М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 22
Текст из файла (страница 22)
гл. 2), но на примерах очень легко убедиться, что зто различение невозможно. Предположим, например, что мы пытаемся различить два состояния путем измерения в вычислительном базисе. Если у нас есть состояние )0), то измерение будет давать 0 с вероятностью 1. Но когда мы измеряем ()0)+(1))/~/2, измерение дает 0 с вероятностью 1/2 и 1 с вероятностью 1/2. Таким образом, хотя результат 1 подразумевает, что состоянием должно быть (~0)+)1))/~/2 (поскольку состояния (0) здесь быть не может), по результату 0 мы никак не можем идентифицировать квантовое состояние. Эта неразличимость неортогональных квантовых состояний лежит в основе квантовых вычислений и квантовой информации.
Она составляет суть нашего утверждения о том, что квантовое состояние содержит скрытую информацию, недоступную для измерения, и тем самым играет ключевую роль в квантовых алгоритмах и квантовой криптографии. Одной из центральных проблем квантовой теории информации является разработка мер для количественного определения степени различимости неортогональных квантовых состояний: 86 Глава 1. Введение и общий обзор этой теме посвящена значительная часть глав 9 н 12. В этом введении мы ограничимся указанием на два интересных аспекта неразличимости — ее связи с возможностью передачи информации со скоростью, превышающей скорость света, и применению в «квантовых деньгах».
Предположим, что мы сможем различать произвольные квантовые состояния. Покажем, что отсюда следует возможность связи со скоростью, превышающей скорость света, при помощи запутанности. Пусть Алиса и Боб имеют общую запутанную пару кубитов в состоянии (~00)+)11))/~/2. Тогда, если Алиса проводит измерение в вычислительном базисе, состоянием после измерения будет !00) с вероятностью 1/2 и !11) с вероятностью 1/2. Но предположим, что Алиса измеряет в базисе !+), ! — ).
Вспомните, что )0) = (!+) + (-))/~/2, а )1) = ()+) — ! — ))/~/2. Простые алгебраические выкладки показывают, что начальное состояние системы Алисы и Боба можно переписать как !0) = (!++) + !- — ))/~/2. Следовательно, если Алиса измеряет в базисе )+), )-), то состоянием системы Боба после измерения будет )+) или ! — ) с вероятностью 1/2. Пока все это элементарная квантовая механика.
Но если бы Боб имел доступ к устройству, которое может различать четыре состояния !О), !1), !+) и ) — ), то он мог бы сказать, измеряла ли Алиса в вычислительном базисе нли в базисе !+), ! — ). Более того, он мог бы получить эту информацию мгновенно, как только Алиса провела измерение, что позволило бы Алисе и Бобу осуществлять связь быстрее света! Конечно, мы знаем, что невозможно различать неортогональные квантовые состояния; этот прнмер показывает, что данное ограничение тесно связано с другими физическими законами, которым, как мы полагаем, подчиняется мир. Неразличимость неортогональных квантовых состояний не всегда является препятствием. Иногда она может быть полезна.
Представьте, что банк выпустил банкноты с впечатанным (классическим) серийным номером и последовательностью кубитов, каждый из которых находится либо в состоянии !0), либо в состоянии (!0)+!1))/»/2. Никто, кроме банка, не знает, какая последовательность этих двух состояний внедрена в банкноту, и банк ведет список, в котором серийные номера сопоставляются с внедренными состояниями. Банкноту невозможно подделать абсолютно точно, поскольку потенциальный фальшивомонетчик не может с достоверностью определить состояние кубитов в исходной банкноте, не разрушив их.
Получив банкноту, продавец (или уполномоченное лицо) может проверить ее подлинность, позвонив в банк, сообщив серийный номер и спросив, какая последовательность состояний была внедрена в банкноту, а затем измерив кубиты в базисе !О), !1) или ((О)+)1))/ъ/2, (!0)-!1))/~/2, как указано банком. С вероятностью, экспоненциально стремящейся к единице с ростом числа проверенных кубитов, любой потенциальный фальшивомонетчик будет выявлен на этой стадии! Эта идея лежит в основе множества других квантовых криптографических протоколов, и демонстрирует, какую пользу может приносить неразличимость неортогональных квантовых состояний. Упражнение 1.2.
Объясните, хан использовать устройство, правильно идентифицирующее одно из двух поданных на его вход неортогональных квантовых состояний !ф) или ~у), для построения другого устройства, копирующего состо- 1.6. Квантовая информация 87 яния ~9) и ~~р) в нарушение теоремы о невозможности копироваыия.
И наоборот, объясните, как использовать устройство для копирования с целью различения неортогональыых квантовых состояний. Создание и преобразование запутанности Запутанность представляет собой еще один элементарыый статический ресурс квантовой механики. Его свойства поразительно отличаются от свойств ресурсов, знакомых, главным образом, по классической теории информации, и они еще не очень хорошо поняты; максимум, что у нас есть — это неполная подборка результатов, относящихся к запутанности.
Рассмотрим здесь хотя бы две теоретико-информационные проблемы, связанные с запутанностью. Создание запутанности — это простой динамический процесс, изучаемый в квантовой теории информации. Сколькими кубитами должны обменяться две стороны, чтобы создать заданное запутанное состояние, разделенное между нами, при условии, что перед этим они не разделяли никакой запутанности? Второй динамический процесс, который представляет интерес — это преобразование запупюнности из одной формы в другую.
Предположим, например, что состояние Белла разделено между Алисой и Бобом и они хотят преобразовать его в запутанное состояние какого-то другого типа. Какие ресурсы им потребуются для выполнения этой задачи? Смогут ли они зто сделать, не устанавливая связи? Достаточно ли только классической связи? Если необходима квантовая связь, то сколько понадобится квантовых передач? Поиск ответов на эти и более сложные вопросы о создании и преобразовании запутаыности приводит к формированию самостоятельной захватывающей области исследований, а также обещает облегчить понимание таких задач, как квантовые вычисления. Например, распределенное квантовое вычисление можно рассматривать просто как метод создания запутанности между двумя н более сторонами; тогда нижние пределы количества передач, необходимых для выполнения такого распределеы1юго квантового вычисления, определяются нижними пределами количества передач, которое требуется для создания подходящих запутанных состояний.
1.6.2 Квантовая информация в более широком контексте Мы дали лишь самое поверхностное представление о кваытовой теории инфоршщии. В части 1П этой книги квантовая теория информации рассматривается гораздо подробыее, особенно в гл. 11, где речь идет о фундамеытальыых свойствах эытропии в квантовой и классической теории информации, и в гл. 12, где основное внимание уделяется чисто квантовой теории информации. Квантовая теория информации представляет собой наиболее абстрактную часть области квантовых вычислений и квантовой информации, а в некотором смысле и наиболее фундаментальную. Развитие квантовой теории информации и, в конечном счете, всей сферы квантовых вычислений и квантовой информации стимулирует следующие вопросы. Что деаает возможным обработку 88 Глава 1.
Введение и общий обзор кваннюеой информации? Что разделяет квантовый и классический миры? Какие ресурсы, недоступные в классическом мире, могут использоваться в квантовых вычислениях? Существующие ответы на эти вопросы туманны и неполны; но мы надеемся, что в грцлущие годы туман все-таки сможет рассеяться, и мы получим четкое представление о возможностях и ограничениях обработки квантовой информации. Задача 1.1 (диалог Фейнмана с Гейтсом).
Придумайте дружелюбную дискуссию (примерно из 2000 слов) между Биллом Гейтсом и Ричардом Фейнманом, происходящую сейчас и посвященную будущему вычислений. (Комментарий. Возможно, вам стоит прочитать всю книгу, прежде чем приступать к этому вопросу. См. ниже равд. «История и дополнительная литератураь, где приведены указания к одному из возможных ответов.) Задача 1.2. Какое самое значительное открытие сделано к настоящему времени в области квантовых вычислений и квантовой информации? Напишите очерк (примерно из 2000 слов) об этом открытии для образованной, но непрофессиональной аудитории.
(Коммен«парий. Как и в случае предыдущей задачи, вам, возможно, стоит прочесть всю книгу, прежде чем отвечать на поставленный вопрос.) История и дополнительная литература Большая часть материала этой главы рассматривается более подробно в последующих главах.
В связи с этим, приведенные ниже исторические ссылки и дополнительная литература относятся лишь к материалу, который в этих главах не затрагивается. Чтобы показать, как развивалась область квантовых вычислений и квантовой информации, требуется дать широкий обзор истории многих других областей. В настоящей главе мы попытались это сделать, но много базового материала неизбежно пришлось опустить из-за нехватки места (и компетенции). Приводимые ниже рекомендации направлены на то, чтобы исправить это упущение. Об истории квантовой механики рассказывалось во многих изданиях. Мы особенно рекомендуем выдающиеся работы Пэ [309, 310, 311[.
Из этих трех наиболее прямое отношение к развитию квантовой механики имеет [310[; однако приводимые Пэ биографии Эйнштейна [309[ и Бора [311[ также содержат много интересного материала, хотя и на менее сложном уровне. Возникновение технологий, основанных на квантовой механике, описано Мильбурном [285, 286[. Безусловно стоит прочитать изумительную работу Тьюринга по основам информатики [388].
Ее можно найти в ценной исторической коллекции, которую представляют собой книги Дэвиса [113[, Хофштадтера [189[ и Пенроуза [316[, содержащие занимательные и информативные обсуждения основ информатики. Биографии пятидесяти ведущих специалистов по информатике, приведенные у Шаша и Лецера [362[, проливают свет на многие различные аспекты истории этой дисциплины. Наконец, удивительно много исторической информации содержится во внушительной серии книг Кнута [224, 226, 226). 1.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
