М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Таким образом, система не является замкнутой, но эволюционирует в соответствии с уравнением Шредингера с зависящим от времени гамильтонианом (по крайней мере с хорошей точностью). Итак, в качестве начального приближения мы будем часто описывать эволюцию квантовомеханических систем с использованием унитарных операторов, даже если эти системы не замкнутые.

Главное исключение — квантовое измерение — рассматривается в следующем подразделе. В дальнейшем более подробно будет исследован вопрос об отклонении от эволюцйи, описываемой унитарными операторами, связанном с взаимодействием с другими системами, так, что можно будет более точно понять динамику реальных квантовых систем. 120 Глава 2. Введение в квантовую механику 2.2.3 Квантовые измерения Выше был введен постулат о том, что эволюция замкнутой квантовой системы описывается унитарным оператором.

С эволюцией системы, которая не взаимодействует с остальным окружающим миром, все в порядке. Однако экспериментаторам и их приборам, другими словами, — внешней физической системе — следует наблюдать за данной системой, чтобы определить, что происходит внутри нее. В таком случае система перестает быть замкнутой, а ее эволюция уже не обязательно описывается унитарным оператором. Для описания такой ситуации введем постулат 3 о воздействии измерений на квантовые системы.

Постулат 3. Квантовые измерения описываются набором (М ) операпьорое измерения. Это операторы, действующие в пространстве состояний системы, подлежащей измерению. Индекс обозначает результаты измерения, которые могут получиться в эксперименте. Если непосредственно перед этим квантовая система находилась в состоянии 1ь(ь), то вероятность того, что в результате измерения будет получен результат т, задается выражением р(гп) = (фм1 М„,)ьР), (2.92) а после измерения система будет находиться в состоянии М )1(ь) (2.93) )/(Ф~М1 м !Ф) Операторы измерения удовлетворяют условию полнопьы (2.94) Условие полноты означает, что сумма вероятностей различнмх исходов измерения равна единице.

1='> р( ) ='~(Р)м1м )е). (2.95) р(0) = (ф)М©мо(ф) = (асмо!ф) (а)з (2.96) Справедливость этого уравнения для всех ~ь1ь) эквивалентна выполнению условия полноты. Однако условие полноты проще проверять непосредственно, поэтому оно и введено в качестве отдельного утверждения в постулат 3. Простым, но важным примером измерения является измерение кубньпа е емчислнвьельноььь базисе.

Это измерение над одиночным кубитом с двумя возможными результатами, определяемыми двумя операторами измерения: Ме = )0)(0(, Мь = )1)(Ц. Заметим, что каждый из операторов измерения является эрмитовым и что Ме — — Мо, Мь — — Мь. Следовательно, условие полноты вы- 2 2 полнено: 1 = Мо Мо + М, Мь = Мо + Мь. Пусть измеряемое состояние задается 1 вектором 1ььь) = а(0) + Ц1).

Тогда вероятность получения результата 0 определяется формулой 2.2. Постулаты квантовой механики 121 Аналогичным образом, вероятность получения результата 1 представляется формулой р(1) = (Ь|з. После измерения вектор состояния будет равен Ме(ф) а )а( (а) (2.97) М !Ф) Ь , (Ь| (Ь| (2.98) Из подрэзд. 2.2.7 следует, что на множители вида а/~а~, равные по модулю единице, можно в сущности не обращать внимания, поэтому два последних выражения фактически сводятся к (0) и ~1), как это описывалось в гл. 1. Является ли постулат 3 столь же фундаментальным, как и предыдущие? Ведь измерительные устройства являются квантовомеханическими системами.

Поэтому подлежащая измерению квантовая система и измерительное устройство вместе входят в состав большей изолированной квантовомеханической системы. (Возможно, для получения полностью изолированной системы в нее потребуется включить не только систему, над которой производится измерение, и измерительное устройство, но и еще какие-то объекты,— ключевой момент состоит в том, что в принципе это можно сделать.) В соответствии с постулатом 2 эволюция этой большой системы описывается унитарным оператором. Можно ли вывести постулат 3 как следствие из этого описания? Несмотря на многочисленные исследования на данную тему, между физиками по-прежнему нет полного согласия относительно того, возможно ли это.

Мы собираемся придерживаться сугубо прагматичного подхода: на практике бывает ясно, когда применять постулат 2, а когда — постулат 3, так что не обязательно заботиться о выводе одного постулата из другого. В следуюшдх нескольких подразделах мы будем применять постулат 3 для ряда элементарных, но весьма полезных сценариев измерений. Так, подраздел 2.2.4 посвящен изучению проблемы различения нескольких квантовых состояний. В подразд. 2.2.5 раскрывается особый случай применения постулата 3 — проектиекме измерения, или измерения фон Неймана.

В подразд. 2.2.6 речь идет о другом случае применения постулата 3, известном как РО'гМ- измерения. Во многих введениях в квантовую механику обсуждаются только проективные измерения, а полное обсуждение постулата 3 или РОМ-элементов опускается. По этой причине мы включили вставку 2.5, где исследуется отношение между разными классами описываемых нами измерений.. Упражнение 2.57 (последовательные измерения эквивалентны одному измерению). Пусть (Ь|) и (М ) — два набора операторов измерений.

Покажите, что последовательное выполнение измерения, задаваемого операторами (5Д, и операторами (М(„), физически эквивалентно одному измерению, задаваемому операторами (Мьэ), где Ф~„, = — М,„йь 122 Глава 2. Введение в квантовую механику 2.2.4 Различение квантовых состояний Важным применением постулата 3 является задача различения квантовых сосиолиий.

В классическом мире разные состояния объекта обычно различимы. Например, при падении монеты мы всегда можем различить, выпал орел или решка. В квантовой механике ситуация гораздо сложнее. В равд. 1.6 приведен правдоподобный аргумент, почему нельзя различить неортогональные состояния. Опираясь на постулат 3, можно продемонстрировать этот факт более убедительно. Различимость, как и многие идеи в квантовых вычислениях и обработке квантовой информации, проще всего понять, на примере игры с двумя участниками — Алисой и Бобом. Алиса выбирает состояние ф;) (1 < 1 < п) из некоторого фиксированного набора состояний, известного обоим участникам.

Она передает состояние ф,) Бобу, цель которого — определить индекс 1 этого состояния. Предположим, что состояния ~4;) образуют ортонормированный набор. Тогда Боб может рагличнгпь эти состояния с помощью квантового измерения, операторы которого задаются следующим образом: М; аг ~4ч)(4~;~ — по одному на каждый индекс г, — а также дополнительный оператор измерения Ме, равный квадратному корню из неотрицательно определенного оператора 1— ~фг)(ф;~. Эти операторы удовлетворяют условию полноты, и если приготовлено состояние ~ф;), то р(1) = (ф;~М;фг) = 1, т. е.

результат 1 получается с единичной вероятностью. Следовательно, можно с уверенностью различить ортонормированные состояния (у г) . Напротив, если состояния ~фг) не образуют ортонормированного набора, то можно доказать, что не сущесгпеует квантпоеого измерения, различающего эглн состаолнпя. Идея заключается в том, что Боб будет делать измерение, описываемое операторами Мг, дающими результаты 1.

В зависимости от результата измерения Боб пытается угадать, какому индексу 1 соответствовало исходное состояние. Для этого он использует некоторое правило (функцию г = Д1)). Причина, по которой Боб не может различить неортогднальные состояния ~ф~) и ранг), состоит в следующем: (фг) раскладывается в сумму (ненулевой) компоненты, параллельной вектору ~ф~), и компоненты, ортогональной вектору )ф~). Пусть 1' — такой результат измерения, для которого Ду) = 1, т.

е. Боб определяет, что сначала система была в состоянии ~1У~), если он получает в качестве результата измерения г. Но поскольку у вектора (фг) есть составляющая, параллельная вектору ~6ч), существует ненулевая вероятность того, что результат у был получен и в том случае, когда исходным было состояние фг). Следовательно, Воб иногда будет ошибаться при определении исходного состояния. Более строго это рассуждение проведено на вставке 2.3. 2.2.5 Проективные измерения Рассмотрим важный случай постулата 3.

Имеется в виду специальный класс измерений, известный как проектлиевме измерения. Во многих применениях 2.2. Постулаты квантовой механики 123 Вставка 2.3. Доказательство неразличимости неортогональных состояний Докажем от противного, что никакое измерение не позволяет различить неортогональные состояния !фт) и !фз).

Предположим обратное, т. е. бу- дем считать, что измерение, различающее эти два состояния, существует. Если приготовлено состояние !тттт) ()ттта)), то вероятность получить при из- мерении такой результат т', что Д~) = 1 (1(т) = 2), равна единице. Введем оператор Е; гв 2 .,1О1 т М М, тогда можно записать, что (Ф1!Е1!Ф1) = 1! (тгэ!Ез)42) = 1. (2.99) Поскольку 2 '„Е; = 1, то Ст(тттт !Е )Фт) = 1, а так как (ттт~ )Ет !т/тт) = 1, должно выполняться равенство (фт!Еэ!тттт) = О, т. е. ~/Лт~)от) = О. Предположим, что мы разложили вектор !тттэ) на две составляющие: !т(тэ) = о!тттт) + 13!у), где вектор !<р) ортогонэлен вектору !тттт) н равен по модулю единице, !о!~+ !9!~ = 1, !ту! < 1, поскольку векторы !тттт) и !т!тз) не ортогональны.

Характеристики

Список файлов книги