М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Как можно было убедиться, выполнив упражнение 2.11, у матриц Х и У нет общих собственных векторов, что и следует из теоремы об одновременном приведении к диагональному виду. Доиазапзельспзео. Бы можете (и это, безусловно, следует сделать) легко проверить, что если А и  — диагональные матрицы в одном и том же ортонормированном базисе, то [А, В] = О.
Докажем обратное утверждение. Пусть )а, з)— ортонормированный базис для собственного пространства У«оператора А, которое соответствует собстиенному числу а; индекс «1» используется, чтобы обозначить возможное вырождение. Заметим, что АВ)а, Я = ВА)а,.у) = аВ)а, з), (2.71) В)а, Ь,й) = Р„ВР„)а, Ь,й) = Ь[а, Ь,й). (2.72) Можно сделать вывод, что )а, Ь, й) — собственный вектор оператора В с собственным числом Ь, поэтому )а, Ь, й) — ортонормированный набор собственных векторов одновременно для операторов А и В, порождающий все пространство У, в котором действуют операторы А и В. Следовательно, операторы А и В могут быть одновременно приведены к диагональному виду. Упражнение 2.40 (коммутационные соотношения для матриц Паули). Проверьте коммутационные соотношения [Х, У) = 2Ы; [У, Я) = 21Х; [Я, Х) = 2«У.
(2.73) То же самое можно записать элегантным способом, используя антисимметричный по трем индексам тензор суы (суы = О,' кроме сгзз = сззз = сзгз = 1 езш = сшз = еззз = 1): следовательно В)а, Я вЂ” элемент собственного пространства У,. Пусть Р, — проектор на пространство У, введем обозначение В, ьз Р„ВР,. Легко заметить, что ограничение оператора В, на пространство У«является эрмитовым оператором в У«, и поэтому имеет спектральное разложение по ортонормированному набору собственных векторов, на которые натянуто пространство У,.
Обозначим зти векторы через )а, Ь, й), где а и Ь соответствуют собственным числам операторов А и В„, а й — дополнительный индекс, позволяющий учесть возможное вырождение оператора В,. Отметим, что В)а, Ь, й) лежит в пространстве У«, так что В)а, Ь, й) = Р„В)а, Ь, й). Более того, Р„)а, Ь, й) = )а, Ь, й), следовательно 112 Глава 2.
Введение в квантовую механику з [оу,оь] = 21 ~ сумов (2.74) Упражнение 2.41 (антикоммутационные соотношения для матриц Паули). Проверьте антикоммутационные соотношения (2.75) (~;,~1) =О, где г, г' = 1,2,3, 1 ф ~. Проверьте также, что оз =1 (2.76) для г' = 0,1,2,3. Упражнение 2.42. Проверьте, что [А,В]+ (А,В) 2 (2.77) 'Упражнение 2.43. Покажите, что з оуоь = 6 ьЕ+ Яеуыоь 1=1 (2.78) Упражнение 2.44.
Пусть [А,В] = О, (А, В) = О, А — обратимая матрица. Покажите, что В = О. 'Упражнение 2.45. Покажите, что [А, В]т = [Вт, А1]. Упражнение 2.46. Покажите, что [А, В] = — [В, А]. Упражнение 2.47. Пусть А и  — эрмитовы операторы. Покажите, что опе- ратор 1[А, В] также является эрмитовым. А=УУ=КУ, (2.79) 2.1.10 Полярное разложение и разложение по сингулярным числам Полярное разложение и разложение но сингуаарнмм числам представляют собой полезные способы разложения линейных операторов на более простые части. Например, они позволяют представить линейные операторы общего вида как произведения унитарных операторов и неотрицательно определенных операторов. Пока мы еще не слишком хорошо освоились со структурой линейных операторов общего вида, нам лучше знакомо устройство унитарных и неотрицательно определенных операторов.
Полярное разложение и разложение по сингулярным числам позволят применять эти знания для лучшего понимания устройства линейных операторов общего вида. Теорема 2.3 (о полярном разложении). Пусть А — линейный оператор, действующий в векторном пространстве У. Тогда существуют такие унитарный оператор У и неотрицательно определенные операторы,7 и К, что 2.1. Линейная алгебра 113 причем операторы,7 и К определены единственным образом: 7 ьв ~/А~А, К = ~/АА~.
Кроме того, если А — обратимый оператор, то оператор У также определен однозначно. Назовем выражение А = У,7 левым п ярн»»м раа«ожепием оператора А, а выражение А = КУ вЂ” прае»«м пеллрп»«м разложением. Довольно часто мы будем опускать слова «левый» и «правый», говоря просто о «полярном разложении», поскольку из контекста обычно ясно, о каком именно разложении нде'г речь. Донавеп»ельс«пво. Оператор 7 = ~/А~А является неотрнцательно определенным, поэтому для него существует спектральное разложение: .7 = 2, Л;~«)(»~ (Л; > О).
Введем обозначение: ~ф;) аэ А~»). Непосредственно проверяется, что (~;)4ч) = Л«. Рассмотрим теперь только те «, для которых Л; ф О. Для таких»' рассмотрим векторы (е;) вэ фД/Лп которые, как нетрудно видеть, являются единичными. Более того, они попарно ортогонэльны, поскольку если» ф.1, то (е;~ез) = («!А"А!17)/Л;Лз = («!,7»(7)/Л;Л = О. Мы рассмотрели такие «', для которых Л; ~ О. Теперь воспользуемся процедурой ортогонализации Грэма-Шмидта, чтобы дополнить набор ~е;) до ортонормированного базиса, который мы также обозначим ~е ).
Определим унитарный оператор У ш '),. (е )(«!. При Л; у«0 справедливо У,7)«) = Л;)е;) = ф~) = А(г). При Л; = О получим У,7(«) = О = )ф;). Таким образом, мы доказали, что операторы А и У.7 дают одинаковые результаты прн действии на векторы нз базиса ~»), следовательно, А = У,7. Оператор .7 определен однозначно, поскольку при умножении равенства А = У,7 слева на А» =,7У1 получим .7з = А»А, откуда следует, что 7 = ~/А~А. Легко доказать, что если оператор А обратим, то,7 также обратим, поэтому оператор У однозначно определяется с помощью уравнения У = А.7 '. Доказательство для правого полярного разложения проводится аналогично: А = У,7 = У,7У1У = КУ, где К ш У,7У1 — неотрицательно определенный оператор.
Поскольку АА« = КУУ«К = Кэ, можно заключить, что К '= ~/АА1, что и требовалось доказать. При разложении по сингулярным числам используются одновременно полярное разложенйе и теорема о спектральном разложении. Следствие 2.4 (разложение по сингулярным числам) Пусть А — квадратная матрица. Тогда существуют такие унитарные матрицы У и Ъ" и диагональная матрица 17 с неотрицательными числами на диагонали, что (2.80) Диагональные элементы матрицы 17 называют сиигрллрн»«»«и числами»7атрицы А. Доказан»ельс»пео.
Запишем полярное разложение для матрицы А: А = Я,7, где Я вЂ” унитарная, а,7 — неотрицательно определенная матрица. Согласно теореме о спектральном разложении, .7 = ТОТ1, причем Т вЂ” унитарная матрица, 17 — диагональная с неотрицательными числами на диагонали. Для завершения доказательства следует ввести обозначения У ьз БТ, Ъ" ьв Т1 114 Глава 2. Введение в квантовую механику "Упражнение 2.48. Как выглядят полярное разложение для неотрицательно определенной матрицы Р? Для унитарной матрицы П? Для эрмитовой матри- цы Н? Упражнение 2.49. Запишите полярное разложение для нормальной матри- цы в представлении с помощью тензорного произведения.
Упражнение 2.50. Укажите левое и правое полярные разложения для мат- рицы [1 о1 (2.81) 2.2 Постулаты квантовой механики Понимание начинается с наиыго неприятия мира таким, каким он наоюеоэся. А. Кэй Наибааее неаосгаижимьм сеойсгаеом мира яеляетася его иосгаижимосшь. Альберт Эйнштейн 2.2.1 Пространство состояний Первый постулат квантовой механики устанавливает место действия квантовомеханнческих процессов. Это уже знакомое нам из линейной алгебры гильбертово пространство. Постулат 1.
С каждой изолированной физической системой связывается комплексное векторное пространство со скалярным произведением (т. е. гильбертово пространство), которое называется иространсгаеам сосшояний систе- Квантовая механика — математическая конструкция для построения физических теорий. Сама по себе квантовая механика не сообщает, каким физическим законам подчинена та или иная физическая система, однако она дает математические конструкции и понятия для формулировки этих законов.
В нескольких следующих разделах содержится полное описаняе основных постулатов квантовой механики, задающих связь между физическим миром и математическим формализмом этой дисциплины. Постулаты квантовой механики были получены в результате долгого процесса проб и (по большей части) ошибок, который в значительной степени заключался в угадывании и нащупывании исходных положений теории. Не удивляйтесь, что мотивировки постулатов не всегда достаточно ясные; даже специалисты считают постулаты квантовой механики удивительными.
Ознакомившись с несколькими следующими разделами, необходимо понять, как и когда следует применять зти постулаты. 2.2. Постулаты квантовой механики 115 мы. Система полностью описывается ееатвором сосшолнил, который представляет собой единичный вектор в пространстве состояний системы. Квантовая механика не говорит нам ни о том, как именно устроено пространство состояний для заданной физической системы, ни о том, каков вектор состояния данной системы. Указание этого для канкреганоа системы — непростая задача, для решения которой физики разработали множество сложных и красивых правил.
Так, существует замечательная теория, называемая квантовой электродинамикой (сокращенно КЭД), которая описывает взаимодействие атомов и света. Один из аспектов КЭД вЂ” показать, какие пространства состояний следует использовать, чтобы дать квантовое описание атомов и света. Мы ие будем касаться таких сложных теорий, как КЭД (кроме тех случаев, когда они применяются к физическим реализациям, см. гл. 7), поскольку наша основная задача — разобраться с общей схемой, предлагаемой квантовой механикой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
