М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Квантовая информация 89 Блестящие работы Шеннона [353], заложившие основы теории информации (перепечатаны также в [378[) — отличный материал для чтения. Книга Маквилльямс и Слоуна [296] не только представляет собой превосходный учебник по кодам, исправляющим ошибки, но и содержит невероятное количество полезной исторической информации. Подобна ей книга Ковера и Томаса [106]— великолепный учебник по теории информации с обширными историческими сведениями.
В большом томе [379] под редакцией Слоуна и Винера представлено собрание работ Шеннона вместе с множеством полезных исторических заметок. Полезная коллекция репринтов по теории информации собрана Слепяном [363]. Криптография — это древнее искусство с запутанной и часто интересной историей. Книга Кана [207] представляет собой гигантский труд по истории криптографии, содержащий изобилие информации. По более свежим разработкам мы рекомендуем книги Менезеса, Ван Ооршота и Ванстоуна [298], Шнейера [351], а также Диффн и Ландау [127]. Квантовую телепортацию открыли Беннет, Брассард, Крепо, Йожа, Перес и Вутерс [23], а позже она была экспериментально реализована в самых разных формах: с использованием оптических методов (Боши, Бранка, Де Мартини, Харди и Попеску [29]), поляризации фотонов (Баумейстер, Пан, Метгл, Эйбл, Вайнфуртер и Цайлингер [66]), «сжатых» состояний света (Фурусава, Зоренсен, Браунштейн, Фукс, Кнмбл и Пользнк [155]) и ЯМР (Нильсен, Нилл и Лафлам [306]).
Задача Дойче была сформулирована Дойчем [117], и в той же работе приведено ее однобитовое решение. Обобщение на п-битовый случай было дано Дойчем и Йожа [126]. Алгоритмы, предложенные в этих работах, впоследствии были значительно усовершенствованы Кливом, Экертом, Маккиавелло и Моща [80], а также независимо от них Таппом в его неопубликованной работе. В этой главе мы представили усовершенствованную версию алгоритма, которая очень хорошо вписывается в контекст задачи о скрытой подгруппе, обсуждаемой в гл. 5. Первоначальный алгоритм Дойча работал только вероятностным образом; Дойч и Йожа усовершенствовали его, получив детерминированный вариант, но их метод требовал двух вычислений функции в отличие от усовершенствованных алгоритмов, представленных в этой главе.
Тем не менее, на эти алгоритмы по-прежнему принято ссылаться как на алгоритм Дойча и алгоритм Дойче-Йожа в память о двух огромных шагах вперед: конкретной демонстрации Дойчем того факта, что квантовый компьютер потенциально может работать быстрее классического компьютера, н обобщению, сделанному Дойчем и Йожа, которое впервые продемонстрировало аналогичное расхождение в масштабах времени, требуелюго для решения задачи. Превосходное обсуждение эксперимента Штерна-Герлаха можно найти в стандартных учебниках по квантовой механике, таких как учебники Сакураи [346], Фейнмана, Лейтона и Сендса (том П1) [15Ц, а также КохенаТанноуджи, Диу и Лалоэ [107, 108].
Задача 1.1 была предложена в замечательной статье Рахима [332]. Глава 2 ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ МЕХАНИКУ Я вовсе не физик, но знаю, что к чему. Попай-моряк Квантовая механика — настоюцоя черная магия. Альберт Эйнштейн Квантовая механика — наиболее точное и полное из известных описаний нашего мира. Она также является основой для понимания принципов квантовых вычислений и обработки квантовой информации. В данной главе приводятся все необходимые для этого сведения.
Никаких предварительных знаний о квантовой механике для понимания этой главы не требуется. Несмотря на репутацию сложной для восприятия науки, изучить квантовую механику легко. Такая репутация возникла из-за трудности усвоения некоторых несущественных для ее понимания применений, например определения структуры сложных молекул, мы их обсуждать не будем. Единственное необходимое условие для усвоения данного введения в квантовую механику — минимальное знакомство с линейной алгеброй.
Читатель, обладающий соответствующими познаниями, сможет за несколько часов научиться решать простейшие квантовомеханические задачи. Тот, кто знаком с основами квантовой механики, может бегло просмотреть эту главу, чтобы ознакомиться с используемыми здесь обозначениями (по большей части совпадающими с общепринятыми) и орвежить в памяти материал. Те же читатели, которые не изучали данный предмет, должны внимательно прочитать эту главу и попытаться выполнить все упражнения. При возникновении сложностей с той или иной задачей следует продолжить чтение и вернуться к этой задаче позже.
Глава начинается с равд. 2.1, где приведены необходимые сведения из линейной алгебры. При этом предполагается знакомство читателя с элементарной линейной алгеброй, но вводятся принятые у физиков обозначения, которые несколько отличаются от используемых в большинстве вводных курсов по данному предмету. Равд. 2.2 посвящен основным постулатам квантовой механики и содержит все ее фундаментальные принципы. Приведено большое количество простых упражнений, позволяющих лучше усвоить материал. В оставшейся части этой главы (да и всей книги) этот материал разъясняется уже 2.1. Линейная алгебра 91 без привлечения каких-либо новых физических принципов. В равд. 2.3 объясняется идея сверхплотного кодирования — удивительного примера обработки квантовой информации, сочетающего в простой конструкции сразу несколько постулатов квантовой механики.
В разд. 2,4 и 2.5 описаны мощные математические средства — оператор плотности расширение дв чистого состпояния н разложение Шмидтац которые особенно полезны при изучении квантовых вычислений и квантовой информации. Знакомство с ними поможет закрепить понимание элементарной квантовой механики. Наконец, в равд.
2.6 изучен вопрос о выходе квантовой механики за пределы обычного «классического» понимания того, как устроен наш мир. 2.1 Линейная алгебра Эпю книга написана настолько же для того, чтобы беспокоить и досаждать, насколько и для того, чтобы наставлять. В.
Хоффман' Жизнь хомпленсна — у нее есть и действительная, и мнимая компоненты. Неизвестный Линейная алгебра изучает векторные пространства и линейные операции в иих. Для хорошего понимания квантовой механики необходимо уверенно разбвраться в элементарной линейной алгебре. В этом разделе мы введем основные понятия линейной алгебры и опишем стандартные обозначения, которые используются для этих понятий в квантовой механике. Эти обозначения отображены на рис. 2.1: в левой колонке — квантовомеханические символы, в правой — их описание в терминах линейной алгебры.
Взгляните на таблицу, чтобы понять, сколько терминов из правой колонки вам знакомо. По нашему мнению, главным препятствием при знакомстве с постулатами квантовой механики являются не сами постулаты, а достаточно большое количество терминов из линейной алгебры, необходимое для их понимания. Вместе с необычными обозначениями Дирака, используемыми физиками в квантовой механике, это может (ошибочно!) показаться совершенно пугающим. Поэтому мы советуем не знакомому с квантовой механикой читателю бегло просмотреть следующий виже материал, стараясь усвоить лишь самое необходимое.
После этого стоит приступить к изучению основного материала главы — постулатов квантовой механики, — возвращаясь по мере надобности к изучению необходимых алгебраических понятий и обозначений. Основными объектами линейной алгебры являются веяторнмв пространстива. Для нас наибольший интерес представляет пространство С", т. е. множество и элементных наборов комплексных чисел: (гм..., г„). Элементы век- ' Хоффман В. О векторах 92 Глава 2.
Введение в квантовую механику торного пространства называются век»лорами; иногда мы будем использовать для векторов матричные обозначения (2.1) В векторном пространстве определена операция сложения для пары векторов. В пространстве С" операция сложения вводится следующим образом: [;1 ;] (2.2) здесь в правой части имеется в виду обычное сложение комплексных чисел. Определим операцию умножения век»пора на скаляр. В пространстве С" эта операция задается тождеством (2.3) где г — скаллр, т. е. комплексное число, а в правой части подразумевается обычное г»еремноженне комплексных чисел. Физики иногда называют комплексные числа с-числами.
Поскольку мы собираемся применять линейную алгебру в квантовой механике, будем придерживаться обозначений, принятых в этом разделе физики. Стандартное квантовомеханическое обозначение для вектора в векторном пространстве выглядит как (2.4) Символ»л является просто меткой для вектора (подойдет любая метка, но мы обычно будем использовать простые метки: ф, у и т. п.). Обозначение ~ ) используется, чтобы показать, что объект является вектором.
Объект ~ ф) целиком иногда называют кета-вектором, но мы не будем часто использовать такую терминологию. Векторное пространство содержит также нулевой вектор, обозначим его символом «О». Он обладает следующим свойством: (о) + 0 = (с) для любого вектора ~с). Обратите внимание, что мы не используем кег-обозначение для нулевого вектора — это будет единственным исключением. Причина заключается в том, что в дальнейшем окажется удобным использовать очевидное обозначение (О) для другого объекта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
