегралыОпределение. Обобщённая координата qi называется циклической, если∂L∂qi= 0.d ∂Ldt ∂ q̇i= 0, то есть βi = ∂∂LВ этом случае i-е уравнение Лагранжа приобретает видq̇i есть первый интеграл системы (он называется циклическим интегралом). Заметим, что существование циклических интегралов зависитот выбора системы обобщённых координат: в некоторых системах они как бы скрыты.1.1.5. Калибровка лагранжианаПри следующих преобразованиях: L̃ = L + f (t), L̃ = cL, L̃ = L + a(q)q̇ (где ai = ∂ϕ(q)∂qi , т.е. a — полныйдифференциал) форма уравнений Лагранжа 2-го рода не меняется.Пример 1.1. Рассмотрим задачу с одной степенью свободы: L = a(q)q̇ 2 + b(q)q̇ − V (q — скаляр).
Второеслагаемое можно выкинуть как полный дифференциал; a(q) > 0 (матрица квадратичнойp формы положительноопределена). Выберем новую обобщённую координату ξ так, чтобы ξ̇ 2 = a(q)q̇ 2 (ξ˙ = a(q)q̇). Получаем L =ξ˙2 − V (ξ) — мы свели нашу задачу к задаче движения точки по прямой.1.1.6. Понижение порядка по РаусуПусть L(q, q̇, t) — лагранжиан, q ∈ Rn , q = (q1 , . . . , qk , qk+1 , . . . , qn ), где qc = (q1 , .
. . , qk ) — циклическиекоординаты. Остальные координаты qп = (qk+1 , . . . , qn ) назовём позиционными. L = L(qп , q̇c , q̇п , t). Рассмотримстационарный случай: L не зависит от t.Если заданы значения циклических интегралов βc , получаем k уравнений на q̇c : ∂∂Lq̇c = βc . Предположим, 2 ∂ Lчто выполнены условия теоремы о неявной функции: ∂ q̇2 6= 0. Тогда эти уравнения можно разрешить: q̇c =cq̇c (qп , q̇п , βc ).Функция Рауса: R(qп , q̇п , βc ) = L(qп , q̇c (qп , q̇п , βc ), q̇п ) − hβc , q̇c (qп , q̇п , βc )i. Легко проверить, что выполняетсясоотношениеd ∂R∂R−= 0,dt ∂ q̇п∂qпназываемое уравнениями Рауса.6∂R∂ q̇п=∂L∂ q̇п+∂L ∂qc∂ q̇c ∂qпDE∂qc− βc , ∂q=п∂L∂ q̇п ,т.к.∂L∂ q̇c= βc .
Та же ботва происходит в слагаемом∂R∂qп .Таким образом, при фиксированных значениях k циклических интегралов система ведёт себя как система с(n − k) степенями свободы.1.2. Вариационные принципы и симметрии1.2.1. Поле симметрий. Теорема НётерВекторному полю v(q) сопоставим однопараметрическую группу диффеоморфизмов q 7→ g s (q), где g s (q) —точка, в которую придёт решение дифферециального уравнения q ′ = v(q) из точки q за время s.
Пусть теперьдана кривая q(t). Положим q(t, s) = g s (q(t)) — сдвиг кривой вдоль векторного поля v.Определение. v(q) — поле симметрий, если для всех кривых q(t) и для любого s выполняетсяL(q(t, s), q̇(t, s), t) = L(q(t), q̇(t), t),т.е. лагранжиан инвариантен относительно сдвигов вдоль v.Эквивалентно: L(q, q̇, t) = L(g s q, (dg s )q̇, t).Пример 2.1.
Если q1 — циклическая координата, то v = (1, 0, . . . , 0)T — поле симметрий.Теорема 1.6 (Нётер). Если v(q) — поле симметрий, то∂L∂ q̇ v(q)— первый интеграл уравнений Лагранжа. q = q(t, s); q(t) = q(t, 0) — траектория системы.В силу дифференциального уравнения q ′ = v(q) получаем∂q= v(q(t, s)).∂sДифференцируем по t:∂ 2q∂v=.∂s ∂t∂tПодставляем в лагранжиан и вспоминаем, что v — поле симметрий:∂q(t, s), t) = const(s)∂tL(q(t, s),— зависит только от t. Дифференцируем по s:∂L ∂q ∂L ∂ q̇+=0∂q ∂s∂ q̇ ∂sВспоминая, что∂q∂s= v, а∂ q̇∂s=∂2q∂t∂s= v̇, получаем∂L∂Lv+v̇ = 0.∂q∂ q̇Отсюда (в подстановке s = 0)ddt∂Lv∂ q̇d=dt∂L∂ q̇∂Lv+v̇ =∂ q̇d ∂L ∂L−dt ∂ q̇∂qv=0в силу уравнения Лагранжа. Продолжая пример 1.2.1, видим, что нётеров интеграл, соответствующий полю v = (1, 0, .
. . , 0)T , — это простоциклический интеграл ∂∂Vq̇1 . Обратно, если для некоторой точки q0 имеем v(q0 ) 6= 0 (заметим, что в теореме Нётерэтого не требовалось), то по теореме о выпрямлении векторного поля в некоторых координатах ξ получаемv(ξ) = (1, 0, . . . , 0)T . Поскольку при замене координат вид лагранжиана не меняется (если это не очевидносразу, посмотрите на вариационные принципы), в системе ξ интеграл Нётер есть циклический интеграл.1.2.2. Принцип ГамильтонаОбщая идея вариационных принципов состоит в следующем: траектория движения есть экстремаль некоторого функционала.7Зафиксируем моменты времени t1 , t2 и точки (в пространстве обобщённых координат) q1 и q2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
