М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Можно ли, например, получить выигрыш, если кодировать классическую информацию при помощи запутанных состояний и передавать их затем друг за другом по каналу с шумом? Или, может быть, выгодно проводить декодирование при помощи запутанных измерений? В гл. 12 мы докажем теорему ХШВ (ХолевоШумахера-Вестморленда), которая устанавливает нижний предел пропускной способности такого канала. Вообще, принято считать, что теорема ХШВ дает точное значение пропускыой способности, хотя полного доказательства этого до сих пор неизвестно! Под вопросом остается только возможность использования кодирования при помощи запутанных состояний для увеличения пропускной способности сверх нижнего предела, установленного теоремой ХШВ.
Все известные на сегодня факты свидетельствуют, что это не поможет увеличить пропускную способность, но определение истинности или ложности такого предположения пока остается интересной открытой проблемой квантовой теории информации. Квантовая информация в квантовых каналах Конечно, классическая информация — это не единственный статический ресурс, доступный в квантовой механике. Квантовые состояния сами являются естественным статическим ресурсом, даже более естественным, чем классическая информация.
Рассмотрим различные квантовые аналоги теорем Шеынона о кодировании применительно к сжатию и развертыванию квантовых состояний. Сначала ыам нужно определить квантовое понятие источника информации по аналогии с классическим определением. Как и в классическом случае, это можно сделать несколькими разными способами, но для определенности мы остановимся на предварительном варианте, считая, что квантовый источник описывается набором вероятностей ру и соответствующих квантовых состояний 1.6.
Квантовая информация 83 фд). Кюхдое обращение к источнику дает состояние ~4~1) с вероятностью р., причем разные обращения к источнику не зависят друг от друга. Можно ли сжать выходные данные такого квантовомеханического источника? Рассмотрим случай источника кубитов, который выдает состояние )0) с вероятностью р и состояние ~1) с вероятностью 1 — р. По существу, он ничем не отличается от классического источника, выдающего одиночный бит 0 с вероятностью р или 1 с вероятностью 1 — р, поэтому неудивительно, что с помощью подобных методов можно сжать источник так, что для хранения сжатой информации потребуется только Н(р, 1 — р) кубитов, где Н( ) — снова функция энтропии Шеннона.
А если источник выдает состояние ~0) с вероятностью р и состояние (~0)+~1))/~/2 с вероятностью 1 — р? Стандартные методы сжатия классических данных больше не применимы, поскольку в общем случае мы не можем различать состояния (О) и ((О)+(1))/~/2. Можно ли по-прежнему выполнять операцию сжатия какого-либо типа? Оказывается, что сжатие некоторого типа возможно даже в этом случае. Интересно, что оно может перестать быть безошибочным в том смысле, что квантовые состояния на выходе источника могут слегка искажаться процедурой сжатия-развертывания.
Тем не менее, мы требуем, чтобы это искажение становилось очень малым и, в конце концов, пренебрежимо малым при переходе к сжатию больших блоков выходных данных источника. Чтобы количественно охарактеризовать искажения, введем для алгоритма сжатия меру совпадения Щдей1у/, которое определяет среднее искажение, вносимое этим алгоритмом. Идея сжатия квантовых данных состоит в том, что сжатые данные должны восстанавливаться с очень большой точностью. Рассматривайте меру совпадения как аналог вероятности корректного выполнения развертывания— в пределе больших длин блоков она должна стремиться к 1, что означает отсутствие ошибок.
Теорема Шумахера о кодировании для канала без шума устанавливает, какое количество ресурсов требуется для сжатия квантовых данных при условии, что источник можно восстановить с точностью, близкой к 1. В случае источника, выдающего ортогональные квантовые состояния )1у ) с вероятностями рд, теорема Шумахера сводится к утверждению о том, что возможно сжатие не более, чем до классического предела Н(ру), Однако, в более общем случае неортогональных состояний, выдаваемых источником, теорема Шумахера устанавливает до какого предела их можно сжать. Оказывается, что здесь нужно использовать не шенноновскую энтропию Н(р ), а новую энтропийную величину — знгаропию фон Неймана! Энтропия фон Неймана совпадает с энтропией Шеннона тогда и только тогда, когда состояния ф.) ортогональны. В противном случае энтропия фон Неймана для источника р, ~ф ) в общем случае строго мень|ие чем энтропия Шеннона Н(р ).
Так, например, в случае источника, который выдает состояние )0) с вероятностью р и ()О)+)1))/~/2 с вероятностью 1 — р, можно надежно произвести сжатие с использованием меньшего, чем Н(р,1-р), числа кубитов в расчете на одно обращение к источнику! 84 Глава 1. Введение и общий обзор Основную причину такого уменьшения требуемых ресурсов достаточно легко понять. Предположим, что источник, выдающий состояния ]О) с вероятностью р и (]О)+]1))/~/2 с вероятностью 1 — р, используется большое число раз п.
Тогда по закону больших чисел источник с большой вероятностью выдаст примерно пр копий [О) и п(1 — р) копий ([О)+[1))/Л. Это можно записать в виде (1.60) с точностью до перестановки используемых систем. Раскроем скобки в формуле (1.60). Поскольку п(1-р) велико, можно снова использовать закон больших чисел и сделать вывод, что каждое слагаемое будет произведением, в котором примерно половина членов ]О) и половина [1). Иначе говоря, произведение множителей ]О) + ]1) можно с хорошей точностью аппроксимировать суперпозицией состояний вида ]0)п"0 "И~[1)п"0 "1~~. (1.61) Следовательно, выдаваемое источником состояние можно аппроксимировать суперпозицией членов вида ]О)®"0+"~~~[1)®"0 "~~~. (1.62) Сколько существует состояний данного вида? Грубо говоря, это число сочетаний из и по п(1+р)/2, что по формуле Стирлинга равно Н ьз 2"Щ('+ >~' 0- >~4.
Тогда простой метод сжатия будет заключаться в том, чтобы пометить все состояния вида (1.62) как ]с~)... [ся) . Над и кубитами, выданными источником, можно выполнить унитарное преобразование, которое переводит ]с1) в [Я]0)®" "н(0+">~э 0 ">~э~, поскольку у есть пН[(1+ р)/2,(1 — р)/2]-битовое число. Операция сжатия состоит в том, чтобы выполнить зто унитарное преобразование и отбросить последние и — яН[(1 + р)/2, (1-р)/2] кубитов, оставив сжатое состояние из пН[(1+ р)/2, (1-р)/2] кубитов. Для развертывания мы добавляем к сжатому состоянию состояние ]0)э" "нй~+"Уз 0 г1/з) и выполняем обратное унитарное преобразование. Эта процедура сжатия и развертывания квантовых данных требует памяти в размере Н[(1+р)/2, (1 — р) /2] кубитов на одно обращение к источнику, что при р ) 1/3 дает улучшение по сравнению с Н(р, 1 — р) кубитами, которых мы могли бы наивно ожидать согласно теореме Шеннона о кодировании для канала без шума.
Фактически, как мы увидим в гл. 12 теорема Шумахера о кодировании для канала без шума дает несколько лучшую оценку, однако такое более сильное сжатие возможно по той же причине, что и в приведенном примере: мы используем тот факт, что состояния ]О) и (]О)+]1))/~/2 неортогональны, С интуитивной точки зрения эти состояния содержат некоторую избыточность, поскольку оба имеют компоненту в направлении ]О), что приводит к большему физическому сходству, чем получалось бы для ортогональных состояний. Именно этой избыточностью мы воспользовались в только что описанном алгоритме кодирования, и она же используется в полном доказательстве теоремы Шумахера о кодировании для канала с шумом.
Заметим, что ограничение 1.6. Квантовая информация 85 р ) 1/3 возникает из-за того, что при Р < 1/3 данный алгоритм не использует избыточность состояний: в результате мы фактически приходим к увеличению избыточности! Конечно, это особенность конкретного алгоритма, который мы выбрали, и в общем решении сжатие данных достигается за счет гораздо более рационального использования избыточности. Теорема Шумахера о кодировании для канала без шума является аналогом теоремы Шеннона о кодировании для канала без шума применительно к сжатию и развертыванию квантовых состояний. Можно ли найти аналог теоремы Шеннона о кодировании для канала с шумом? Благодаря использованию теории кодов, исправляющих квантовые ошибки, в этом важном вопросе достигнут большой прогресс, но полного аналога до сих пор не найдено.
Некоторые сведения о том, что известно о пропускной способности квантового канала, приводятся в гл. 12. Квантовая различи.ность Все рассмотренные нами динамические процессы — сжатие, развертывание, шум, кодирование и декодирование с использованием кодов, исправляющих ошибки, есть как в классической, так и в квантовой теории информации. Однако введение новых типов информации, таких как квантовые состояния, расширяет класс динамических процессов за рамки тех, что рассматриваются в классической теории информации.
Хорошим примером является проблема различения квантовых состояний. Мы привыкли, что в классическом случае есть возможность различать неодинаковые элементы информации, по крайней мере, в принципе. Конечно, на практике смазанная буква «а» на странице может быть трудноотличима от буквы «о», но в принципе возможно достоверно различать два различных варианта. В квантовомеханическом случае, напротив, не всегда можно различить произвольные состояния. Например, не существует такого процесса, допускаемого квантовой механикой, который бы позволил надежно различать состояния ~0) н (~0)+(1))/42. Строгое доказательство этого факта требует инструментов, которых у нас пока нет (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
