М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 27
Текст из файла (страница 27)
для любого скаляра «и векторов е е У, и е И~ имеет место равенство «((с) Э )и)) = («(с)) Э )и) = )с) Э («(и)); (2.42) 2. для любых векторов ~е~), ~е«) Е У, и Е И~ справедливо соотношение Ое~) + )ьт)) Э )и) = )е~) Э )ю) + (ез) Э )ш); (2.43) 3. для любых векторов )и) е У, )ш~), !.в«) Е И~ выполняется равенство !е) З (!пч) +!шг)) = !с) Э!нч) + )е) З /то«). (2.44) (АЭВ)()с) Э)и)) ы А)с) ЭВ(ю). (2.45) Результат действия оператора А Э В на остальных векторах пространства У Э И~ определяется естественным образом с учетом линейности, т.
е. АЭВ ~~~ а;(~е;) З)ш;)) = ~ гн(А!е;) ЭВ)яЧ)). (2.46) Можно показать, что такое определение корректно задает оператор А Э В, действующий на пространстве У Э Ю. Понятие тензорного произведения двух операторов обобщается естественным образом на случай операторов А: У -> У', В: И~ — ЬУ', когда пространство аргументов не совпадает с пространством значений. Действительно, произвольный линейный оператор С, отображающий У ® И' в У' Э $Р, может быть представлен в виде линейной комбинации тензорных произведений операторов, отображающих У в Г и И~ в И": С=~ сА;ЭВ;, (2.47) где по определению (2.48) Скалярные произведения в пространствах У и ЬУ можно использовать для определения скалярного пронзведения в пространстве У Э РУ по следующей формуле: (2.49) Как описать линейные операторы, действующие в пространстве У Э И~? Пусть |с) н )ш) — векторы в пространствах У и И~, А и  — линейные операторы соответственно в пространствах У и И~.
Тогда можно определить линейный оператор А Э В, действующий в пространстве У Э И~, слепующим образом: 2.1. Линейная алгебра 107 Можно показать, что задаваемая этой формулой функция действительно обладает всеми свойствами скалярного произведения. Получившееся пространство У Э И1 со скалярным произведением наследует всю остальную знакомую нам структуру: сопряжение операторов, унитарные, нормальные и эрмитовы операторы.
Все приведенные выше рассуждения были довольно абстрактными. Их можно сделать более конкретными, если перейти к удобному матричному представлению, известному как кронекероео произведенье мотприц. Пусть А — матрица размера т х и,  — матрица р х о. Тогда имеется следующее матричное представление: АыВ АшВ ... А~„В Аш В АщВ АзэВ АЗ В аз (2.50) А ~В АгВ" А~В В этом представлении через Аы В и т. п. обозначены подматрицы р х о, пропор- циональные матрице В (с коэффициентами пропорциональности Аы и т.
п.). Например, тензорное произведение векторов (1, 2) и (2, 3) есть вектор 1х2 1х3 2х2 2х3 2 3 (2.51) Тензорное произведение матриц Паули Х и У равно 0 0 0 — 1 0 0 г 0 0 — 1 0 0 1 0 0 0 ХЭУ= 1 У 0 У (2.52) Наконец, введем полезное обозначение ф)®ь, соответствующее )с раз тензор- но перемноженному с самим собой вектору ф). Например, (ф®з = ф) З ф). Аналогичное обозначение используется для операторов, действующих на про- странствах тензорных произведений. Упражнение 2.26. Пусть )ф) = (~0) + ~1))/~/2. Запишите в явном виде век- торы ~т/г)ев и )ф)е~, используя обозначения вида ~0) ~1) и кронекерово произве- дение.
Упражнение 2.27. Вычислите матричное представление тензорных произве- дений следующих операторов Паули: а) Х и Г; б) 1 и Х; в) Х и 1. Обладает ли тензорное произведение свойством коммутативности? Упражнение 2.28. Покажите, что операции транспонирования, комплексно- го сопряжения и эрмитова сопряжения дистрибутивны относительно тензор- ного произведения: (АЭВ)'=А'ЭВ . (АЗВ)т АтЗВт. (АЗВ)1 А1ЭВ1 (253) 108 Глава 2.
Введение в квантовую механику эгпражнение 2.29. Покажите, что тензорное произведение двух унитарных операторов есть унитарный оператор. эгпражнение 2.30. Покажите, что тензорное произведение двух эрмитовых операторов — эрмитов оператор. з'пражнение 2.31. Покажите, что тензорное произведение двух неотрицательно определенных операторов — неотрицательно определенный оператор. упражнение 2.33. Оператор Адамара на одном кубите может быть записан следующим образом: Н = — [([О) + [1))(0[+ ([О) — [1))(1Ц .
~Г2 (2.54) Прямым вычислением проверьте, что преобразование Адамара на п кубитах (Н™) может быть записано в виде — (-1)*'э[к) (у[. ~(2", „ (2.55) Выпишите в явном виде матричное представление для Низ. 2.1.8 Операторные функции Можно ввести много важных функций от операторов и матриц. Вообще говоря, если задана функция (', отображающая множество комплексных чисел в себя, то можно определить соответствующую матричную функцию на нормальных матрицах (или некотором подклассе, например на эрмитовых матрицах) сле,зующим образом.
Пусть А = ~ , 'а[а)(а[ — спектральное разложение для оператора А. Обозначим ДА) кч ~ Да)[а)(а[. Легко видеть, что функция ~(А) определена однозначно. Эту процедуру можно использовать, например, для нахождения квадратного корня из неотрицательно определенного оператора, логарифма положительно определенного оператора, экспоненты нормального оператора. Так, ехр(э2) = 0 -э (2.56) поскольку собственные векторы Я равны [О) и [1). эГпражнение 2.34. Найдите квадратный корень и логарифм матрицы [4 З~ (2.57) э'пражнение 2. 32. Покажите, что тензорное произведение двух проекторов— проектор.
2.1. Линейная алгебра 109 Упражнение 2.35 (экспонента от матриц Паули). Пусть о — произволь- ный действительный трехмерный вектор единичной длины, 0 — действительное число. Докажите, что ехр(100. о) = сое(0)1 +1еш(0)0 о, (2.58) где о ° д = ~ э з сить Это упражнение обобщается в задаче 2.1.
Другой важной функцией, действующей на матрицах, является след матрицы. Следом квадратной матрицы А называется сумма ее диагональных элементов: сг(А) ы ~ Аа. (2.59) Нетрудно заметить, что след цакяичен (сг(АВ) = сг(ВА)) и яапееп (сг(А+ В) = сг(А)+сг(В), сг(зА) = з 1г(А)), здесь А и  — произвольные матрицы, з— комплексное число.
Из свойства цикличности следует, что след матрицы инвариантен относительно унитарного преобразования сопряжения А -+ УАсГз, поскольку сг(УАУ1) = сг(У1УА) = сг(А). Поэтому можно определить след операпюра А как след какого-нибудь матричного представления А. Инвариант- ность следа относительно преобразования сопряжения гарантирует, что след оператора определен корректно. Рассмотрим пример, в котором используется понятие следа.
Пусть рр)— единичный вектор, А — произвольный оператор. Для вычисления сг(А~ф)(ф) используем ортогонализацию Грана-Шмидта, чтобы дополнить вектор ф) до ортонормированного базиса ~з), в котором ф) является первым элементом. Тогда получим сг(А!З1)(ф!) = ) (з/А!ф)(ф1) = (ф/А/з1). (2.60) (2.61) сг(АВ) = Фг(ВА). (2.62) Упражнение 2.38 (линейность следа). Покажите, что для любых двух ли- нейных операторов А и В справедливо равенство Фг(А + В) = Фг(А) + Фг(В), (2.63) а для произвольного комплексного числа л сг(хА) = з1г(А).
(2.64) Тот факт, что Фх(Аф)(ф) = (фАф)), очень полезен при вычислении следа оператора. Упражнение 2.36. Покажите, что у всех матриц Паули, кроме 1, след равен нулю. Упражнение 2.37 (неизменность следа при циклических перестанов- ках сомножителей). Покажите, что для любых двух линейных операторов АиВ 110 Глава 2. Введение в квантовую механику Ъгпражнение 2.39 (скалярное произведение Гильберта — Шмидта в пространстве операторов). Очевидно, что множество Ьг линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Ъ', является векторным пространством, т.
е. 1) сумма двух линейных операторов есть линейный оператор; 2) если А †линейн оператор, а г †комплексн число, то оператор гА также линейный; 3) существует нулевой оператор О. В векторном пространстве Ьг есть также естественное скалярное произведение, так что Ьг можно считать гильбертовым. 1. Покажите, что функция (, ) на пространстве Ьк х Ьг, определенная соотношением (А В) гв сг(А1В) (2.65) задает скалярное произведение. Это скалярное произведение называют скалярным произведением Гаяьберпш-Шмидта 'или следовым скалярным произведением.
2. Покажите, что если размерность пространства У равна Н, то размерность пространства Ьг равна а~. 3. Постройте ортонормированный базис в гильбертовом пространстве Ху, состоящий из эрмитовых операторов. 2.1.9 Коммутатор и антикоммутатор Коммутатор операторов А и В определяется соотношением [А,В) кч А — ВА.
(2.66) Если [А, В) = О, т. е. АВ = ВА, то операторы А и В называют коммугпируюи1ьми друг с другом. Аналогично антиксммутапюр операторов А и В определяется следующим образом: (А,В) — = АВ+ВА; (2.67) оператор А антикоммутирует с В, если (А, В) = О. Оказывается; что многие важные свойства пары операторов связаны со значениями их коммутатора и антикоммутатора. Возможно, наиболее полезное соотношение — зто связь между коммутатором и возможностью вдновргменнвгв приведенил к диагональному виду эрмитовых операторов А и В, т. е. возможностью одновременного представления их в виде А = ~ г а;)1) (1), В = ~С, Ь;)1) (1), где )1) — некоторый общий набор ортонормированных собственных векторов для операторов А и В.
Теорема 2.2 (об одновременном приведении к диагональному виду). Пусть А и  — эрмитовы операторы. В этом случае [А, В] = О тогда и только тогда, когда существует такой ортоиормированный базис, что оба оператора А и В являются диагональными в этом базисе. Следовательно, можно сказать, что А и В одновременно приводятся к диагональному виду.
2.1. Линейная алгебра 111 Это утверждение связывает коммутатор двух операторов, который обычно легко вычислить, с возможностью одновременного приведения к диагональному виду — свойством, априори довольно сложно поддающимся проверке. Например, [ Х У ) =2'[ (2.68) (2.69) (2.70) = 2гЯ, т. е. матрицы Х и У не коммутируют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
