М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В таком (и только в таком) случае все РОЧМ-элементы совпадают с самими операторами измерений, поскольку Е ьз Р~ Р = Р . з'пражнение 2.б2. Покажите, что любое измерение, в котором операторы измерения и РОЧМ-элементы совпадают, является проективным. Выше мы отмечали, что РОЧМ-операторы являются неотрицательно определенными и удовлетворяют условию ", Е = 1. Пусть теперь (Е 1 — некоторый произвольный набор неотрицательно определенных операторов, для которого 2 , 'Е„, = 1. Покажем, что существует набор операторов измерений М, определяющий измерение, описываемое РОЧМ-операторами (Е,„), Положив М ш ~/Е~, получим 2; М~ М = 2; Е = 1, а значит, множество (М описывает измерение, задаваемое РОЧМ-операторами (Е ). Поэтому удобно, определишь набор РОЧМ-операторов как такое множество операторов (Е ), когда все операторы Е,„являются неотрицательно определенными и выполняется условие па«ношы: 2 Е = 1 (это означает, что сумма вероятностей всех результатов равна единице).
Напомним, что если задан набор РОЧМ- операторов (Е ), то вероятность результата т задается выражением р(гп) = (ФФпъ!4~) Мы рассмотрели проективные измерения как пример использования РОЧМ- операторов, однако это не очень интересно, поскольку мы не узнали ниче- 128 Глава 2. Введение в квантовую механику го нового. Ниже приводится более сложный пример использования РОЧМ- формализма. Пусть Алиса выдает Бобу кубит, находящийся в одном из двух состояний: )фз) = )0) или фз) = (~0)+)1))/~Г2. Как объяснялось в подрззд.
2.2.4, Боб не может надежно определить, выдан ему кубит в состоянии )фз) или )фз). Тем не менее он может выполнить измерение, которое различает состояния в некоторых случаях и некогда не вьщает неправильного ответа. Рассмотрим набор из трех РОЧМ-элементов: Ез = (1)(Ц, з/2 1+ ~Г2 за (!0) — !1))((0! — (10 2 Ез вз 1 — Ез — Ез. (2.118) (2.119) (2.120) Можно непосредственно проверить, что все три оператора являются неотрицательно определенными и выполняется условие полноты 2 Е,„= 1, поэтому они образуют правильный РОЧМ-набор. Пусть Боб получает состояние фз) = )0). Он выполняет измерение, описываемое РОЧМ-набором (Ем Ез, Ез).
Результат Ез он получит с нулевой вероятностью, поскольку оператор Ез выбран так, что (фз ~Ез ~ф~) = О. Таким образом, если измерение даст результат Ем то Боб может сделать точное заключение, что ему был выдан кубит в состоянии )фз). Аналогичное рассмотрение показывает, что если в результате измерения получен ответ Ез, то вначале кубит находился в состоянии фз). Однако иногда в результате измерения Боб будет получать ответ Ез, и тогда он не сможет сделать никакого вывода об исходном состоянии кубита. Принципиальный момент состоит в том, что Боб никогда не сделает неправильного вывода об исходном состоянии своего кубита.
За такую безошибочность приходится платить тем, что иногда Боб не получает никакой информации об исходном состоянии кубита. Этот простой пример демонстрирует полезность РОЧМ-формализма в качестве простого и удобного способа работы с квантовыми измерениями в тех случаях, когда важна только статистика измерений. Далее мы будем часто интересоваться только статистикой, поэтому будем использовать РОЧМ-формализм, а не более общий, описанный в постулате 3. о пражнение 2.63. Пусть некоторое измерение описывается операторами измерений М . Покажите, что существуют такие унитарные операторы У„„что М = 11 з/Е, где Е,„— РОЧМ-операторы, связанные с измерением.
згпражнение 2.64. Пусть Боб получает квантовое состояние, выбираемое из набора ~фз), ..., )ф~) линейно-независимых состояний. Постройте такой РОЧМ-набор (Ем Ез,..., Е ез), при котором в случае, если результат измерения равен Е,„(1 < з < т), Бобу достоверно известно, что ему было выдано состояние ф;). (РОЧМ-набор должен удовлетворять условию (ф;Щфз) ) 0 при любом з.) 2.2. Постулаты квантовой механики 129 Вставка 2.5. Измерения проективные, общего вида, и РО т'М В большинстве вводных текстов по квантовой механике описываются только проективные измерения, вследствие чего общее описание измерений, данное в постулате 3, равно как и формализм Р07М-измерений, описанный в подразд. 2.2.6, остаются малоизвестными.
Причина, по которой многие физики не изучают формализм измерений общего вцца, состоит в том, что над большинством физических систем можно проводить только весьма грубые измерения. В теории квантовых вычислений и в обработке квантовой информации мы стремимся к возможно большему разнообразию выполняемых измерений, так что более общее описание измерений оказывается полезным. Конечно, если учесть другие аксиомы квантовой механики, то проективные измерения, дополненные унитарными операциями эволюции, оказываются полностью эквивалентными измерениям общего вида, как показано в подрэзд. 2.2.8. Поэтому физик, имеющий опыт использования проективных измерений, может задаться вопросом: почему мы начали с введения общего формализма (постулата 3) 2 Существует несколько причин для этого. Во-первых, в математическом отношении операторы измерений общего вида В некотором смысле проще устроены, чем проекторы, поскольку на них налагается меньше ограничений: например, нет ограничения, аналогичного условию Р;Р = б;, Р; для проекторов.
Эта более простая структура приводит также к появлению у операторов измерений общего вида многих полезных свойств, которых нет у проекторов. Во-вторык, оказывается, что в теории квантовых вычислений и в обработке квантовой информации существуют важные задачи (такие как оптимальный способ различения квантовых состояний), для решения которых используются операторы измерения общего вида, а не только проекторы.
В-третьих, проективные операторы обладают особым свойством, называемым еоспроиэеодимостью. Проективные измерения повторяемы в том смысле, что если проективное измерение выполняется один раз, и при этом получается результат т, то после повторного измерения над получившимся состоянием вновь получается ответ ш, а состояние не меняется. Проверим этот факт.
Пусть начальное состояние задавалось вектором ~ф). После первого измерения система будет находиться в состоянии ~ю) = о'-вэ~ Э7Р-э1 л ° ° ~- ° - ° э-) не изменяет последнее, поэтому Я„,~Р„,~ф„) = 1, а, следовательно, каждое последующее измерение также даст ответ гп и состояние при этом не изменится. Воспроизводимость проективных измерений позволяет легко понять тот факт, что многие важные измерения в квантовой механике не сводятся к операторам проектирования. Например, если мы находим положение фотона с помощью посеребренного экрана, то прн этом уничтожается фотон.
В таком случае очевидно, что повторное измерение положения фотона невозможно. Существует также много других квантовых измерений, 130 Глава 2. Введение в квантовую механику которые не воспроизводимы в том смысле, в каком воспроизводимы проективные измерения. Для таких измерений следует использовать постулат 3. Где в этой картине находится место для РОМ-измерений? Лучше всего рассматривать их как специальный случай формализма операторов измерений общею вида, который дает простейший способ изучения статистики измерений общего вида (когда нет необходимости знать состояние системы после измерения). РО г'М-операторы представляют собой удобный математический «трюк», позволяющий в некоторых случаях получить дополнительное представление о квантовых измерениях. 2.2.7 Фаза /О) + !1) !О) — !1) ~Г2 ~/2 (2.121) В первом из них амплитуда слагаемого ~1) равна 1/~Г2, во втором состоянии амплитуда слагаемого ~1) равна — 1/Я.
В обоих случаях абсазюгпнал вазичпна амплитуды одна и та же, но знаки разные. В общем случае можно сказать, что две амплитуды (а и Ь) различаю«пса огпносигпезъными фазамщ если существует такое действительное число з, что а = е вб, или два состояния различающая втпносителън»»ми фазами в некотором базисе, если все их амплитуды в этом базисе получаются одна из другой умножением на фазовые множители вида е'г. Например, два описанных выше состояния совпадают с точностью до сдвига фазы, поскольку амплитуды слагаемых ~0) одинаковы (относительный фазовый множитель равен 1), а амплитуды слагаемых ~1) различаются фазовым множителем, равным — 1. Разница между относительными фазами и общими фазовыми множителями заключается в том, что в первом случае фазовые множители могут быть различными для разных амплитуд. Поэтому «Фаз໠— это часто используемый в квантовой механике термин, имеющий несколько конкретных значений в зависимости от контекста.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
