М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Будем называть (ро ~Ф;Д ансамблем чистых состпояний Оператор плотности системы определяется выражением р— = ~ р*(Ф*.)(Ф*-) (2.138) р = ~~~ р')Ф )(Ф'~ К ~р;ЦР,)Щи1 = (7р(71 (2,130) Этот оператор также называют ма~врицей пяогяносши; мы будем использовать и тот и другой термин. Оказывается, все постулаты квантовой механики можно переформулировать в терминах операторов плотности. Цель данного и следующего за ним подразделов — объяснить, как это сделать и когда такая переформулировка полезна.
Использовать язык операторов плотности или векторов состояний — дело вкуса, поскольку оба метода дают одинаковые результаты; тем не менее для решения некоторых конкретных задач один из этих методов оказывается гораздо удобнее другого. Пусть, например, эволюция замкнутой квантовой системы описывается унитарным оператором У. Если система сначала находилась в состоянии ~ф1) с вероятностью рь то в результате эволюции она окажется в состоянии Уф;) с вероятностью р;. Таким образом, эволюция оператора плотности описывается уравнением 138 Глава 2. Введение в квантовую механику р(тЯ = (ЯМС М )4д = Сг(МС М !Фс)(Ф;)) (2.140) (последнее равенство является следствием уравнения (2.61)).
Из формулы пол- ной вероятности (см. Приложение 1, где объясняется эта формула, а также другие элементарные понятия теории вероятностей) следует, что вероятность получения результата.т задается выражением р(т) = " р(га(1)р; р; Сг(МС„М )ф')(4'!) = Сг(М~~М,„Р).
(2.141) (2.142) (2.143) Как будет выглядеть оператор плотности системы после получения резуль- тата т в процессе измерения? Если начальное состояние задавалось векто- ром ~фД, то состояние после получения результата т будет иметь вид ), р) М' !ФС) Дю,~~-'м.ь> (2.144) Таким образом, после измерения, в результате которого был получен ответ т, имеем ансамбль состояний РРСэ) с соответствующими вероятностями РЯт). Соответствующий этому ансамблю оператор плотности р задается выраже- нием Р = ~РИт)РР; )(Ф; ~ = ~~,Рйт) С . (2.145) Из элементарной теории вероятностей следует, что р(1(т) = р(т,4)7р(т) = р(тЯр~/р(т).
Используя равенства (2.143) и (2.140), получим М !Ф;)(Ф;!МА (МС М р) КпРЯд Сг(МС М,„р) (2.146) (2.147) Мы показали, что основные постулаты квантовой механики, относящиеся к унитарной эволюции и измерениям, могут быть переформулированы на языке операторов плотности. В следующем подразделе мы завершим это переформулирование, приведя описание операторов плотности, вообще не использующее понятие вектора состояния.
Измерения также можно легко описать на языке операторов плотности. Предположим, мы выполняем измерение, описываемое операторами М„,. Если начальное состояние задавалось вектором ~ф;), то вероятность получения результата т определяется выражением 2.4.
Оператор плотности 139 Р= ~ Р'ЫФ0)ЫЧ( =~~ Р*.Рп (2.148) (2.149) поскольку по определению р; =,Я р«уапц.)(фц(. Будем называть р смесью состояний р; с вероятностями р;. Это понятие смеси многократно появляется в анализе таких проблем, как квантовый шум, где шум ограничивает степень нашей осведомленности о квантовом состоянии. Приведем простой пример, возникающий на основе описанного выше сценария измерений.
Представьте себе, что по некоторой причине был утерян результат и», полученный при измерении. Кввнтовая система находится в состоянии р,„с вероятностью р(гп), но мы уже не знаем настоящего значения гп. Состояние такой квантовой системы будет описываться оператором плотности Р=~ Р(т)Р (2.150) М,„РМ1 ~;- „(М1 М ) М-РМ- сг(М~1М р) =~ М„РМ1. (2.151) (2.152) Как можно видеть, окончательная формула, которую можно использовать для дальнейшего анализа рассматриваемой системы, компактна и удобна. Перед этим полезно ввести некоторые термины и сообщить несколько фактов, относящихся к операторам плотности. Начнем с терминов. Про квантовую систему, описываемую вектором ф), говорят, что она находится в числ»ам сосгаояяии.
В таком случае оператор плотности представляется выражением р = ~ф(ф. В противном случае говорят, что р описывает смешанное состояние, которое также называют смесью разных чистых состояний в ансамбле, описываемом оператором р. В упражнениях читателю будет предложено доказать простой критерий того, что состояние является чистым: такое состояние должно удовлетворять условию Фг(р ) = 1, в то время как для смешанного состояния Фг(р ) < 1. Хотим предупредить относительно обозначений: иногда, используя термин «смешанные состояния», имеют в виду оба случая — и чистые, н смешанные состояния.
Делается это обычно для того, чтобы подчеркнуть, что не обязательно предполагается, что состояние является чистым. Кроме того, термин «чистое состояние» часто используется для обозначения вектора состояния ~ф), чтобы отличить его от оператора плотности р. Наконец, представим себе квантовую систему, приготовленную в состоянии р; с вероятностью рь Нетрудно убедиться, что систему можно описать матрицей плотности 2 „р;рь Докажем этот факт. Предположим, р; возникает вз ансамбля (р;., (ф0)) (отметим, что индекс фиксирован) чистых состояний, поэтому вероятность Ъребывания системы в состоянии ~ф~) равна р;р1;.
Мвтрица плотности для нашей системы имеет вид 140 Глава 2. Введение в квантовую механику 1. (условие единичности следа) след оператора р равен единице, 2. (условие неотрицательности) р — неотрицательно определенный оператор. Домазапзельсгпео. Пусть р = ~ з р; ~фз) (фз ~ — оператор плотности. Тогда Сг(р) = ~р;Сг((фз)(ф;~) = ~~~ р; = 1, (2.153) поэтому условие единичности следа выполнено. Предположим, ~у) — произ- вольный вектор в пространстве состояний. В этом случае имеем (2.154) (2.155) (2.156) >О, и условие неотрицательности также доказано.
Теперь докажем обратное утверждение. Пусть р — произвольный неотрицательный оператор с единичным следом. Поскольку р — неотрицательно определенный оператор, для него имеется спектральное разложение (2.157) где векторы ~у) ортогональны, а числа Лу — действительные неотрицательные и являются собственными числами оператора р. Из условия единичности следа можно заключить, что '> Лз = 1. Следовательно, система, находящаяся с вероятностью Л в состоянии (Я, будет описываться оператором плотности р. Поэтому набор (Лу, ~Я) — это ансамбль состояний, которому соответствует оператор р. 2.4.2 Общие свойства операторов плотности Оператор плотности вводился как средство для описания ансамблей квантевых состояний. В этом подразделе мы продвинемся дальше и рассмотрим определение операторов, которое не связано с представлением об ансамбле состояний.
Это позволит завершить описание квантовой механики, которое не опирается на понятие вектора состояния. Кроме того, появится возможность рассмотреть другие элементарные свойства операторов плотности. Класс операторов, являющихся операторами плотности, описывается следующей полезной теоремой. Теорема 2.5 (свойства и признаки операторов плотности). Оператор р является оператором плотности, связанным с некоторым ансамблем (рь ~фз)), тогда и только тогда, когда вьшолняютоя следующие условия: 2.4.
Оператор плотности 141 Эта теорема дает описание операторов плотности самих по себе: можно ояредеяить оператор плотности как неотрицательно определенный оператор р, след которого равен единице. После этого можно переформулировать постулаты квантовой механики на языке операторов плотности. Для упрощения ссылок приведем все переформулированные постулаты вместе. Постулат 1. С каждой изолированной физической системой связано комплексное векторное пространство со скалярным произведением (т. е.
гильбертово пространство), которое называют пространством сосогояиий системы. Система полностью описывается своим оператором ааоглиосто р, который представляет собой неотрицательно определенный оператор с единичным следом, действующий в пространстве состояний системы.
Если квантовая система находится в состоянии р; с вероятностью р;, то оператор плотности равен 2 ',. р; р;. Постулат 2. Эволюция замкнугвоо квантовой системы описывается уииаарным преобразованием, а именно: состояние р системы в момент времени 11 связано с состоянием р' в момент Фг унитарным оператором У, который зависит только от времен 11 и гз.
р' = (~р(~1. (2.158) Постулат 3. Квантовые измерения описываются набором (М,э) оаераторое измерения. Это операторы, действующие в пространстве состояний системы, над которой производится измерение. Индекс соответствует результату, который может быть получен при измерении. Если непосредственно перед измерением квантовая система находится в состоянии р, то вероятность получения результата го равна р(т) =гг(м'М Р), (2.159) а состояние системы сразу после измерения будет задаваться оператором М РМ1 (2.160) сг(М~„М р) Набор операторов измерений удовлетворяет условию иазиолгм: (2.161) Постулат 4.
Пространство состояний составной физической системы представляет собой тензорное произведение пространств состояний входящих в нее систем. Кроме того, если исходные системы пронумерованы от 1 до и и система с номером 1 находится в состоянии ро то общее состояние составной системы описывается оператором рг З Рз З ° ° ° Э Ре. Приведенные вьппе постулаты квантовой механики, переформулированные в терминах операторов плотности, конечно, математически эквивалентны постулатам, сформулированным в терминах векторов состояний.
Тем не менее описание черню операторы плотности исключительно полезно в двух приложениях: для описания квантовых систем, состояния которых точно не известны, а 142 Глава 2. Введение в квантовую механику также для описания подсистем составных квантовых систем (об этом речь пойдет в следующем подразделе). В оставшейся части данного раздела мы более подробно ознакомимся со свойствами матриц плотности. зпражнение 2.?1 (критерий чистого состояния).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
