М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Мы полагаем, что точно так же, как мы научились думать о вычислениях физически, мы можем научиться думать о физике в терминах вычислений. Физика традиционыо является дисциплиной, где основное внимание сосредоточено на понимании «элементарных» объектов 1.2. Квантовые биты 33 и простых систем, однако многие интересные аспекты Природы проявляются лишь с ростом размеров и сложности. Такие явления отчасти исследуются в химии и инженерных науках, но всякий раз довольно специфическим образом. Квантовые вычисления и квантовая информация предоставляют новые инструменты, позволяющие перебрасывать мост от простого к относительно сложному: в сфере вычислений и алгоритмов есть систематические средства для построения и изучения таких систем. Применение идей из этих областей уже начинает приводить к выработке новых взглядов на физику.
Мы надеемся, что в последующие годы этот подход будет успешно применяться во всех ее разделах. Выше были кратко рассмотрены некоторые ключевые мотивации и идеи, лежащие в основе квантовых вычислений и квантовой информации. В остальной части этой главы будет дано более техническое, но по-прежнему доступное введение в эти мотивации и идеи в надежде сформировать у вас общее представление о рассматриваемой области в ее современном состоянии. 1.2 Квантовые биты Виш — это фундаментальное понятие в области классических вычислений и классической информации.
Квантовые вычисления и квантовая информация построены вокруг аналогичного понятия кваннювого биша (диаа$иш Ы), или для краткости крбиню (диЫ). В этом разделе мы описываем свойства одиночных кубитов и систем, состоящих из нескольких кубитов, сопоставляя их со свойствами классических битов. Что такое кубит? Мы намерены описывать кубиты как ма«леман»ические обзеяим с некоторыми заданными свойствами.
«Но постойте, — скажете вы,— ведь кубиты являются физическими объектами!» Действительно, кубиты, подебно битам, реализуются как физические системы, и в равд. 1.5 (а также в гл. 7) мы подробно расскажем, как осуществляется переход от абстрактного математического представления к реальным системам. Однако по большей части мы будем рассматривать кубиты как абстрактные математические объекты.
Такой подход удобен тем, что предоставляет нам свободу при построении общей теории квантовых вычислений и квантовой информации, не зависящей от конкретной системы, испбльзуемой для ее реализации. Так что же такое кубит? Аналогично классическому биту, который можег находиться в сося»олина О или 1, кубит также имеет сос«поляне. Двумя воз-' можными состояниями кубита являются ~0) и ~1), соответствующие, как можно догадаться, состояниям 0 и 1 классического бита. Символ «~)» называется дираховским обозиачеюье««, и мы будем часто с ним встречаться, поскольку это стандартное обозначение состояний в квантовой механике.
Различие между битами и кубитами в том, что кубит может находиться в состоянии, отличном от ~0) или ~1). Можно составить линейн1ло комбинацию состояний, часто называемую суперпозицией: 34 Глава 1. Введение и общий обзор ф) = — ~0) + — ~1), 1 1 1/2 1/2 (1.2) измерение которого в половине случаев (~1/~/2)з) дает результат О, а в другой половине случаев — результат 1.
Мы будем часто возвращаться к этому состоянию, которое иногда обозначается как ~+). Несмотря на эту странность, реальность кубитов не вызывает сомнений. Числа о и ~3 являются комплексными, хотя для многих целей их можно без особого ущерба считать действительными. Иначе говоря, состояние кубита представляет собой вектор в двумерном комплексном векторном пространстве. Специальные состояния ~0) и ~1) называются соспюлиилми еычпслптелъиоао бэзиса и образуют ортонормированный базис этого векторного пространства. Мы можем измерить бит, чтобы определить, находится ли он в состоянии 0 или 1.
Например, компьютеры делают это каждый раз, когда считывают содержимое своей памяти. Но мы не можем измерить кубит, чтобы определить его квантовое состояние, т. е. значения а и Д. Из квантовой механики следует, что можно получить лишь гораздо более ограниченную информацию о квантовом состоянии. При измерении кубита мы получаем либо результат 0 с вероятностью ~сиз, либо результат 1 с вероятностью фз.
Разумеется, ~а)з + уЗ)з = 1, поскольку сумма вероятностей должна быть равна единице. Геометрически мы можем интерпретировать это как условие, что состояние кубита должно иметь единичную длину. Таким образом, в общем случае состояние кубита представляет собой единичный вектор в двумерном комплексном векторном пространстве. Этот разрыв между ненаблюдаемым состоянием кубита и доступными нам наблюдениями лежит в основе квантовых вычислений и квантовой информации. В большинстве наших абстрактных моделей мира существует прямое соответствие между элементами абстракции и реальностью, точно так же, как планы архитектора по постройке здания соответствуют конечному результату строительства.
Отсутствие такого прямого соответствия в квантовой механике затрудняет интуитивное понимание поведення квантовых систем. Однако существует непрямое соответствие: состояивш 1субита можно менять тем или иным способом, в результате чего данные измерений будут существенно зависеть от различных свойств состояния. Таким образом, наличие квантовых состояний приводит к реальным, экспериментально подтверждаемым следствиям, которые, как мы увидим, и определяют эффективность квантовых вычислений и квантовой информации.
Способносп кубита находиться в состоянии суперпозицин противоречит нашим обыденным представлениям об окружающем физическом мире. Классический бит подобен монете: либо орел, либо решка. Для несовершенных монет возможны промежуточные состояния, например, балансирование на ребре, но в идеальном случае их можно отбросить. Кубит, напротив, до момента наблюдения может находиться в целом яонтинээме состояний между ~0) и ~1). Подчеркнем еще раз, что измерение кубнта всегда дает только 0 или 1 с некоторой вероятностью. Например, кубит может находиться в состоянии 1.2.
Квантовые биты 35 Рис. 1.2. Купит, представленный двумя алектронными уровнями в атоме. Само собой разумеется, что интерпретации суперпозиции состояний, как н вероятностной природы наблюдений над квантовыми системами, уделялось много внвмання. Однако в этой книге мы не будем касаться подобных дискуссий. Ныпа цель будет состоять в построении математических н концептуальных схем предикативного характера. Одной из схем, полезных при рассмотренви кубитов, является следующее геометрическое представление. Поскольку ~а! + Щ = 1, можно переписать формулу (1.1) в виде )ф) = е'т ~соэ-~0)+ей" э1в-)1) д а, р 2 2 (1.3) где д, ~р и у — действительные числа. В гл.
2 будет показано, что множитель еьт можно ивпорироеаапь, поскольку он ме яриеодитд к наблюдаемвсм эффехтаьм, н по этой причине формула (1.3) фактически сводится к 'Рр) = соэ -~0) + еьр эш -~1) д а . д 2 2 (1.4) з Их существование и свойства были подтверждены многочисленными экспериментами (обсуждаемыми в равд. 1.3 и гл. 7). Для реализации кубитов можно использовать много различных физических систем. Чтобы получить конкретное представление о том, как это может быль сделано, полезно перечислить некоторые вз возможных способов такой реализации: две разных поляризации фотона; направление ядерного спина в однородном магнитном поле; два состояния электрона в одиночном атоме, как показано на рис. 1.2.
В модели атома электрон может существовать либо в так называемом основном, либо в возбужденном состояниях, которые мы будем обозначать как ~0) и ~1) соответственно. Облучая атом светом с подходящей энергией в течение некоторого времени, можно перевести электрон из состояния ~0) в состояние ~1) и наоборот.
Но более интересно то, что сокращая время облучения можно оставить электрон, первоначально находившийся в состоянии )О), на полпути между )О) и ~1) в состоянии ~+). 36 Глава 1. Введение и общий обзор Числа 9 и у задают точку нэ единичной трехмерной сфере, кэк показано на рис. 1.3. Этэ сфера часто называется сферой Блоха; онэ позволяет наглядно представлять состояние одиночного кубвтэ и часто служит в качестве превосходного «испытэтельного стенда» для идей из области квантовых вычислений и квантовой информации. Многие операции нэд одиночными кубитэми, рэссмэтривэемые далее в этой главе, изящно описываются с использованием сферы Блоха.
Однако, нужно иметь в виду, что возможности этого предстэвления огрэвичены, тэк кэк не известно простого обобщения сферы Блохе на случай нескольких кубитов. Рис. 1.3. Представление нубита при помощи сферы Блоха. Сколько информэции представляет кубит? Кэк ни парадоксально, на единичной сфере бесконечное количество точек, поэтому в принципе можно хрэ; нить все тексты Шекспира в бесконечном двоичном разложении д. Однако этот вывод оказывается обманчивым из-зв поведения кубита при наблюдении. Вспомните, что измерение кубита даат только 0 или 1. Более того, измерение василе«э состояние кубитэ — он коллапсирует из суперпозиции ~0) н ~1) в определенное состояние, соответствующее результату измерения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
