М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Два важных квантовых элемента, которые мы будем использовать далее †э элемент 2 (1.13) 0 — 1 оставляющий )О) без изменений и переводящий )1) в -(1), и элемент Адамара (1.14) Элемент Адамара иногда характеризуют как своего рода «корень квадратный из НОТ», поскольку он переводит состояние (О) в ()О) + (1))/~/2 (первый столбец Н), оставляя на «полпути» между )О) и (1), а состояние (1) в ((О) — )1))/~(2 1.3.
Квантовые вычисления 41 (второй столбец Н), что также находится на еполпути» между (О) и )1). Заметим, однако, что Н не является элементом НОТ, поскольку из простых алгебраических соображений следует, что Н2 = Х, и следовательно, двукратное применение Н к любому состоянию никак его не меняет. Элемент Адамара является одним из самых полезных квантовых элементов, поэтому стоит попытаться наглядно представить его работу, обратившись к сфере Блоха. Оказывается, что здесь действия однокубитовых элементов соответствуют вращениям сферы. Операция Адамара — это вращение сферы вокруг оси у на 90' с последующим вращением относительно оси х — р на угол 180е, как показано на рис.
1.4. На рис. 1.5 показаны некоторые важные однокубитовые элементы в сравнении с классическим случаем. (О) Рис. 1д. Наглядное представление элемента Адамара, действующего на входное состояние ()0)+ )1))/тГ2, лри ломощи сферы Блоха сг)0>+Ю))> Х В)0>+сг!1> )0>+ ВП> г (0> - В(1> ма> в ~ о — ( и ') — — . Нйн а ~ф г -'(,ю- у Рис. 1.5. Однобитовый (слева) и однокубитовые (сираев) логические элементы Существует бесконечно много унитарных матриц размера 2 х 2, а, следовательно, бесконечно много однокубитовых элементов. Но оказывается, что для понимания свойств всего этого множества достаточно знать свойства намного меныпего множества. Например (см.
вставку 1.1), произвольный однокубитовый унитарный элемент можно разложить на произведение вращений, описываемых матрицами вида ! СОЭ 2 — ЕШ в1п зз сов зз (1.15) 42 Глава 1. Введение и общий обзор и элемента, описываемого матрицей (1.16) который, как мы поймем позже, представляет собой вращение вокруг оси г, в сочетании с (общим) фавовэьн сдвигом — постоянным множителем вида е"'. Эти элементы можно разлагать дальше — нет необходимости строить элементы с произвольными сг, 13 и ч, достаточно построить сколь угодно точное приближение к таким элементам, используя лишь несколько элементов со специальными фиксированными значениями сг,,б и 7. В этом случае можно построить произвольный однокубитовый элемент, используя конечный набор квантовых элементов.
Справедливо и более общее утверждение: произвольное квантовое вычисление над любым количеством кубитов можно осуществить при помощи конечного универсального набора элементов. Для получения такого набора элементов мы должны в первую очередь ввести некоторые квантовые элементы, оперирующие с несколькими кубитами. Вставка 1.1. Разложения одиокубитовых операций В равд. 4.2 доказывается, что произвольная унитарная матрица 2 х 2 может быть представлена в виде разложения О ег г~г а1п * соэ Хг О егг(г где сс, 13, П и б — действительные числа. Заметьте, что вторая матрица представляет обычное вращение. Первая и последняя матрицы также описывают вращения, но в другой плоскости.
Это разложение можно использовать для точного описания произвольного однокубитового квантового логического элемента. 1.3.2 Многокубитовые элементы Теперь проведем обобщение на случай нескольких кубитов. На рис. 1.6 показаны пять классических логических элементов, заслуживающих внимания: АХП (И), ОК (ИЛИ), ХОК (исключающее ИЛИ), НАНО (НЕ-И) и НОВ (НЕ-ИЛИ). Существует важный теоретический результат, который заключается в том, что любая функция от битов может быть вычислена путем комбинирования одних лишь элементов г1А11П.г По этой причине данный элемент называется унивгрсааьнмм.
В отличие от него элемент ХОК (даже в комбинации с НОТ) не универсален. Простейшим элементом на нескольких кубитах является элемент СКОТ (сопсго1!ед-НОТ). Он имеет два входных кубита — управляющий (сопггоЦ и управляемый (гагдег), соответственно. Условное обозначение Сг1ОТ показано г Предполагается иазмажиасть капираигиия бита. — Прим. рсд. 1.3. Квантовые вычисления 43 нв рис. 1.6 справа вверху.
Верхняя линия представляет управляющий, а нижняя — управляемый кубит. Функционирование этого элемента мо)кно описвть следующим образом. Если управляющий кубит установлен в О, то управляемый кубит не меняется. Если управляющий кубит установлен в 1, то значение управляемого кубита меняется. Формальная запись: (1 18) )00) — г )00), )01) -+ !01), )10) -+ )11), !11) -+ !00), а а дно ь скот !А) ~А) !В) )ВЮА) ф ) — аоаЬ (а) (а) Ь а а нано Ь (6 ь-~ )з — лн'аь ига = ~ Рис. 1.6. Слева покаэаны некоторые стандартные одно- и многобитоаые логические элементы, а спрааа — простейший элемент на нескольких кубитах, СМОТ. Его матричное представление Уои эаписано дпя амплитуд )00), )01), )10) и (11), расположенных именно а таком порядке.
Еще один способ описать действие С)ь(ОТ вЂ” это дать его матричное представление, квк покэзвно нв рис. 1.6 справа внизу. Вы можете легко убедиться, что первый столбец Уггэг описывает преобразование, происходящее с )00), и выполнить такие же проверки для других состояний вычислительного базиса, )01), )10) и )11). Квк и в случае одного кубитз, требование сохранения вероятности выражено тем фактом, что Угтлг является днитаармо(( матрицеб, т. е.
УО1уУС1у = г Мы отметили, что С)ь)ОТ можно рассматривать квк разновидность обобщенного элемента ХО1(. Допускают ли другие классические логические элементы, такие кзк МА?хЭ и обычный ХОЕ, унитарную трактовку подобно тому, квк кввнтовый элемент НОТ представляет классический элемент г)ОТ? Оказывается, нет. Причина в том, что элементы ХОВ и )ь)А)ь)1) принципиально нсобрашплааь Например, по выходному значению А ® В элемента ХОЕ невозможно С)ь)ОТ можно описать другим способом, и именно кэк обобщение классического элемента ХОВ, поскольку его действие можно представить как ~А, В) -+ )А, В 9 А), где Ю обозначает сложение по модулю двэ — это то, что делает элемент ХОН.
Иначе говоря, управляющий и управляемый кубиты складываются по модулю два и результат сохраняется в управляемом кубите. 44 Глава 1. Введение и общий обзор определить, каковы были входные значения А и В; происходит безвозвратная пс«веря информации, обусловленная необратимым действием элемента ХОН. Унитарные квантовые элементы всегда обратимы (по 'той причине, что обращение унитарной матрицы снова дает унитарную матрицу), и, следовательно, результат действия квантового элемента всегда может быть инвертирован другим квантовым элементом.
Понимание того, как выполнять классические вычисления при условии обратимости станет решающим шагом в понимании того, как использовать возможности квантовой механики для вычислений. Мы объясаим основную идею обратимых вычислений в подразд.
1.4.1. Конечно, кроме элемента Сг1ОТ существует много других интересных квантовых элементов. Однако Сг1ОТ и однокубитовые элементы являются в некотором смысле прототипами всех остальных элементов в силу замечательной теоремы полноты: любой многокубитовый логический элемент моэюет быть составлен иэ СКОТ и однокубитовых элементов. Доказательство этого результата, являющегося квантовым аналогом утверждения об универсальности элемента 61АХЭ, приведено в равд. 4.5. 1.3.3 Измерения в базисах, отличных от вычислительного Мы описали квантовое измерение одного кубита в состоянии о~О) + Д1) как получение результата 0 или 1 с переходом кубита в состояние ~0) (с вероятностью (о(~) или (1) (с вероятностью ф~) соответственно. На самом деле класс возможных измерений в квантовой механике несколько шире, хотя, конечно, речь совсем не идет о том, чтобы восстанавливать о и ~3 по одному измерению.
Заметим, что состояния (0) и )1) представляют собой лишь один из многих возможных наборов базисных состояний кубита. Другим возможным вариантом является набор (+) ш ()О) + )1))/~/2 и ( — ) ш ()0)-)1))/~/2. Произвольное состояние )ф) = о)0) + Д1) можно выразить через состояния )+) и ( — ): Оказывается, что состояния ~+) и ~ — ) можно рассматривать так, как если бы они были состояниями вычислительного базиса, и выполнять измерения относительно этого нового базиса. Естественно, что измерение относительно базиса 1+), (-) дает результат «+» с вероятностью )о+ Дг/2 и результат «-» с вероятностью )о — ~3)г/2.
Состояниями после измерения будут )+) и ! — ) соответственно. В более общем случае произвольное состояние кубита можно выразить в виде линейной комбинации о(а) + Щ любых базисных состояний (а) и (6). Более того, если состояния ортонормированы, то можно выполнять измерения относительно базиса )а), (6), получая результат а с вероятностью )о)~ н результат 6 с вероятностью ф~. Ограничение ортонормированности необходимо для того, чтобы (о)г+ )Дг = 1, как зто и ожидается для вероятностей. В принципе, аналогичным образом можно проводить измерения над квантовой системой из нескольких кубитов относительно произвольного ортонормированного базиса.
1.3. Квантовые вычисления 45 Однако наличие принципиальной возможности не означает, что такое измерение молаю легко осуществлять, и позже мы вернемся к вопросу о том, как эффективно проводить измерения в произвольном базисе. Есть много причин для использования этого расширенного формализма квантовых измерений, но в конечном счете главной из них является следующая: этот формализм позволяет нам описывать наблюдаемые экспериментальные результаты, как мы увидим при обсуждении эксперимента ШтернаГерлэха в подразд. 1.3.1. Еще более сложный и удобный (но по существу эквивалентный) формализм для описания квантовых измерений рассматривается в следующей главе, в подразд.
2.2.3. 1.3.4 Квантовые схемы Мы уже встречались с несколькими простыми квантовыми схемами. Рассмотрим элементы квантовых схем немного подробнее. На рис. 1.7 показана простая квантовая схема, содержащая три квантовых элемента. Схему следует читать слева направо. Каждая линия на схеме представляет провод квантовой схемы.
Этот провод не обязательно соответствует физическому проводу; он может соответствовать течению времени или физической частице (например, фотону — настице света), перемещающейся в пространстве из одного места в 1пуугое. 'Градиционно предполагается, что входным состоянием схемы является одно из состояний вычислительного базиса, обычно состоящее из всех ~0). В литературе по квантовым вычислениям и квантовой информации это правило часто нарушается, однако считается хорошим тоном информировать об этом читателя. Схема на рис.
1.7 выполняет простую, но полезную задачу — обменивает состояния двух кубитов. Чтобы понять, как она это делает, обратите внимание, что данная последовательность элементов меняет состояние вычислительного базиса )а, Ь) следующим образом: )а,Ь) — ~ )а,оЭЬ) — + )а Ю (а ев Ь), а 9 Ь) = /Ь, а ет Ь) -+ )Ь, (а ® Ь) щ Ь) = )Ь, а), (1.20) где все суммирования выполняются по модулю 2. Таким образом, результатом действия схемы является обмен состояний двух кубитов. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
