М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Тогда ~/Лз!Фэ) = А/К!~р), что противоречит равенству (2.99), поскольку (Фз!Ег!Ф» = !Р!~(ФЕз! р) < !)3!~ < 1, (2.100) где предпоследнее неравенство следует из того, что (2.101) М=~тР, (2.102) где Р„, — проектор на собственное надпространство, соответствующее операто- ру М, с собственным числом т. Возможные результаты измерения соответ- ствуют собственным числам т наблюдаемой.
При измерении над состояни- ем !ф) вероятность получения результата т задается выражением (2.103) квантовых вычислений и обработки квантовой информации в первую очередь имеют дело с проективными измерениями. Такие измерения фактически эквпвалеятвны измерениям общего вида, описанным в постулате 3, если добавить к ннм возможность выполнения унитарных преобразований, описываемых постулатом 2. Это может показаться удивительным, так как описание проективных измерений на первый взгляд совсем непохоже на описание общих измеренйй. Отмеченная эквивалентность будет объяснена ниже (см.
подразд. 2.2.8). Проективные измерения. Проективное измерение описывается наблюдаемой М, т. е. эрмитовым оператором, действующим в пространстве состояний изучаемой системы. Наблюдаемая может быть представлена в виде спектрального разложения: 124 Глава 2. Введение в квантовую механику Р Ю ~/р(т) (2.104) Проективные измерения можно представлять себе как частный случай измерений, описываемых в постулате 3. Предположим, что оператор измерения из постулата 3 не только удовлетворяет условию полноты 2„М~ М,„= 1, но и обладает тем свойством, что все операторы М являются ортогональными проекторами, т.
е. М„, — эрмитовы операторы, М М = б М,„. При этих дополнительных ограничениях постулат 3 будет определять только проективные операторы, введенные выше. Вставка 2.4. Принцип неопределенности Гейзеиберга Возможно, наиболее известным результатом из квантовой механики яв- ляется принцип неапределенносп»и Гейзенберга. Пусть А и  — два эрми- товых оператора, ~Ф) — квантовое состояние.
Предположим, (ф~АВ~ф) = х+ гу, где х и у — действительные числа. Заметим, что (ф(А, В)(ф) = 21у, (АДА, ВЦф) = 2х. Из этого следует, что )(ф)[А, ВЦФ)(~ + )(ф((А, ВЯф) )~ = 4((ф)АВ(1б) )з. (2,105) Согласно неравенству Коши-Шварца, имеем соотношение (2.106) которое вместе с формулой (2.105) после отбрасывания неотрицательных слагаемых дает неравенство )(фЦА, В]!Ф))~ < 4(ф!А~/ф)(фВ~!4~). (2.107) Пусть С и Р— две наблюдаемые. Сделав в последнем уравнении замены А = С вЂ” (С) и В = Р— (Р), получим принцип неопределенности Гейзен- берга в наиболее распространенной форме: (2.108) Следует проявлять осторожность и не повторять стандартного заблуждения относительно принципа неопределенности (о том, что измерение значения наблюдаемой С с «точностью» Ь(С) приводит к «возмущению» значения Р на некоторую величину Л(Р) таким образом, что выполняется неравенство, подобное (2.108)).
Хотя измерение в квантовой механике действительно приводит к возмущению измеряемой системы, следует подчеркнуть, что содержание принципа неопределенности заключается не в этом. В предположении того, что результат измерения равен ш, состояние квантовой системы непосредственно после измерения определяется вектором 2.2.
Постулаты квантовой механики 125 Правильная интерпретация принципа неопределенности такова. Если мы приводим большое количество квантовых систем в идентичные состояния (~ф)), а затем выполняем измерения значений наблюдаемой С над некоторыми из этих систем и значений наблюдаемой Р над остальными, то произведение среднеквадратичного отклонения Ь(С) величины С на среднеквадратичное отклонение Ь(Р) величины Р будет удовлетворять неравенству (2.108).
В качестве иллюстрации принципа неопределенности рассмотрим измерение наблюдаемых Х и У нэд квантовым состоянием ~0). Выло показано, что [Х, У) = 2Ы (см. уравнение (2.70)), поэтому в соответствии с принципом неопределенности получим Л(Х)1(У) > (0!г!0) = 1. (2.109) Из этого неравенства следует, что обе величины Ь(Х) и Ь(У) должны быть одновременна строго больше нуля (что легко проверяется прямым вычислением). Е(М) = ~тр(т) т(ф)Р (ф) ю (2.110) (2.111) (2.112) (2.113) Это очень полезная формула, которая упрощает многие вычисления.
Среднее значение наблюдаемой М часто записывают в виде (М) = (фМ~ф). Из этой формулы для среднего значения получают выражение для среднеквадратич- ного отклонения величины, связанной с наблюдаемой М: (Р(М)) = ((М вЂ” (М)) ) (М2) (М) 2 (2.114) (2.пб) Среднеквадратичное отклонение — это мера типичного разброса получаемых в эксперименте значений наблюдаемой М.
В частности, если выполняется большое количество экспериментов, в которых заранее подготавливается состоя- Проективные измерения обладают рядом замечательных свойств. В частности, очень легко вычислить среднее значение таких измерений. По определению измерения, среднее значение (или математическое ожидание, см. элементарные определения и результаты из теории вероятностей в Приложении 1) валяется выражением 126 Глава 2.
Введение в квантовую механику ние ~ф) и измеряется значение наблюдаемой М, то дисперсия Ь(М) получаемых значений определяется формулой Ь(М) = (Мг) — (М)г. Формулировка в терминах наблюдаемых приводит элегантным образом к рнгультэту, известному под названием принципа неопредгленностпи Гейзенберга (см. вставку 2.4). Упражнение 2.58. Предположим, мы приготовили квантовую систему в собственном для некоторой наблюдаемой М состоянии )гл) (соответствующее собственное значение равно та).
Чему будут равны среднее измеренное значение наблюдаемой М и среднеквадратичное отклонение? Следует упомянуть два широко используемых обозначения. Вместо того чтобы описывать проективные измерения с помощью наблюдаемых, часто просто выписывают полное множество ортогональных проекторов Р, удовлетворяющих соотношениям ~ Р,„= 1 и Р,„Р, = 6,„, Р,„.
Наблюдаемая, подразумеваемая в этих выражениях, имеет вид М = 1:„глР . Другое широко используемое выражение — «измерение в базисе (т)», где рп) — ортонормированный базис, и оно означает просто выполнение проективных измерений с проекторами Р = )т)(гл(. Рассмотрим теперь пример проективных измерений на одиночном кубите. Сначала обсудим измерение наблюдаемой Я с собственными числами +1 и — 1 и соответствующими им собственными векторами ~0) и ~1). Например, измерение Я для состояния (ф) = ((О) + )1))/~/2 дает результат +1 с вероятностью (фО) (Оф) = 1/2; аналогично доказывается, что результат -1 получается также с вероятностью 1/2. Рассмотрим более общий случай.
Пусть д — единичный вектор в трехмерном действительном пространстве. Тогда можно определить наблюдаемую (2.116) 6 ' й его + 92пг + езпг ° Измерение этой наблюдаемой иногда назыввют «измерением компоненты спина вдоль оси тъ (для этого имеются исторические причины). Следующие два первых упражнения позволяют лучше узнать некоторые простые, но важные свойства таких измерений.
Упражнеиие 2.59. Пусть кубит находится в состоянии ~0) и выполняется измерение наблюдаемой Х. Чему равно среднее значение и среднеквадратичное отклонение Х? Упражнение 2.60. Покажите, что собственные значения оператора е й равны х1, а проекторы на соответствующие собственные пространства определяются выражениями Рь = (1 х д й)/2.
'Упражнение 2.61. Вычислите вероятность получения результата+1 при измерении е й, полагая, что перед измерэнием система находилась в состоянии ~0). В каком состоянии будет находиться система после измерения, если известно, что было получено значение +1? 2.2.6 РО э'М-измерения Постулат о квантовых измерениях (постулат 3) содержит два ключевых момента. Во-первых, он определяет правило, описывающее статистику измерений, 2.2. Постулаты квантовой механики 127 т.
е. вероятности возможных результатов измерений. Во-вторых, он дает правило, описывающее состояние системы после измерения. Однако в некоторых случаях состояние системы после измерения не представляет большого интереса, а главное, что интересует исследователя, — возможные результаты измерения. Такая ситуация, например, имеет место, когда измерение над системой производится только один рэз — по окончании эксперимента. В таких ситуациях применяется математический метод, называемый РОЧМ-формализм, который особенно хорошо приспособлен для анализа результатов измерений. («РОЧМ» является сокращением словосочетания «Роэйгхе Орегайог-Ча(иеб Меаэиге»,— технического термина, происхождение которого не представляет для нас интереса.) Этот формализм есть просто следствие из общего описания измерений, данного в постулате 3, но теория РОЧМ-измерений столь элегантна и широко используема, что заслуживает отдельного обсуждения.
Пусть измерение, описываемое операторами измерений М„„выполняется над квантовой системой, находящейся в состоянии рл). Тогда вероятность результата т задается формулой р(т) = (ф~М~ М„,'рл). Введем определение (2.117) Из постулата 3 и элементарной линейной алгебры следует, что Š— неотрицательно определенный оператор и.~ Е,„= 1, а р(гл) = (ф~Е,„'рл). Таким образом, набор операторов Е,„достаточен для определения вероятностей различных исходов измерения. Операторы Е,„— это РОУМ-элементы, связанные с измерением, а полный набор (Е,„) называют РОУМ. В качестве примера РОЧМ-измерений рассмотрим проективное измерение, описываемое операторами измерений Р, которые являются проекторами и обладают свойствами Р,„Р,„= 6,„„;Р,„и 2 Р,„= 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
