М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Формула (1.52) выглядит не слишком квантовомеханической в том виде, как мы ее записали. Предположим, однако, что мы определяем линейное преобразование У над и кубитами по тому действию, которое оно оказывает на состояния вычислительного базиса (Я, где 0 < .г ( 2"-1: 1.4. Квантовые алгоритмы 63 Можно проверить, что зто преобразование является унитарным, и оно вполне может быть реализовано квантовой схемой. Более того, если мы запишем его действие на суперпозиции, 2"-1 1 2 -1 х1(Я -+ — х~1 1=О ч а=О 2 -1 2 -1 егщгг/2 х Е ° *1 1=О ()г) = ~ дь~й), (1.54) то увидим, что это соответствует преобразованию Фурье (1.52) в векторной форме для случая 1"1' = 2".
Насколько быстро можно выполнять преобразование Фурье? Классическое быстрое преобразование Фурье требует порядка Ф 1ой(Ж) = п2" шагов для преобразования М = 2" чисел. На квантовом компьютере преобразование Фурье можно выполнить примерно за 1оя(М)" = п2 шагов — экспоненциальный выигрыш! Квантовая схема, которая это делает, рассматривается в гл. 5. Этот результат, казалось бы, говорит о том, что квантовые компьютеры могут использоваться для очень быстрого выполнения преобразования Фурье над вектором с 2" комплексными компонентами, что было бы фантастически полезно в широком спектре приложений. Однако это не совсем так; преобразование Фурье выполняется над информацией, «скрытой» в амплитудах квантового состояния. Эта информация недоступна для прямого измерения.
Разумеется, препятствием служит то, что измерение выходного состояния вызывает коллапс каждого кубита в состояние ~0) или ~1), не позволяя нам непосредственно узнать результат преобразования уь. Этот пример демонстрирует главную сложность разработки квантового алгоритма. С одной стороны, мы можем выполнять определенные вычисления над 2" амплитудами, ассоциированными с п кубитами, гораздо более эффективно, чем это возможно на классическом компьютере, но, с другой стороны, результаты такого вычисления недоступны. Чтобы проявилась эффективность квантовых вычислений, требуется более искусяый подход.
К счастью, существует возможность использовать квантовое преобразование Фурье для эффективного решения ряда задач, которые, как считается, не имеют эффективного решения на классическом компьютере. К таким задачам относятся задача Дойча н задачи Шора вычисления дискретного логарифма н факторизации. Поиски в этом направлении привели к открытию Китаевым метода решения задачи об абелееом стабилизаторе, а также к обобщению задачи о сарьавод подгруппе (см. ниже).
Пусть | — такая функция из конечно порожденной группы С в конечное множеспю Х, что ее значения постоянны на смежных классах по подгруппе К и различны для любой пары смежных классов. Используя квантовый черный ящик для выполнения унитарного преобразования Цд) ~Ь) = ~д))Ь 9 у(д)), где д Е С, 11 б Х, а Ю есть выбранная подходящим образом двоичная операция над Х, найти множество образующих для К. Алгоритм Дойча-йожа, алгоритмы Шора, а также родственные им «экспоненциально быстрые» квантовые алгоритмы решают частные случаи этой задачи. Квантовое преобразование Фурье и его применения описаны в гл. 5.
64 Глава 1. Введение и общий обзор Квантовые алгоритмы поиска Представителем совершенно другого класса алгоритмов является квантовый алгоритм поиска, базовые принципы которого были сформулированы Гровером. Квантовый алгоритм поиска решает следующую задачу: при заданном пространстве поиска размера Г«' и ые известной заранее структуре содержа щейся в ыем информации найти элемент этого пространства, удовлетворяющий известному критерию. Сколько времени займет поиск элемента, удовлетворяющего этому критерию? В классическом случае такая задача требует приблизительно Ф операций, ио кваитовый алгоритм поиска позволяет решить ее с использованием приблизительно ~/Л операций.
Квантовый алгоритм поиска обеспечивает только квадратичное ускорение в отличие от более впечатляющего экспоыеыциальыого ускорения, обеспечиваемого алгоритмами ыа основе квантового преобразования Фурье. Однако квантовый алгоритм поиска все равно представляет значительный интерес, поскольку основанные ыа поиске методы перебора в отличие от квантового преобразования Фурье могут применяться к очень широкому кругу задач. Квантовый алгоритм поиска и его применения описаны в гл.
6. Квантовое моделирование Моделирование встречающихся в природе кваытовомехаыических систем со всей очевидностью претендует ыа роль задачи, в решении которой могут, преуспеть кваытовые компьютеры и которая считается трудной для классического компьютера. Трудности при моделировании квантовых систем общего вида ыа классических компьютерах обусловлены той же причиной, что и при моделировании квантовых компьютеров — количество комплексных чисел, необходимых для описания квантовой системы, в общем случае растет с увеличением размера системы экспоиекциальио, а ые лииейыо, как для классических систем.
В общем случае хранение квантового состояния системы с и различиыми компонентами ыа классическом компьютере требует порядка с" битов памяти, где с — коыстаыта, зависящая от устройства моделируемой системы и желаемой точности моделирования. Квантовый компьютер, напротив, может выполнять моделирование с использованием кп кубитов, где к, как и прежде, константа, зависящая от устройства моделируемой системы. Это позволяет кваытовым компьютерам эффективно моделировать кваытовомехаыические системы, которые, как считается, нельзя эффективно смоделировать иа классическом компьютере.
Однако здесь необходима существенная оговорка: хотя квантовый компьютер может моделировать многие квантовые системы гораздо эффективнее классического, это ые означает, что быстрое моделирование позволит получать желаемую информацию о квантовой системе. При измерении кп-кубитовая модель сколлапсирует в определеыыое состояние, дав только кп битов информации; с" битов «скрытой иыформации», присутствующей в волновой функции, ые доступыы в полыом обьеме. Таким образом, ключом к практическому применению квантового моделирования является разработка методов, посредством которых можно эффективно извлекать желаемые ответы; как это делать — понятно лишь отчасти. 1.4. Квантовые алгоритмы 65 Несмотря на эту оговорку, квантовое моделирование с большой вероятностью станет важным применением квантовых компьютеров.
Моделирование квантовых систем — это важная проблема во многих областях, особенно в квантовой химии, где вычислительные ограничения, налагаемые классическими компьютерами, затрудняют точное моделирование молекул даже среднего размера, не говоря уже об очень больших молекулах, встречающихся во многих важных биологических системах. Реализация более быстрого и точного моделирования таких систем может решающим образом повлиять на прогресс в друтвх областях, где важны квантовые явления. Возможно, что в будущем мы откроем физическое явление Природы, которое нельзя эффективно моделировать на квантовом компьютере. И это будет совсем не плохо, а даже замечательно! Как минимум, это заставит нас расширить свои вычислительные модели для охвата нового явления и сделать нх более мощными, чем существующая модель квантовых вычислений.
Вполне вероятно также, что с любым таким явлением будут связаны новые и очень интересные физические эффекты! Квантовое моделирование можно применять и как общий метод изучения других квантовых алгоритмов; например, в равд. 6.2 мы объясним, что квантовый алгоритм поиска можно рассматривать как решение проблемы квантового моделирования. При таком подходе к проблеме становится намного легче понять происхождение квантового алгоритма поиска. Наконец, квантовое моделирование позволяет вывести интересное и оптвмистичное вквантовое следствие» из закона Мура.
Вспомним: закон Мура утверждает, что производительность классических компьютеров, обеспечиваемая за одну и ту же цену, будет удваиваться примерно каждые два года. Предюложим, однако, что мы моделируем на классическом компьютере квантовую систему, и хотим добавить к ней одиночный кубит (или более крупную систему). Это как минимум удваивает объем памяти, требуемой классическому компьютеру, чтобы хранить описание состояния квантовой системы, и в такой же (или большей) степени повышает затраты времени на моделирование ее динамики. Из данного наблюдения и вьпекает квантовое следствие закона Мура, утверждающее, что квантовые компьютеры будут развиваться наравне с классическими, если к квантовому компьютеру каждые два года добавлять один кубит.
Этот вывод не следует воспринимать слишком серьезно, поскольку до сих пор не ясно, какова истинная природа превосходства квантовых вычислений над классическими (если такое превосходство вообще имеет место), Тем не менее, это эвристическое утверждение помогает понять, почему нам следует интересоваться квантовыми компьютерами, и мы надеемся, что однажды ови смогут превзойти наиболее мощные классические компьютеры, по крайней мере, для некоторых приложений.
Эд»фективность квантовых вычислений Насколько эффективны квантовые компьютеры? Что придает им эту эффектнвность? Пока никто не знает ответов на эти вопросы, несмотря на наличие таких примеров, как факторизация, дающих серьезные основания полагать, что 66 Глава 1. Введение и общий обзор квантовые компьютеры обладают большей производительностью, чем классические. Может оказаться, что квантовые компьютеры не эффективнее классических в том смысле, что любая задача, которая может быть эффективно решена на квантовом компьютере, может быть эффективно решена и на классическом компьютере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
