М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Еще одним примером элементарного класса статических ресурсов является состояние Белла, разделенное между двумя удаленными друг от друга сторонами. 2. Определение элементарных классов динамических процессов в квантовой механике.
Простой пример — запоминание, т. е. способность сохранять квантовое состояние на протяжении некоторого периода времени. Менее тривиальными процессами являются передача квантовой информации между двумя сторонами — Алисой и Бобом; копирование (или попытка копирования) квантового состояния, а также защита обрабатываемой квантовой информации от влияния шума. 3. Определение затрат ресурсов на реапнзацню элементарных динамических процессов. Например, какие минимальные ресурсы требуются для надежной передачи квантовой информации между двумя сторонами при использовании канава связи с шумом? Подобные задачи ставятся и в классической теории информации; однако квантовая теория информации шире классической, поскольку она включает в себя все статические и динамические элементы классической теории, а также дополнительные статические и динамические элементы.
Далее в этом разделе рассматриваются некоторые вопросы, изучаемые в квантовой теории информации. В каждом случае укэзываютея фундаментальные статические и динамические элементы, а также требования к ресурсам. Мы начнем с примера, который покажется очень знакомым специалистам по классической теории информации: проблемы передачи классической информации по квантовому каналу. Затем мы приступим к изучению новых статических 80 Глава 1. Введение и общий обзор и динамических процессов квантовой механики, таких как исправление квантовых ошибок, различение квантовых состояний и преобразование запутанности. Глава завершается некоторыми размышлениями о првменеыии инструментов квантовой теории информации в области квантовых вычислений и квантовой информации.
1.6.1 Квантовая теория информации: примеры задач Классическая информация в квантовых каналах Фундамеытальыыми результатами классической теории информации являются теорема о кодировании длл канала бев шума и теорема о кодировании длл канала с шумом, доказанные Шенноиом. Теорема о кодировании для канала без шума устанавливает, сколько битов требуется для хранения информации, выдаваемой источником информации, а теорема о кодировании для канала с шумом устанавливает, какое количество информации можно надежно передать по каналу связи в присутствии помех.
Что мы понимаем под источникам информации? Определеыие этого понятия является фундамеытальной проблемой классической и квантовой теорий информации, к которой мы будем неоднократно возвращаться. Пока что дадим такое предварительное определение: источник классической иыформации описывается набором вероятностей ру,у = 1, 2,..., д.
Каждое обращение к источнику приводит к выдаче «буквы» у, выбираемой случайным образом с вероятностью ру независимо от предыдущих обращений к источнику. Например, если источник представляет собой английский текст, то числа у могут соответствовать буквам алфавита и знакам препинания, а вероятности ру— давать относительные частоты, с которыми различные буквы встречаются в обычном английском тексте. Хотя на свмом деле в английском языке буквы не встречаются независимо, для наших целей это будет достаточно хорошим приближением.
Обычный английский текст в значительной степени избыточен, и этой избыточностью можно воспользоваться для сжатия текста. Например, буква «е» встречается в обычном английском тексте гораздо чаще буквы «г». Следовательно, в хорошем алгоритме сжатия английского текста для представления буквы «е» будет использоваться меньше битов информации, чем для представления буквы «г». Теорема Шеннона о кодировании для канала без шума определяет, насколько хорошо можно заставить работать такой алгоритм сжатия. Точыее говоря, эта теорема утверждает следующее: классический источник, описываемый вероятностями ру, может быть сжат так, что результат каждого обращения к источнику можно представить в среднем при помощи Н1р~) битов информации, где Н~р;) и — ~;~ ру 1офру) есть функция распределения вероятностей источника, называемая энтропией Шеннона.
Более того, теорема о кодировании для канала без шума устанавливает, что попытка представить источыик при помощи меньшего числа битов приведет к большой вероятно- 1.6. Квантовая информация 81 сти ошибки при развертывании текста. (В гл. 12 эта теорема рассматривается намного подробнее.) Теорема Шеннона о кодировании для канала без шума служит хорошим примером одновременного достижения всех перечисленных выше целей, стоящих перед теорией информации. Определены два статических ресурса (цель номер 1): бит и источник информации. Определен двухэтапный динамический процесс (цель 2) — сжатие данных от источника информации и после,пующее их развертывание для восстановления информации.
Наконец, найден количественный критерий для определения ресурсов (цель 3), потребляемых оптимальным алгоритмом сжатия данных. Второй значительный результат Шеннона — теорема о кодировании информацян для канала с шумом — устанавливает, какое количество информации может быть надежно передано по каналу в присутствии помех. Предположим, в частности, что мы хотим передать информацию, выдаваемую некоторым источником, в другое место по каналу с шумом, которое может находиться в другой точке пространства нли времени — в последнем случае речь идет о хранении информации в присутствии шума.
В обоих случаях идея состоит в том, чтобы закодировать выдаваемую информацию при помощи кодов, исправляющих ошибки, так, чтобы любой шум, внесенный каналом, можно было устранить на другом конце этого канала. В кодах, исправляющих ошибки, это достигается за счет введения в посылаемую по каналу информацию избыточности, достаточной для того, чтобы даже после искажения некоторой части информации можно было восстановить исходное сообщение. Предположим, например, что по каналу с шумом передаются одиночные биты, а шум в канале таков, что для достижения надежной передачи каждый бит, выдаваемый источником, необходимо перед пересылкой по каналу кодировать двумя битами. Говорят, что такой канал имеет пропдскн1по способностпь в половину бита, поскольку каждое обращение к каналу можно использовать для надежной доставки примерно половины бита информации. Шенноновская теорема о кодировании для канала с шумом дает общую процедуру для вычисления пропускной способности произвольного канала с шумом.
В теореме Шеннона о кодировании для канала с шумом также достигаются все трн стоящие перед теорией информации цели, о которых говорилось вьппе. Используются два типа статических ресурсов (цель 1) — источник информации и биты, пересылаемые по каналу, и три динамических процесса (пель 2). Основной процесс — это шум в канале. Чтобы уменьшить шум, мы выполняем дополняющие друг друга процедуры кодирования и декодирования состояния, применяя код, исправляющий ошибки.
Для заданной модели шума теорема Шеннона устанавливает, какую избыточность должна внести оптимальная схема исправления ошибок, чтобы достичь надежной передачи информации (цель 3). В обеих теоремах о кодировании Шеннон ограничился хранением выходных данных источника информации в классических системах — битах и им подобных. В квантовой теории информации встает естественный вопрос — что произойдет, если изменить среду хранения так, чтобы классическая информа- 82 Глава 1. Введение и общий обзор ция передавалась при помощи квантовых состояний.
Например, Алиса может захотеть сжать некоторую классическую информацию, выдаваемую источником, и передать сжатую информацию Бобу, который затем рвзвернет ее. Если в качестве среды хранения сжатой информации используется квантовое состояние, то теорема Шеннона о кодировании для кзлала без шума непримеыима для определения оптимального алгоритма сжатия и развертывания.
Например, интересно узнать, позволяет ли использование кубитов получить лучшее сжатие, чем в классическом случае. В гл. 12 мы разберем этот вопрос и докажем, что на самом деле кубиты не обеспечивают никакого существенного выигрыша в объеме данных, требуемых для передачи информации по каналу без шума. Естественно, что следующим шагом является исследование проблемы передачи классической информации по квантовому каналу с шумом. В идеа ле нам нужен результат, который позволял бы определять пропускную саособность такого канала применительно к передаче информации. Вычисление пропускной способности — это очень хитроумная работа по нескольким причинам. Квантовая механика, используя непрерывное пространство, дает нам огромное разнообразие моделей шума, и совсем не очевидно, как приспособить классические методы исправления ошибок для борьбы с этим шумом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
