М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Например, если измерение ~+) дает О, то после измерения кубит останется в состоянии ~0). Почему происходит этот коллапс — никто не знает. Кэк обсуждается в гл. 2, такое поведение является просто одним из фондах«екталь««ест пос«лула«лое квантовой механики. Для наших целей важно то, что одно измерение дает только одни бит информации о состоянии кубитв, разрешая тем самым кажущийся парадокс. Определить же коэффициенты а и ~9 для состояния кубитв, заданного формулой (1.1), можно только путем измерения бесконечного множества одинаково приготовленных кубитов. Еще более интересным может быть следующий вопрос: сколько информа- ции представляет кубит, если мм не пэл«ерлем его? Ответить на него не тэк 1.2. Квантовые биты 37 просто, поскольку нельзя определить количество информации, не выполняя соответствующего измерения.
Тем не менее, здесь есть принципнальыо важный момент. Когда Природа реализует эволюцию замкнутой квантовой системы, не выполняя никаких «измерений», она, по-видимому, следит за всеми непрерывными переменными, описывающими состояние (такими, как а и В). Можно сказать, что в состоянии кубита Природа прячег массу скрытой информации. Еще более интересно то, что потенциальный объем этой дополнительной информации, как мы скоро увидим, экспоненциально растет с увеличением числа кубитов.
Понимание этой скрытой квантовой информации является той задачей, которую мы пытаемся решать на протяжении значительной части книги; зто ключевой момент в вопросе о том, что же именно делает квантовую механику столь эффективным инструментом обработки информации. 1.2.1 Несколько кубитон В гильбертоеом пространстве много место. Карлтоы Кэйвз 1ф) = аео!00) + ась!01) + аю!10) + ан!11) (1.5) Подобно случаю одиночного кубита, результат измерения х (= 00, 01, 10 или 11) встречается с вероятностью )а«~з и после измерения кубиты остаются в состоянии ~х).
Требоваыие, чтобы сумма вероятностей равнялась единице, выражается условием нормировки ~ е(о 0» (а )~ = 1, где «[О, 1]» обозначает мно- 2 жество строк из двух символов, где каждый символ является либо нулем, либо единицей. Для системы двух кубитов мы могли бы измерять только подмножество кубитов, скажем, первый кубит. Возможно, вы догадались, кек это работает: при измерении только первого кубита получается 0 с вероятностью )аоо( + )аед(, а система переходит в состояние аоо)00) + аег ~01) ;%»Р.~ Й,Р (1.6) Обратите внимание, что состояние после измерения перенормировоно на ко«» °,~Г~Р~-1~ Р, у -«ьн~ ° ж унормировки, как и следует ожидать для допустимого квантового состояния.
Предположим, что у нас есть два кубита. Будь это классические биты, для них существовало бы четыре возможных состояния: 00, 01, 10 и 11. Подобно этому, система двух кубитов имеет четыре состояния вычислительного базиса, обозначаемых как )00), )01), )10) н )11).
Пара кубитов также может находиться в суперпозициях этих четырех состояний, поэтому для описания кваытового состояния такой системы требуется сопоставить каждому состоянию вычислительного базиса комплексный коэффициент, иногда называемый амплитудой. В итоге вектор состояния, описывающий два кубнта, имеет вид 38 Глава 1. Введение и общий обзор Важным частным случаем состояния двух кубитов является состояние Велла, или ЭПР-пара, (00) + ~11) ~Гг Это безобидное на первый взгляд состояние ответственно за мыогие сюрпризы в области квантовых вычислений и квантовой информации. Оно играет ключевую роль в квантовой телепортации и сверхплотном кодировании, которые обсуждаются в подразд.
1.3.7 и разд. 2.3 соответственно, и является прототипом многих других интересных квантовых состояний. Для состояния Белла характерно то, что при измерении первого кубита возможны даа результата: 0 с вероятностью 1/2 и конечным состоянием )у') = ~00), и 1 с вероятностью 1/2 и конечным состоянием ~у') = ~11). Как следствие, измерение второго кубита всегда дает тот же результат, что и измерение первого кубита, т.
е. данные измерений оказываются коррелированними. Над состоянием Белла можно выполнять измерения и других типов, применяя сначала некоторые операции к первому или второму кубнту, и эта любопытная корреляция между результатами измерения первого и второго кубитов по-прежнему будет существовать. Эти корреляции вызывают большой интерес с момента появления известной работы Эйнштейна, Подольского и Розена (ЭПР), в которой было впервые указано на странные свойства состояний наподобие белловского.
Идеи ЭПР были подхвачены и значительно развиты Джоном Беллом, доказавшим потрясающий факт: корреляпяя измерений в состояыии Белла сильнее любой корреляции, которал может существовать между какими-либо классическими системами. Эти результаты, подробно описанные в разд. 2.6, были первым указанием на то, что квантовая механика позволяет обрабатывать информацию принципиально иначе, чем в классическом мире.
В более общем случае мы можем рассмотреть систему из и кубитов. Состояния вычислительного базиса этой системы имеют вид ~х1хэ...х„), а ее квантовое состояние характеризуется 2" амплитудами. Для п = 500 это больше, чем оцениваемое количество атомов во вселенной! Ни на каком мыслимом классическом компьютере невозможно сохранить все эти комплексные числа.
В гильбертовом пространстве поистине много места. Однако Природа в принципе манипулирует такими невообразимыми объемами данных даже для систем, содержащих лишь несколько сотен атомов. Она как бы держит у себя гесс скрытых черновиков, на которых выполыяет вычисления по мере эволюции системы. Выло бы очень хорошо воспользоваться этой потенциально огромной вычислительной мощью.
Но как состыковать квантовую механику и вычисления? 1.3 Квантовые вычисления Измеыения, происходящие с квантовым состоянием, можно описать ыа языке квантовых вычислений. Аналогично тому, как классический компьютер строится из электрических схем, содержащих провода и логические элементы, квантовый компьютер строится из квантовых схем, которые состоят нз проводов и 1.3. Квантовые вычисления 39 элементарных квантовых элементов, позволяющих передавать квантовую информацию и манипулировать ею.
В этом разделе мы опишем некоторые простейшие квантовые элементы и приведем несколько примеров схем, иллюстрирующих их применение, включая схему для телепоргацни кубвтов! 1.3.1 Однокубнтовые элементы Схемы классических компьютеров состоят из проводов (елгег) и логических глеменпюе (да1ег). Провода используются для передачи информации, тогда как логические элементы выполняют манипуляции с этой информацией, преобразуя ее из одного вида в другой. Рассмотрим, например, классические однобитовые логические элементы. Единственным нетривиальным членом этого класса является элемент г1ОТ.
Его функционирование определяется таблицей значений (ггигЫаЫе), в которой 0 -+ 1 и 1 -~ О, т. е. состояния 0 и 1 обмениваются. Можно ли определить для кубитов аналогичный квантовый элемент НОТ? Допустим, что у нас есть некоторый процесс, который переводит состояние ~0) в состояние ~1) и наоборот. Очевидно, что такой процесс был бы хорошим кандидатом на роль квантового аналога элемента гч'ОТ. Однако указание действия элемента на состояния ~0) и ~1) ничего не говорит о том, что происходит с суперпозициями этих состояний. Нужны дополнительные сведения о свойствах квантовых элементов.
На самом деле квантовый элемент 1чОТ действует линейно, т. е. переводит состояние (1.8) а!0) + Д1) в соответствующее состояние, где !О) и /1) поменялись ролями: (1.9) а~1) + ~9~0). Почему квантовый элемент НОТ действует линейно, а не каким-либо нелинейным образом — очень интересный вопрос, и ответ на него совершенно не очевиден.
Оказывается, что это линейное поведение является одним из общих положений квантовой механики и имеет очень хорошее эмпирическое обоснование; нелинейное поведение, напротив, может привцдить к явным парадоксам— путешествию во времени, передаче информации со скоростью, большей скорости света и нарушениям второго начала термодинамики. В следующих главах мы разберем этот вопрос подробнее, а пока просто примем сказанное как данность. Существует удобный способ представления квантового элемента НОТ в матричном виде, следующий непосредственно из линейности квантовых элементов. Определим матрицу Х для представления квантового элемента РВОТ следующям образом: 40 Глава 1. Введение и общий обзор (Обозначение Х для квантового элемента НОТ используется по историческим причинам.) Если квантовое состояние о~О) + 1?)1) записано в векторном виде (1.11) где верхний элемент соответствуег амплитуде для ~0), а нижний †амплиту для )1), то на выходе квантового элемента г1ОТ будет (1.12) Обратите внимание, что действие элемента НОТ состоит в замене состояния ~0) на состояние, соответствующее первому столбцу матрицы Х.
Аналогично этому, состояние ~1) заменяется на состояние, соответствующее второму столбцу матрицы. Итак, квантовые элементы на одном кубите могут быть описаны матрицами размера 2 х 2. Существуют ли какие-нибудь ограничения на матрицы, которые могут использоваться для описания квантовых элементов? Оказывается, да. Вспомните, что условие нормировки требует выполнения равенства )с»)~ + ф(~ = 1 для квантового состояния а(0) + Д1). То же самое должно быть справедливо и для квантового состояния (ф') = с»')О) + ~3')1) после действия квантового элемента.
Как оказывается, нужное условие на матрипу У, описываюшую однокубитовый элемент, состоит в том, что матрица должна быть ркин»ариой, т. е. У1У = 1, где У1 — сопряженнал матрица (получаемая транспонироваиием и последующим комплексным сопряжением У), а 1 — единичная матрица 2 х 2. Например, для элемента г(ОТ легко убедиться, что (?чУ = 1. Удивительно, но это ограничение 1л«ппюриости является едиисп»ееии»»м ограничением на квантовые элементы. Любая унитарная матрица описывает физически возможный квантовый элемент! Интересным следствием является то, что в отличие от классического случая, где существует только один нетривиальный однобитовый элемент НОТ, нетривиальных однокубитовых элементов может быть много.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
