М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Операция умножения на скаляр удовлетворяет условию г0 = 0 для любого комплексного числа ю Для удобства мы будем писать (гм..., я„), чтобы обозначить вектор-столбец с элементами зг,..., з„. 2.1. Линейная алгебра 93 В пространстве С" нулевым элементом является вектор (0,0,..., О). Вектор- ным пвдпространствам векторного пространства 1г называется такое подмно- жество Иг множества 1г, которое замкнуто относительно операций сложения и умножения на скаляр, т. е. также является векторным пространством. Обозначение Описание Число, комплексно-сопряженное с числом з; (1+ з)' = 1 — 1 Вектор (также используется название кет-вектаор) Вектор, двобственныб вектору ]ф) (также используется на- звание бра-вектор) Скалярное произведение векторов ]1о) и ]ф) Тензорное произведение векторов ]у) н ]тд) Сокращенное обозначение для тензорного произведения векторов ]го) и ф) Матрица, комплексно-сопряженная с матрицей А Матрица, получаемая из матрицы А транспонированием Матрица, эрмитово-сопряженная с матрицей А, А1 = (Ат)'" ]: ']'-]': "] Скалярное произведение векторов ]~р) и А]ф), другими сло- вами, скалярное произведение векторов Ат]ут) и ]ф ]гд) (тд! (Р! И ]у? э]д) ИФ) А" АФ (фА]ф) Рис.
2.1. Перечень основных стандартных квантовомеханических обозначений (обычно называ- езеых обозначениями Дирака) для понятий из курса линейной алгебры 2.1.1 Базисы и линейная независимость ]с)- =О ! з)гв (2.5) поскольку любой вектор (2.6) в пространстве Сз может быть записан в виде линейной комбинации ]с) = аз]с1) + аз]сз) векторов ]с1) и ]сз). Мы будем говорить, что векторы ]ст) и ]нй) порождают векторное пространство Сй. Вообще говоря, в векторном пространстве можно выбрать различные порождающие множества. Например, в пространстве С пара векторов ]н1) = ~- 1 ~ ]сз) = ~- (2.7) Пврвждакнцтсм множеством векторного пространства называют такой набор векторов ]сг), ..., ]е„), что любой вектор ]с) данного векторного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации ]н) = 2'„а;]ет) векторов из этого набора.
Например, в качестве порождающего множества векторною пространства С можно взять набор из двух векторов 94 Глава 2. Введение в квантовую механику также является порождающим множеством, поскольку произвольный вектор ~и) = (ам аз) может быть представлен в виде линейной комбинации векторов (и~) и ~из): И= ~- Ь)+ ч,— ~ з) и'2 Л (2.8) Ненулевые векторы ~и~), ..., ~и„) называются линейно зависимыми, если существует такой набор комплексных чисел а«,..., в (причем по крайней мере одно из чисел а; отлично от нуля), что а~ )и~) + аз~из) +...
+ а„(и„) = О. (2.9) Векторы называются линейно независимыми, если они ые являются линейно зависимыми. Можно показать, что в любых двух порождающих векторное пространство У наборах линейно независимых векторов содержится одинаковое число векторов. Будем называть любой такой набор йзисвм пространства У. Нас будут интересовать только квнечнамернне векторные пространства, в которых существует конечный базис. Количество элементов в базисе мы будем называть размерностью пространства У. Существует много интересных и зачастую непростых вопросов, связанных с бесконечномерными векторными пространствами, однако мы не будем их касаться.
Упражнение 2.1 (линейная зависимость). Покажите, что векторы (1, — 1), (1, 2) и (2, 1) являются лиыейыо зависимыми. А (~а;~гч)~( = ~а;А(~и;)). з / 1 (2.10) Вместо А(~и)) будем использовать обозначение А~и). Будем называть линейный оператор действующим на векторном пространстве У, если оы переводит У в У. Важным линейным оператором в пространстве У является н»ождес«ввеннмй оператор 1г, определяемый соотношением 1 ~и) ж ~е) для любого вектора ~в). Мы будем опускать индекс «У» и обозначать тождествеыымй оператор просто 1, если это не может привести к путанице.
Другим важным оператором является нулевой оаерав»ор, для которого используется символ «0». Он отображает все векторы в нулевой вектор (О~и) ж 0). Из соотыошения (2.10) легко видеть, что если знать значения линейного оператора на всех векторах базиса, то можно определить его значение для любого аргумента. Пусть У, Ж и Х вЂ” векторные пространства, А: У -«И» и В: И~ -~ Х— линейные операторы.
Будем использовать обозначение ВА для композиции операторов В и А (определение: (ВА)(~и)) ьч В(А(~и))). Напомним, что обозначение ВА)и) является сокращением для (ВА)(~и)). 2.1.2 Линейные операторы и матрицы Линейным опера«ворам, отображающим векторное пространство У в векторное пространство»У, называется линейная по своему аргумеыту функция А: У-«1У: 2.1. Линейная алгебра 95 Удобнее всего научиться работать с линейными операторами в матпричном представлении. В действительности описания на языках матриц и линейных операторов полностью эквивалентны.
Быть может, описание на языке матриц для кого-то более привычно. Чтобы осознать взаимосвязь между этими двумя описаниями, полезно сначала понять, что матрица А размера тл х п с элементами А12 является линейным оператором, соответствующим отображению из векторного пространства С" в пространство С1а: матрица А просто умножается на вектор-столбец из С". 'Гочнее говоря, утверждение, что матрица А— линейный оператор, означает справедливость равенства А ~~~ а<~с;) = ~~~ а;А)е;), (2.11) где умножение на А понимается в матричном смысле. Очевидно, что это равенство выполняется тождественно.
Мы только что убедились, что матрицы можно рассматривать как линейные операторы. Можно ли записать линейные операторы в матричном представлении? Оказывается, можно — и сейчас мы объясним, как это делается. Эта эквивалентность двух подходов оправдывает повторяющееся на протяжении всей книги смешивание терминрв из теории матриц и теории линейных операторов. Пусть А: У -+ И' — линейное отображение из пространства У в пространство И', )е1),..., ~и~) — базис в У, а ~ю1),..., )и„) — базис в В'.
Тогда для любого у из диапазона 1,..., гл существуют такие комплексные числа А11~ Аэу, что А~с~) = ~~~ А1)ил). (2.12) Говорят, что матрица с элементами Ап задает матпричное предстиавленпе оператора А. Матричное представление полностью эквивалентно оператору А, и мы будем на равных использовать матричное представление и подход с точки зрения абстрактных операторов. Однако обратите внимание: чтобы установить связь между матрицами и линейными операторами, следует задать базисы в пРостранствах У и И~. Упражнение 2.2 (матричные представления). Пусть У вЂ” векторное пространство с базисными векторами ~0) и ~1), А — такое линейное отображение из У в У, что А)0) = ~1), А)1) = ~0).
Запишите матричное представление оператора А, используя базис ~0), (1) в пространстве аргументов н базис )О), (1) в пространстве значений. Придумайте базисы, которые приведут к другому матричному представлению оператора А. Упражнение 2.3 (матричное представление произведения операторов). Пусть А — линейный оператор, отображающий векторное пространство У в векторное пространство Ж,  — линейный оператор, отображающий Ю в векторное пространство Х; ~ст), ~ыу) и ~хь) — соответственно базисы в пространствах У, И' и Х. Покажите, что матричное представление линейного отображения ВА представляет собой произведение матриц, отвечающих матричным представлениям отображений А и В, записанных в соответствующих базисах. 96 Глава 2.
Введение в квантовую механику 'Упражнение 2.4 (матричиое представление для тождественного преобразования). Покажите, что матричное представление тождественного оператора в векторном пространстве У имеет вид матрицьс, в которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы — нули (предполагается, что для аргумента и значения оператора используется один и тот же базис). Такая матрица называется единичной.
2.1.3 Матрицы Паули Мы будем часто использовать четыре лсатриссы Паули. Это матрицы размера 2 х 2, которые имеют разные обозначения. Матрицы Паули и используемые для них обозначения представлены на рис. 2.2. Указанные матрицы настолько полезны в теории квантовых вычислений и квантовой информации, что мы настоятельно рекомендуем вам запомнить нх, обратив особое внимание на приведенные ниже задачи и упражнения, где они используются.
стс и сг . ьз Х и '1 с О сг2 — = сту — = 1 вз = ст, = 3 = Рис. 2.2. Матрицы Паули Иногда матрицами Паули называют только Х, 'г и Я, опуская мат- рицу 1. 1. функция (, ) линейна по второму аргументу, т. е. < ! ),~Л,) с) ~ =~Лс() ),);)); с 1 С (2.13) 2.1.4 Скалярное произведение Скалярное произведение является функцией, отображающей множество пар векторов во множество комплексных чисел. Сейчас нам будет удобно записывать скалярное произведение векторов )р) и )са) как ()р), )са)).
Это обозначение не является стандартным для квантовой механики; в педагогических целях обозначение будет изредка использоваться в этой главе. Стандартное квантовомеханическое обозначение для скалярного произведения (~и), ~(а)) выглядит как (е1са), где ~с) и ~са) — векторы в исходном пространстве со скалярным произведением, а через (е~ обозначен вектиор, двапственнма вектору ~с).
Это — линейный функционал (линейное отображение) из пространства У во множество комплексных чисел С, определенный соотношением (с(((са)) = — (рссв) = (!р), ~тр)). Вскоре мы увидим, что в матричном представлении двойственному вектору соответствует вектор-строка. Функция (, ) из У х У в С является скалярным произведением, если она удовлетворяет следующим условиям: 2.1. Линейная алгебра 97 3. ()и), )с)) > О, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда )е) = О.
Например, в пространстве С" скалярное произведение можно определить сле- дующим образом: (2.14) Векторное пространство с заданным на нем скалярным произведением называется пространствам со скалярным произведением (либо унитарным или эрмвтовым пространством) . Упражнение 2.5. Проверьте, что определенная выше функция (, ) является скалярным произведением в пространстве С". Упражнение 2.6. Покажите, что скалярное произведение (, ) всегда анти- линейно по первому аргументу: (2.1б) В работах по квантовой механике постоянно встречается понятие гильбертова пространства В конечномерных комплексных векторных пространствах (с которыми мы только и будем иметь дело) гильбертово пространство — то же самое, что и пространство со скалярным произведением.
Далее мы будем считать эти термины равнозначными, отдавая предпочтения термину «гильбертово пространством В случае бесконечной размерности гильбертовы пространства удовлвгворяют дополнительным условиям, кроме тех, которым удовлепюряют пространства со скалярным произведением, но эти подробности нам не нужны. Векторы ~«а) и )с) называют ортогональнмми, если их скалярное произведение равно нулю. Например, векторы )и) ы (1, О) и )и) ю (О, 1) ортогональны в смысле скалярного произведения, определенного соотношением (2.14). Определим норму вектора )и) сле,эующим образом: !Йи)1! = — ~/( 1и) (2.16) Вектор )и) называют единичным векторам, если ))(и))! = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
