М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 34
Текст из файла (страница 34)
2.2.9 Квантовая механика: общий взгляд Мы рассмотрели осе фундаментальные постулаты квантовой механики. Значительную часть дальнейшего изложения будет занимать получение из них следствий. Проанализируем теперь все постулаты вместе, чтобы понять роль каждого из них в общей картине. Постулат 1 задает место действия квантовой механики, указывая, каким именно образом должно описываться состояние изолированной квантовомеханической системы. Постулат 2 говорит о том, что динамика замкнутой квантовомеханической системы описывается уравнением Шредингера, т. е.
унитарной эволюцией. Постулат 3 показывает, как можно извлечь информацию из квантовой системы (в нем содержится «рецепт» для описания измерений). Постулат 4 предписывает, как должны комбинироваться друг с другом пространства состояний квантовых систем при конструировании из них составной системы. Странным в квантовой механике (по крайней мере с классической точки зрения) является то, что мы не можем наблюдать непосредственно вектор состояния.
Это похоже на игру в шахматы по правилам, согласно которым вы никогда не знаете точно, на какой клетке стоит та или иная фигура, известен лишь ряд на доске, в котором она находится. Классическая физика — и наша интуиция — говорят нам что фундаментальные свойства объекта (энергия, координаты, скорость и т.п.) доступны для наблюдения.
В квантовой механике эти величины уже не являются фундаментальными, а вместо них появляется вектор состояния, который непосредственно наблюдать нельзя. Все выглядит так, как будто в квантовой механике существует скрытый мир, с которым мы можем взаимодействовать лишь косвенным и весьма несовершенным способом. Более того, классическая система не меняет своего состояния только из-за того, что за ней наблюдают.
Представьте себе, как трудно было бы играть в теннис, если бы каждый раз, когда вы посмотрите на мяч, он менял свое положение! Однако в соответствии с постулатом 3, наблюдение в квантовой механике воздействует на систему, отчего она обычно меняет свое состояние. Какие выводы можно сделать из этих странных свойств квантовой механики? Можно ли переформулировать квантовую механику в математически эквивалентном виде так, чтобы ее структура оказалась похожей на структуру классической физики? В равд. 2.6 мы докажем нераеенстео Белла — удивительный результат, который показывает, что любая попытка такой переформулировки обречена на неудачу.
Противоречащие интуиции положения квантовой механики ставят нас в тупик. Однако не следует огорчаться по этому поводу. Можно развить такие приемы рассуждений, которые делают квантовую механику интуитивно понятной. Более того, скрытую природу вектора состояния можно использовать для решения таких задач обработки информации, которые недоступны в рамках классической механики. Вез этого противоречащего интуиции поведения квантовые вычисления и квантовая обработка информации были бы гораздо менее интересными.
2.3. Сверхплотное кодирование 135 Мы также можем задаться следующим вопросом: «Если квантовая механика твк отличается от классической физики, почему привычный нам мир выглядит настолько классическим?» Почему мы не видим проявлений скрытой природы вектора состояний в обычной жизни? Оказывается, наблюдаемый нами классический мир может быть получен из квантовой механики квк приближенное описание, верное нв тех масштабах времени, длины и массы, которые нвм привычны в повседневной жизни.
Объяснение того, как квантовая механика порождает классические законы физики, выходит за пределы нашей книги, однако читатель, которого интересует данная проблема, может ознакомиться с ее обсуждением, обратившись к рззд. «История и дополнительная литература» в гл. 8. ~00) + !11) |/2 (2.133) Вначале в распоряжении Алисы находится первый кубит, в Боба — второй (рис. 2.3). Обратите внимание нв то, что ~г||) — фиксированное состояние; Алиса не должна посылать Бобу какие-либо кубиты, чтобы он приготовил у себя такое состояние.
Вместо этого запутанное состояние может создать заранее, например какое-нибудь третье лицо, которое отправит один из кубитов Алисе, а второй — Бобу. Рис. 2.3. Начальное состояние для процедуры сверхплотного кодирования Алиса и Боб имеют в своем распоряжении по половине двух кубитов в запутанном состоянии. С помощью сверхплотного кодирования Алиса может передать два классических бита Бобу, послав ему всего один кубит, но используя при этом предварительно подготовленное запутанное состояние, которое вначале частично принадлежит ед. а частично — Бобу 2.3 Сверхплотное кодирование Сверхплотное кодирование — это простое и вместе с тем удивительное приложение элементарной квантовой механики.
Оно сочетает в себе конкретным и нетривиальным образом все фундаментальные идеи элементарной квантовой механики, описанные в предыдущем разделе, и поэтому является идеальным примером задачи по обработке информации, выполняемой с использованием квантовой механики. В сверхплотном кодировании задействованы два участника, которых традиционно называют «Алиса» и «Боб».
Они находятся нв большом расстоянии друг от друга. Задача состоит в передаче некоторой классической информации от Алисы к Бобу. Пусть у Алисы имеются двв классических битв, которые онв хочет передать Бобу, но при этом она может послать ему только один кубит. Имеет ли такая задача решение? ОКазывается, это можно сделать с помощью сверхплотного кодирования. Прддположим, между Алисой и Бобом разделена пара кубитов в запутанном состоянии: 136 Глава 2. Введение в квантовую механику Покажем, что Алиса может передать Бобу два классических бита, переслав только один кубит (который она получила в начале процедуры). Если оыа хо, чет послать битовую строку 00, ей не надо выполнять никаких преобразоваыий над своим кубитом.
Если она хочет послать строку 01, ей следует применить к своему кубиту оператор переворота фазы Л. Если же она хочет отправить строку 10, она должна использовать элемент ЛОТ (оператор Х). Прн передаче строки 11 ей необходимо применить к своему кубиту оператор П'. Легко определить четыре получающихся состояния: ~00) + )11) Л 01: (Ф) -~ /00) — /11) /10) + !01) ~Г2 )01) — )10) ~/2 (2.134) (2.136) (2:136) (2.137) Как было отмечено в подразд. 1.3.6, эти четыре состояния называют состояниями или базисом Белла, сосгпоянилми Белла либо ЭПР-парами — в честь первооткрывателей, обративших внимание на новизну идеи запутанности. Обратите внимание на то, что состояния Белла образуют ортонормированный базис, поэтому их можно различить подходящим измерением.
Если Алиса посылает свой кубит Бобу, то у того в распоряжении оказываются оба кубита. Проведя измерение в базисе Белла, Боб может определить, какую из четырех возможных двухбитовых строк послала ему Алиса. Таким образом, Алиса, передавая только 1 кубит, может сообщить два бита информации Бобу. Конечно, в протоколе используются 2 кубита, но Алиса никогда не будет воздействовать на второй кубит. Если бы Алиса передавала один классический бит, задача была бы неразрешимой (это будет показано в гл.
12). Укажем также, что описанный выше протокол сверхплотного кодирования был частично проверен в эксперименте (см. ссылки на экспериментальную проверку в равд. еИстория и дополнительная литератураэ). В других главах будет приведено много примеров использования квантовой механики для обработки информации, часть из которых будет выглядеть более эффектно, чем сверхплотное кодироваыне. Тем ые менее ключевая идея видна в этом красивом примере: информация имеет физическую прирову и удивительные физические теории (ыапример, квантовая механика) могут приводить к удивительным возможностям в обработке информации.
'Упражнение 2.69. Проверьте, что состояния (2.134)-(2.137) образуют ортонормированный базис в пространстве состояний двух кубитов. Упражнение 2.70. Пусть Š— произвольный неотрицательно определенный оператор, действующий на кубит Алисы. Покажите, что (ф~Е®1рр) принимает одинаковое значение для любого ф) из четырех состояний Белла. Предположим, что некий недоброжелатель (еЕваэ) перехватывает кубит Алисы на пути 2.4.
Оператор плотности 137 к Бобу. Может ли Ева определить, какую из четырех возможных последова- тельностей битов (00, 01, 10 или 11) пыталась отправить Алиса? Если да, то как, а если нет, то почему? 2.4 Оператор плотности Мы сформулировали законы квантовой механики с помощью языка векторов состояний. Существует альтернативная формулировка, в которой используется понятие онерагаора, или матприцы, пяотяностпи. Эта формулировка матема тически эквивалентна подходу, оперирующему понятием векторов состояний, однако предоставляет в наше распоряжение более удобный язык для описания некоторых часто встречающихся в квантовой механике сценариев.
В следующих трех подразделах будут изложены законы квантовой механики с использованием операторов плотности. В подразд. 2.4.1 с использованием понятия ансамбля квантовых состояний вводится оператор плотности. В подразд. 2.4.2 обсуждаются некоторые общие свойства оператора плотности. Наконец, в подразд. 2.4.3 рассматриваются применения, в которых оператор плотности вмступает особенно ярко — как средство для описания индивидуальных подсистем, входящих в составную квантовую систему. 2.4.1 Ансамбли квантовых состояниЕ С помощью операторов плотности удобно описывать квантовые системы, состояния которых известны не полностью. Предположим, что квантовая система находится в одном из состояний набора ~ф1), причем вероятность состояния рр1) равна р;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
