М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Тогда можно ввести другую систему (обозначим ее через В) и определить чистое состояние ~АВ) для системы АВ так, что рл = Сгя(~АВ) (АВ~). Это означает, что чистое состояние ~АВ) сводится к состоянию р'4, когда мы рассматриваем одну систему А. Это чисто математическая процедура, называемая расширением до чвсшого состояния, которая позволяет связать чистые состояния со смешанными. Будем называть систему В дооолнлюк4ей; это фиктивная система, не имеющая прямого физического смысла. Чтобы доказать, что расширение до чистого состояния можно выполнить с любым состоянием, объясним, как построить систему В и расширение до чистого состояния ~АВ) для р'4. Пусть спектральное разложение для р'4 имеет вид рл = ~григл)(44~. Чтобы расширить рл до чистого состояния, введем систему В, которая имеет то же пространство состояний, что и система А, с ортонормированным базисом ~гн), а также определим чистое состояние для системы АВ следующим образом: 152 Глава 2. Введение в квантовую механику определении такого чистого состояния, в базисе Шмидта которого смешанное состояние системы А представляется диагональной матрицей; при этом коэффициенты Шмидта равны квадратному корню из собственных чисел оператора плотности р.
В этом разделе описаны два инструмента исследования составных квантовых систем — разложение Шмидта и расширение до чистого состояния. Они необходимы при изучении теории квантовых вычислений и обработке квантовой информации (особенно обработки квантовой информации, см. часть П1 книги). 'Упражнение 2.79.
Рассмотрим составную систему, объединяющую два кубита. Найдите разложение Шмидта для состояний !00) + ~11) ~00) + ~01) + Д0) + )Н) ~00) + ~01) + !10) ~Г2 2 ' ~ГЗ Упражнение 2.80. Пусть ~ф) и ~у) — два чистых состояния составной квантовой системы, содержащей системы А и В, и коэффициенты Шмидта этих состояний равны. Покажите, что существуют таяне унитарные преобразования У системы А и У системы В, что )ф) = (У Э У)~~о). Упражнение 2.81 (свобода в расширении до чистого состояния).
Пусть ~АЕ1) и ~АВз) — два расширения смешанного состояния р" составной системы АЯ до чистого состояния. Докажите, что существует такое унитарное преобразование Ул системы Е, что ~АВ1) = (1л З Ун)~АЕг). 'Упражнение 2.82. Пусть (рн ф;)) — ансамбль состояний, порождающих матрицу плотности р =,'); р;~фД(4ч ~ для квантовой системы А. Введем систему Е с ортонормированным базисом ~г). 1. Покажите, что ~;,,/р04Ч))г) — расширение р до чистого состояния. 2. Предположим, мы производим измерение над системой Л в базисе р) с результатом г.
С какой вероятностью мы получим этот результат и каково соответствующее состояние системы А? 3. Пусть ~АЕ) — произвольное расширение р до чистого состояния АВ. Покажите, что существует ортонормированный базис )1), в котором можно провести измерение над В так, что соответствующее состояние системы А после измерения будет описываться вектором )ф,) с вероятностью р;. 2.6 Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена и неравенство Белла Если человек не шокирован квантовой теорией, он ее просп1о Нильс Вор 2.6.
Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена и неравенство Велла 153 Я напомню, что во время одной прогулка Эйниппейн неожиданно остановился, поверну«ся ко мне и спросил, действитпельно ли я верю, что Луна сущестпвуетп только тогда, когда я смотпрю на нее. Оставитаяся часть прогулки была посвящена обсуждению тпого, чтпб физик должен понимать под словом «существоватпь».
А. Пэ ... квантповые явления происходятп не в гильбертовом простпранстве, а в лаборатории. Э. Перес ... докозаптельстпво невозмохсностаи свидетельствует о недостатке воображения у доказывающего. Дж. Белл Эта глава посвящена описанию структуры квантовой механики и ее математического аппарата, используемого в последующих главах. При этом будет постоянно повторяться принципиально важная тема необычности квантовой механики, ее некзассических свойств. Но в чем именно заключается различие между квантовой механикой и классическим миром? Понимание этого абсолютно необходимо при обучении таким способам обработки информации, которые невозможно выполнить в рамках классической физики.
Данный раздел завершает главу обсуждением неравенства Велла — убедительного примера существенного различия между квантовой и классической физикой. Когда мы говорим о таком объекте, как человек или книга, мы предполагаем, что физические свойства объекта существуют независимо от наблюдения. Другими словами, измерения просто обнаруживаюта эти физические свойства. Например, у теннисного мяча есть такое свойство, как местоположение, и обычно его измеряют с помощью света, отраженного от поверхности мяча. Во время становления квантовой механики в 20-х и 30-х гг. ХХ в.
возникла странная точка зрения, которая заметно отличалась от классической. Как описывалось ранее в этой главе, в соответствии с принципами квантовой механики частица, над которой не производятся наблюдения, не обладает физическими характеристиками, существующими независимо от наблюдения.
Эти физические характеристики возникают вследствие измерения, проведенного над системой. Например, в соответствии с принципами квантовой механики, у кубита нет определенных характеристик таких, как «проекция о, спина на ось г» и «проекция стг спина на ось х»; эти характеристики обнаруживаются в процессе проведения соответствующего измерения.
Квантовая механика предлагает набор правил, которые по заданному вектору состояния определяют вероятности возможных результатов измерения, когда требуется найти значение наблюдаемой ст, или наблюдаемой о . 154 Глава 2. Введение в квантовую механику Вставка 2.7.
Антикорреляции в эксперименте Эйнштейна— Подольского-Розена Представьте себе, что мы приготовили состояние двух кубитов !01) — /10) ~Г2 (2.213) (2.214) (2.215) В результате подстановки получим !01) — !10) !аЬ) — !Ьа) (2.216) Но аб — )17 — зто определитель унитарной матрицы ~ ~, следователь~но )11 но, эта величина равна фазовому множителю е'~, где 0 — действительное число. Таким образом, имеем )01) — !10) !аЬ) — )Ьа) (2.217) ~Г2 ~/2 с точностью до ненаблюдаемого общего фезового множителя. Итак, мы убедились, что если выполнено измерение величины 6 ° У для каждого из кубнгов, то результат +1 ( — 1), полученный при измерении над первым кубитом, приводит к получению результата — 1 (+1) при измерении над вторым кубитом.
по историческим причинам иногда называемое слоновым санглетом. Нетрудно показать, что оно является запутанным состоянием системы из двух кубитов. Предположим, мы выполнили измерение компоненты спина вдоль оси б для обоих кубнтов, т. е. измерили наблюдаемую с ° д (определенную в уравнении (2.116) ) для каждого из кубитов, получив для каждого из них ответ +1 или — 1.
Оказывается, что вне зависимости от выбора направления й результаты обоих этих измерений будут противоположными. Другими словами, если при измерении над первым кубитом получен ответ +1, то при измерении над вторым получено значение -1, и наоборот. Все выглядит так, как если бы второй кубит знал о результате измерения над первым вне зависимости от того, каким именно образом производится измерение над этим первым кубитом. Чтобы убедиться в этом, представим себе, что ~а) и ~Ь) — собственные состояния оператора с й. Тогда существуют такие комплексные числа а, )1, у, б, что 2.6. Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена и неравенство Белла 155 Многие физики отвергли такой новый взгляд на Природу.
Наиболее выдающимся противником нового подхода был Альберт Эйнштейн. В знаменитой «ЭПР-статье», написанной в соавторстве с Б. Подольским и Н. Розеном, он предложил мысленный эксперимент, показывающий, что, по его мнению, квантовая механика не являетси полным описанием Природы. Суть статьи в следующем. Авторы заинтересовались тем, что они назвали «элементами действительности». Они были убеждены в том, что любой элемент действительности да«жеи быть представлен в любой полной физической теории. Дискуссия была организована для того, чтобы показать, что квантовая механика не является полной физической теорией — для этого авторы хотели указать на элементы, действительности, не включенные в квантовую механику.
Оии собирались ввести досгаатаочное условие того, что физическая характеристика есть элемент действительности. Условие, по мнению авторов, должно быть следующим: непосредственно перед измерением можно с достоверностью предсказать, какое значение физической характеристики будет получено в результате этого измерения. Рассмотрим в качестве примера запутанное состояние двух кубитов, первый вз которых принадлежит Алисе, а второй — Бобу: !01) — !10) (2.218) Предположим, что Алиса и Боб находятся на большом расстоянии друг от друга. Алиса определяет величину проекции спина на ось «7, т.
е. измеряет наблюдаемую 6 ° «7 (определенную в уравнении (2.116)). Пусть Алиса получила результат +1. Тогда простое вычисление, приведенное во вставке 2.7, показывает, что она может с достоверностью предсказать, что Боб будет иметь в результате своего измерения — 1, если он также будет определять величину проекции спина на ось «7. Аналогично, если Алиса получит результат — 1, она может с достоверностью предсказать, что у Боба результат будет равен +1. Поскольку Алиса в любом случае может предсказать результат, получаемый Бобом при измерении проекции его спина на осы7, эта физическая характеристика должна соответствовать некоторому элементу действительности (согласно ЭПР-критерию), а следовательно, должна быть отражена в любой полной физической теории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
