М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1.7. Схема, обменивающая состояния двух иубитов, и ее условное обозначение 46 Глава 1. Введение и общий обзор Существует ряд схемных решений, которые допустимы в классических схен мах, но обычно отсутствуют в квантовых. Во-первых, не допускаются «циклы», т. е. обратная связь от одной части квантовой схемы к другой; говорят, что схема является ацнклической. Во-вторых, в классических схеыэх рэзреша ется «соединять» провода (операция РАг11М) в один провод, который содержит побитовое ОВ. входов. Очевидно, что эта операция необратима, а значит, неунитарна, поэтому мы не можем допускать ее в квантовых схемах. В-третьих, в квантовых схемах недопустима и обратная операция РА1чОПТ, результатом которой являются несколько копий бита.
Оказывается, что квантовая меха ника зэлрещает копирование кубита, делая операцию РАг1ОПТ вообще невозможной! Пример этого мы увидим в следующем разделе, когда попытаемся построить схему копирования кубита. Далее по мере необходимости мы будем ввош«ть новые квантовые элементы. А сейчас удобно ввести еще. одно соглашение о квантовых схемах, которое нллюстрируегся на рис. 1.8. Пусть У вЂ” нроизвольнал унитарнал матрица, действующая на некоторое количество кубитов и, так что ее можно рассматривать как квантовый элемент, оперирующий с этими кубитами.
Тогда мы можем определить элемент рпроелламмм-У, являющийся естественным расширением элемента СКОТ. Такой элемент имеет один рлроеллющнй кубитв, обозначаемый линией с черной точкой, и п рнравллеммя ирбитское, обозначаемых прямоугольником с буквой У. Если управляющий кубит установлен в О, то с управляемыми кубитами ничего не происходит.
Если же управляющий кубит установлен в 1, то к управляемым кубитам применяется элемент У. Примером элемента управляемый-11 служит элемент ОХОТ, который представляет собой управляемый-П, где У = Х (рис. 1.9). Рнс. 1.8. Элемент упрааляемыВ-У. Рнс. 1.9. Даа раэлнчных пред«тана«пня элемента СМОТ Другая важная операция — это измерение, которую мы представляем символом измерительного прибора (рис. 1.10). Как объяснялось выше, эта опера ция преобразует состояние одного кубита рр) = а~0) + Д1) в вероятностный 1.3. Квантовые вычисления 47 классический бит М (изобрэжэемый двойной линией, чтобы отличать его от кубитв), который имеет значение 0 с вероятностью !о!з или 1 с вероятностью !)?!'. 1т) — я~ Ф Рис.
1.1а Обозначение измерители на квантовой симе. Квк мы увидим, квантовые схемы оказываются полезными в качестве моделей всех квантовых процессов, в том числе (но не только) вычислений, связи и даже квантового шума. Это иллюстрируется несколькими простыми примерами, приведенными ниже. 1.3.б Схема копирования кубита? Элемент СКОТ удобен для демонстрэции одного фундаментального свойства квэвтовой информации. Рассмотрим задачу копировэния классического бита. Это можно сделать при помощи классического элемента СХОТ, который принимает нв вход копируемый бвт (в некотором неизвестном состоянии х) и бит«зэготовку», инициэлизироввнную нулем, квк иллюстрируется нв рнс.
1.11. Нв выходе будут двэ бита, имеющие одинаковые состояния х. Допустим, что мы пытаемся скопировать кубит в неизвестном состоянии ф) = а!О) + 6!1) точно таким же образом, используя квэнтовый элемент С?чОТ. Состояние двух кубитов на входе можно записать кэк [а!О) + Ь!1))!О) = а!00) + Ь!10). (. ) !ф !«Ь) = а~ !00) + аЬ|01) + аЬ!10) + Ьз !11).
(1.22) 'т)) се!0) + Ь!1) аЮО) +Ь)11) )о) Х Рис. 1.11. Классическал и нвантоваи оммы «нолнрованил> неизвестного бита или кубита. Функция Сг10Т инвертирует второй кубит, когда первый кубит равен 1, поэтому нэ выходе будет просто а!00) + 6!11). Удалось ли нвм успешно скопировать !тр)? Иначе говоря, создали ли мы состояние !з6)!«6)? В случае, когда !й) = !О) или !зЬ) = !1), это удается; квантовые схемы можно использовать для копирования классической информации, закодированной квк !0) или !1).
Однако, если взять состояние !з6) в общем виде, то мы найдем, что 48 Глава 1. Введение и общий обзор Сравнивая это с а)00) + Ь|11), мы видим, что кроме случая аЬ = 0 приведенная нв рис.1.11 «схемв копирования» не копирует входное квантовое состояние. Оказывается, что сделать копию неизвестного квантового состояния вообще невозможно. Это свойство (что кубиты нельзя копировать)известно квк теорема о невоэможносп«и копирования; оно представляет собой одно из главных различий между квантовой и классической информацией. Более развернутое обсуждение теоремы о невозможности копирования приведено во вставке 12.1; доказательство очень простое, и мы советуем вам прочитать его прямо сейчас.
Неудачу со схемой копирования, приведенной на рис. 1.11, можно объяснить и по-другому, исходя нз интуитивного представления о том, что кубит содержит «скрытую» информацию, которую нельзя измерить непосредственно. Рвссмотрим, что происходит при измерении одного из кубитов в состоянии а(00) + Ь~11). Как говорилось выше, мы получвем 0 или 1 с вероятностью ~а)~ или (Ь~~. Однако после измерения одного кубнта состояние другого полностью определено и никакой дополнительной информации об а и Ь извлечь нельзя. Та дополнительная скрытая информация, которая присутствовала в исходном кубите ф), теряется при первом измерении и не может быть восстановлена. Но при копировании кубитв состояние другого кубвта должно по-прежнему содержвть квкую-то часть этой скрытой информации.
Следовательно, копию кубитв создать невозможно. 1.3.6 Пример: состояния Велла Рассмотрим более сложную схему, показанную на рис. 1.12. Онв содержит элемент Адамаре с последующим ОХОТ и преобразует четыре состояния вычислительного бвзиса согласно приведенной таблице. Например, элемент Адамара переводит входное состояние ~00) в (~0) + )1)))0)/~/2, после чего ОХОТ формирует выходное состояние ()00) + )11))/~/2. Обратите внимание нв то, квк это рвботвег: сначала преобразование Адамара переводит верхний кубит в состояние суперпозиция; затем этв суперпозиция поступает нв управляющий вход ОХОТ, и управляемый кубвт инвертируется только в том случае, когда значение управляющего кубита равно 1. Выходные состояния /00) + !11) !)уоо) = ~01) + /10) ~Ро1) = ~00) — ~11) !Ао) = с/2 ~01) — /10) Л (1.23) (1.24) (1.28) (1.28) называются сосшолнил««и Белла, в иногда — ЭПР-сося»оянилми, или ЭПР-парами, в честь тех людей, которые первыми указали нв странные свойства подоб- 1.3.
Квантовые вычисления 49 вых состояний — Белла и Эйнштейна, Подольского, Розена. Миемоиическую запись |Дс), ~Дп), ),о1с) и фп) можно понять при помощи формулы )О, р) + (-1)*)1, у) (1.27) лв / 3 где у есть отрицание у. ! Рху) У Рис.
1.12. Квантовая схаыа, соэдающая состояния Белла, и хвантоаая стаблица »начинив» для аа ыюдных и выходных состояний. 1.3.7 Пример: квантовая телепортация Сейчас мы применим понятия, описанные иа нескольких предыдущих страиицах, чтобы понять нечто иетривиалъиое, удивительное и весьма забавное— квантовую телепортацию! Квантовая телепортация — это технология передачи квантовых состояний из одного места в другое даже при отсутствии квантового канала связи между отправителем и получателем.
Кваатовая телепортация работает следующим образом. Когда-то давно Алиса и Боб встречались, ио теперь живут далеко друг от друга. Будучи вместе, ови сгенерировали ЭПР-пару, и при расставании каждый взял по одному кубиту из этой пары. Миого лет спустя Бобу приходится скрываться, и задача Алисы (если оиа согласится ее выполнять) в том, чтобы доставить Бобу кубит ф). Оиа ие знает состояния кубита и более того может посылать Бобу только классическую информацию. Стоит ли Алисе браться за эту задачу? С интуитивной точки зреиия для Алисы все выглядит довольио плохо.
Оиа ве знает состояяия рд) кубита, который должна послать Бобу, и согласио законам квантовой мехавики пе может определить это состояние, имея в своем рэспоряжеиии только одну копию )ф). Еще хуже то, что даже если бы Алиса знала сосгояиие ф), его точное описание потребовало бы бескоиечиого количества классической информации, поскольку )1д) принимает значения в непрерывкам пространстве.
В результате ей пришлось бы описывать Бобу это состояние целую вечиость. К счастью для Алисы, квантовая телепортация дает возможность использовать запутанную ЭПР-пару для посылки рд) Бобу, используя небольшое количество классической информации. Схематически решение выглядит еле,вующим образом: Алиса приводит кубит рд) во взаимодействие со своей половиной ЭПР-пары и затем измеряет два 50 Глава 1. Введение и общий обзор Ф Ф Ф Ф [а> М> [ч',> М> [й> Рнс. 1.13.
Квантовая омма для телапортацнн кубнта Дае вмжнне линии представляют спето- му Алисы, а нижняя лнння-снстему Боба. Выходящие нэ нэмернтелей двойные лнннн несут класснческне биты (вспомннте, что одинарные лнннн обоэначают кубнты). Квантовая схема, показанная на рис. 1.13, дает более точное представление о квантовой телепортацни. Телепортируемым состоянием является ф) = ст[0) + Д1), где ст и Р— неизвестные амплитуды. Состояние на входе схемы [эре) = [Ф) [Рос) — [ [ОН[00) + ]П))+ 4[1)([00) + [11))[, т/2 (1.28) (1.29) где первые два кубита (слева) принадлежат Алисе, а третий кубит — Бобу.
Как мы объясняли выше, второй кубит Алисы и кубит Боба первоначально нахо- дятся в ЭПР-состоянии. Алиса пропускает свои кубиты через элемент СКОТ, получая фт) = — [св[0)([00) + ]11)) + Д1)([10) + [01))]. (1.30) Затем она, пропустив первый кубит через элемент Адамара, получат [тра) = -[а([0) + [1)Н[00) + ]11)) + д(]0) — [1))([10) + [01))], (1.31) 1 что, перегруппировав члены, можно переписать следующим образом: фэ) = -[[00)(а[0)+о[1))+ [01)(сэ[1)+ДО))+ [10)(а[0) — Д1))+ [11)(сэ([1)-8[0))]. 1 (1.32) Это выражение естественным образом распадается на четыре слагаемых. Первое слагаемое содержит кубиты Алисы в состоянии ]00) и кубит Воба — в состоянии ст[0) + [1), которое является исходным состоянием ф).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
