М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Сейчас подходящий момент описать некоторые из них. Рассмдгрим, например, состояние е'г ~ф), где ~ф) — вектор состояния, д — действительное число. Будем говорить, что состояние е'г'рг) совпадает с состоянием рг) с точностью до общего фазового множителя е'г. Интересно отметить, что статписп»иха измерений, предсказываемая для этих двух состояний, одинаковая. Чтобы доказать это, предположим, что М,„— оператор измерения, отвечающий некоторому квантовому измерению, и заметим, что вероятности результата гп для первого и второго состояний равны соответственно (ф(М1„М,„ф) и Яе»гМ~«М,„е'~) Ф) = (фМ1„М„,(ф). Таким образом, если речь идет об измерении физических величин, два указанных состояния следует считать одинаковыми.
По этой причине можно игнорировать не влияющие на наблюдаемые свойства физической системы общие фазовые множители. Существует также другой вид фазы, называемый относи«пел»поп фазой. Рассмотрим состояния 2.2. Постулаты квантовой механики 131 относительные фазы зависят от выбора базиса в отличие от общих фаз. Как следствие состояния, различающиеся только относительными фазами в некотором базисе, приводят к физически наблюдаемым различиям в статистике измерений, т. е.
эти состояния нельзя рассматривать как физически эквивалентные, подобно тому, как мы поступали с состояниями, различающимися только общими фазовыми множителями. Упражнение 2.65. Перепишите состояния ()О) + (1))/~/2 и ()О) — )1))/~/2 в базисе, в котором они не совпадают с точностью до относительного сдвига фазы. 2.2.8 Составные системы Перейдем к изучению составных систем, образуемых из двух (или большего числа) отдельных физических систем. Как описывать состояния составной системы? Приводимый ниже постулат показывает, каким образом строится пространство состояний составной системы из пространств состояний входящих в нее систем.
Постулат 4. Пространство состояний составной системы представляет собой тензорное произведение пространств состояний входящих в нее систем. Более того, если берутся состояния, пронумерованные от 1 до и, и система с номером г находится в состоянии )ф;), то состояние составной системы описывается вектором )41) Э )фд) Э... 9 )ф„). Почему для описания состояния составной системы используется именно тензорное произведение? Можно рассматривать этот факт просто как основной постулат.
В конце концов мы могли бы ожидать, что в квантовой механике существует некопюрмй канонический способ описания составных систем. Имеется ли какой-нибудь другой способ прийти к этому постулату? Приведем используемую Время от времени эвристическую процедуру. Физики иногда говорят о принципе суперпавиции в квантовой механике, согласно которому, если ~х) и )у) — два состояния квантовомеханической системы, то последняя может также находиться в любом состоянии вида о)х) + р)у), где (о! + ф = 1; такое состояние называется суперпозицией состояний ~х) и )у).
Для составной системы естественно было бы ожидать, что если ~А) — некоторое состояние системы А и ~В) — некоторое состояние системы В, то должно существовать соответствующее состояние составной системы АВ, которое будем обозначать как ~А))В). Применяя принцип суперпозиции для разнообразных состояний такого вцца, получим приведенную выше формулировку постулата 4. Данное рассуждение не является доказательством, поскольку мы не объявляем принцип суперпозиции фундаментальным фактом в нашем описании квантовой механики, однако оно показывает разнообразие способов формулировки одних и тех же идей в квантовой механике. В литературе встречается множество различных обозначений для составных систем. Это обилие отчасти объясняется тем, что разные обозначения лучше приспособлены для различных приложений, и нам тоже будет удобно при необходимости вводить специальные обозначения.
В данный момент достаточ- 132 Глава 2. Введение в квантовую механику да рр)!0): «р~(О~П1ЦР)~О) = ~ ~«р(М1 М,)У)(, ( ) = ~<~(М1 М„(р) = «ФФ). (2.123) (2.124) (2.125) Из упражнения 2.67 следует, что оператор У может быть продолжен до унитарного оператора на пространстве Я ® М, который мы также обозначим У. ггпражнение 2.67.
Пусть У вЂ” гильбертово пространство, гг' — его подпространство, У: Иг -+ У вЂ” линейный оператор, сохраняющий скалярное произведение, т. е. для любых ~ю1) и (юз) из пространства И~ имеем ( ~('у!")=( ~ ) (2.126) Докажите, что существует унитарный оператор Г: У -+ У, который продал- жает оператор У. Другими словами, Г~ю) = Цю) для всех ~ю), лежащих но указать полезные обозначения в виде нижних индексов, которые отмечают состояния и операторы, действующие на разные системы (в тех случаях, когда эти системы трудно различить по контексту).
Например, в системе из трех кубитов через Хз удобно обозначать оператор Паули о ., действующий на второй ку бит. Ъгпражиение 2.66. Покажите, что среднее значение наблюдаемой Х1 Яз для системы из двух кубитов, измеренное для состояния (~00) + (11))/~Г2, равно О. В подразд. 2.2.5 мы сделали утверждение, что проективных измерений вместе с унитарными преобразованиями достаточно для того, чтобы выполнить любое измерение общего вида. Доказательство этого утверждения требует использования составных квантовых систем и является красивой иллюстрацией применения постулата 4.
Предположим, имеется квантовая система с пространством состояний Я и надо выполнить над ней измерение, описываемое операторами измерений М . Дзя этого введем вспомогательную сосглему с пространством состояний М, в котором вьщелен ортонормированный базис (пг), находящийся во взаимнооднозначном соответствии с возможными результатами измерения, которое необходимо выполнить. Эту вспомогательную систему можно считать просто математической конструкцией, появляющейся в нашем построении, а можно рассматривать ее с физической точки зрения как включенную в опыт дополнительную систему, пространство состояний которой удовлетворяет требуемым свойствам.
Полагая, что >0) — некоторое фиксированное состояние системы М, а рр)— произвольное состояние системы Я, определим оператор У следующим образом: ЦФ)(0) — = ~~~ М„,ф) )т). (2.122) Используя ортонормированность базиса ~гн) и условие полноты '> М1 М,„= Х, убедимся, что оператор У сохраняет скалярное произведение состояний ви- 2.2. Постулаты квантовой механики 133 в подпространстве И~, но при этом оператор У' определен на всем пространстве г'. Обычно мы будем опускать штрих и использовать обозначение У для этого продолжения. Предположим далее, что мы выполняем проективное измерение над двумя системами, описываемое проекторами Р,„= 1д Э )т)(гп). Результат т будет получен с вероятностью р(т) = (ф(0!У~Р У)ф)!О) (НЯМ~,(т )(1д ® (т) (т() Мэ ф) /т ) яа',т" =(ИМ1М (р) (2.127) (2.128) (2.129) что соответствует постулату 3.
Общее состояние системы ь)М после измерения в предположении, что получен результат т, задается выражением Р„,У)ф)/О) М ф)(т) (2.130) /мээ ~Те дрэгя э~ Ясно, что состояние системы М после измерения описывается вектором ~гп), а состояние системы Я вЂ” вектором М ~Ф) (2.131) ФюГмТ~.м (00) + (11) ~(2 (2.132) Это состояние обладает тем замечательным свойством, что не существует таких двух однокубитовых состояний )а) и (Ь), что (ф) = )а))Ь). Убедитесь в этом самостоятельно. Упражнение 2.68. Докажите, что (ф) ф )а)(Ь) для любых однокубитовых состояний !а) и )Ь).
Итак, состояние составной системы, не представимое в виде произведения состояний входящих в эту систему компонент, является запушакнмм. По причинам, которые до конца не ясны, запутанные состояния играют ключевую роль в квэнтовых вычислениях и обработке квантовой информации. Эти состояния будут многократно появляться в других главах. Как было показано, запутанность играет решаюшую роль в квантовой телепортации (см.
подраэд. 1.2.7). Ниже мы приведем двэ примера странных эффектов, обязанных как это предписывается постулатом 3. Итак, используя унитарные преобразования, проективные измерения и возможность подключения вспомогательных систем, можно выполнить любое измерение описанного в постулате 3 вида. Постулат 4 также позволяет определить одну из наиболее интересных и интригующих идей, связанных с составньлии квантовыми системами — идею эаадшанноснш. Рассмотрим состояние системы двух кубитов 134 Глава 2. Введение в квантовую механику своим существованием запутанным квантовым состояниям: сверхплотное ко- дирование (равд. 2.3) и нарушение неравенства Белла (равд. 2.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
