М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В этом случае мы также будем говорить о векторе ~и) как о нормированном. Под нормированием вектора, имеются в виду деление вектора на его норму, т. е. )и)/Ии)()— нормщюваннмй вид вектора ) и) для любого ненулевого вектора ~э). Набор векторов )1) называется ортпонормированнмм, если все векторы в нем единичные и 98 Глава 2. Введение в квантовую механику любые два различных вектора ортогональны, т.
е. (~(Я = б;. для всех индексов 1иу,вфла. эгпражиеиие 2.7. Проверьте, что векторы !и) кэ (1, 1) и !э) ве (1, — 1) ортогональны. Как выглядит эти векторы в нормированном виде? Пусть !па ),..., (пм) — базис некоторого векторного пространства У со скалярным произведением.
Для получения ортонормнрованного базисного набора векторов !с~),..., !ээ) часто используют метод, известный под названием ортогонализации Грома-Шмидта. Введем определение !с~) ив н !ш~)Д!пп)!!, и для 1 < Й < И вЂ” 1 определим !эь~~) по индукции: (2.17) Нетрудно проверить, что векторы !щ),..., (с,Д образуют ортонормированный набор, который также является базисом для пространства г'. Таким образом, в любом векторном пространстве конечной размерности Н со скалярным произведением существует ортонормированный базис (с~),..., !сэ). упражнение 2.8. Докажите, что при оргогонализации Грама-Шмидта действительно получается ортонормированный базис в пространстве У. В дальнейшем, говоря о матричном представлении линейного оператора, мы всегда будем иметь в вцлу матричное представление для ортоиормированных базисов в пространствах аргументов и значений оператора.
Будем также считать (если не оговорено обратное), что, когда пространство аргументов совпадает с пространством значений оператора, в них используется один и тот же базис. С учетом этих соглашений скалярное произведение удобно записать в матричном представлении. Пусть |ю) = 2 ',. в;!1) и !с) = 2 е !Я вЂ” представления векторов !и) и (э) в ортонормированном базисе !1).
Тогда, поскольку (1!Я = Юу, имеем И":! (2.19) Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно скалярному произведению матричных представлений этих векторов, если представления записаны в одном и том же ортонормированном базисе. Кроме того, можно видеть, что двойственный вектор (с! можно интерпретировать как вектор-строку с компонентами, являющимися комплексно-сопряженными с соответствующими компонентами представления !и) в виде вектора-столбца. Для представления линейных операторов существует полезный способ, использующий скалярное произведение — он называется предствавлекпем с ао- 2.1. Линейная алгебра 99 мощью теиеорного произведения.
Пусть |с) — вектор в пространстве И со ска- лярным произведением, а ~ю) — вектор в пространстве И' со скалярным про- изведением. Определим ~ю) (э~ как линейный оператор, отображающий И в И' по следующему правилу: (2.20) Это уравнение наилучшим образом подходит к нашей системе обозначений, согласно которой выражение ~ю)(э~э') может в принципе иметь одно из двух значений: мы будем использовать его для указания результата действия оператаора (ю)(э~ на вектор ~с'); также можно считать это результатом умножения вектора ~ю) на комплексное число (с~э'). Наши определения подобраны таким образом, что эти два возможных значения всегда совпадают.
Действительно, мы определяем первое значение в терминах второго. Можно взять линейную комбинацию тензорных произведений ~ю;)(е;~ очевидным образом. По определению, 2,а;>ю;)(и;( — линейный оператор, который, действуя на вектор ~и'), дает результат 2 „а; ~ю;>(о;(о'). Продемонстрируем удобство такого представления. Пусть р) — ортонормированный базис в векторном пространстве У, тогда произвольный вектор ~с) может быль записан в виде (и) = ,'>,. о; ~ 1), где и; — комплексные числа. Заметим, что (~~э) = э;, поэтому имеет место соотношение (2.21) Поскольку последнее равенство выполняется для всех векторов ~о), получим ф) (1( = 1.
(2.22) (2.23? (2.24) А = 1и А1т !юд) (юд!А(о;)(о,/ = ~~ь (ю1/А/кт)!юд)(э;!, (2.25) т. е. тензорное представление для оператора А. Из этого уравнения также сле- дует, что оператор А содержит матричный элемент (юд(А~и;) в г-й колонке и у-й строке (при базисах (щ> в пространстве аргументов и ~юд) в пространстве результатов) . Это уравнение известно как условие полношы. Одно из применений такого условия — дать возможность представить любой оператор в терминах тензорного произведения. Пусть А: Р - И' — линейный оператор, ~кт> — ортонормированный базис в пространстве У, ~ю ) — ортонормированный базис в пространстве И". Используя условие полноты дважды, мы получим соотношение 100 Глава 2.
Введение в квантовую механику Вторым применением, иллюстрирующим ценность условия полноты, является неравенство Коши-Шварца. Этот важный результат обсуждается во вставке 2.1. Вставка 2.1. Неравенство Коши — Шварца Неравенство Коши-Шварца — важное геометрическое утверждение о гильбертовых пространствах. Оно заключается в следующем: для любых двух векторов !и) и (ш) выполняется неравенство !(и(ш)! < (э!и)(ш!ш). Чтобы проверить это, проведем ортогонализацию Грэма-Шмидта и построим такой ортонормированный базис (г) в векторном пространстве, что первый вектор этого базиса будет равен (ш)/~/(ш)ш).
Используя условие полноты (Х ', !г) (г! = Х) и опуская некоторые неотрицательные слагаемые, получим (и!э)(ш)ш) =~ (Ф)(г!и)( ! ) > ( ! )( (и) („! ) ( (ш) )!г (2.26) (2.27) (2.28) что и требовалось доказать. Нетрудно заметить, что неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда векторы !и) и !ш) линейно зависимы, т. е. (и) = л!ш) или (ш) = л!и), где г — некоторая скалярная 2.1.5 Собственные векторы и собственные значения Собственный веьтаор линейного оператора А, действующего в векторном пространстве,— такой ненулевой вектор !в), что А!и) = и!и), где и — комплексное число, называемое собственным числом оператора А, соответствующим собственному вектору )и).
Часто удобно использовать и одновременно и для метки собственного вектора в обозначениях Дирака, и для соответствующего этому вектору собственного числа. Мы предполагаем, что читатель знаком с элементарными свойствами собственных чисел и собственных векторов, в частности умеет находить их с использованием характеристического уравнения. Характеристическим многочленом называют функцию с(Л) ы деФ )А-ЛХ!, где бег (Я!— определитель матрицы Я; можно показать, что характеристический многочлен Упражнение 2.9 (операторы Пауля и тензорное произведение).
Матрицы Паули (см. рис. 2.2) можно рассматривать как операторы в ортонормированном базисе !О), )1) в двумерном гильбертовом пространстве. Запишите каждый вз операторов Паули в терминах тензорного произведения. Упражнение 2.10. Пусть |и1) — ортонормированный базис в пространстве У со скалярным произведением. Как выглядит матричное представление для опеРатоРа !иг) (вь! в базисе !эг)? 2.1. Линейная алгебра 101 зависит только от оператора А, но не от конкретного матричного представления для А. Решения характеристического уравнения сЯ = 0 — собственные числа оператора А. Согласно основной теореме алгебры, у каждого много- члена с комплексными коэффициентами имеется хотя бы один комплексный корень, поэтому у любого оператора А есть хотя бы одно собственное число и соответствующий ему собственный вектор.
Собственным пространством, соответствующим собственному числу и, называют дополненное нулевым вектором множество всех собственных векторов, которые имеют собственное значение о. Это множество является векторным подпространством в векторном пространстве, где действует оператор А. Оператор А имеет диагональный вид, если он записан как А = 2; Л;[1)(г[, где векторы [1) образуют ортонормированный набор собственных векторов оператора А, а Лг — соответствующие им собственные числа.
Оператор называют диагонализирреиым„если его можно записать в диагональном виде. В следующем разделе мы найдем простой набор необходимых и достаточных условий приведения оператора в гильбертовом пространстве к диагональному виду. В качестве примера может служить матрица Паули Е, которая имеет диагональный вид: (2.29) (матричное представление записывается для ортонормированных векторов [0) и )1)). Представление в диагональном виде называют также спектральным разложением. Ксли собственное пространство имеет размерность больше единицы, то можно сказать, что оно выроэсдгно. Например, у матрицы А — [ 2 0 0 0 2 0 0 0 0 (2.30) [1 О~ (2.31) нельзя преобразовать в диагональную форму.
существует двумерное собственное пространство, соответствующее собственно- му значению 2. Собственные векторы (1, О, 0) и (О, 1, 0) называются вырожден- ными, поскольку это линейно-независимые собственные векторы оператора А, отвечающие одному и тому же собственному значению. Упражнение 2.11 (спектральное разложение матриц Паули).
Найдите собственные векторы, собственные числа и приведите к диагональному виду матрицы Паули Х, у и Я. Упражнение 2.12. Докажите, что матрицу 102 Глава 2. Введение в квантовую механику 2.1.6 Сопряженные н эрмнтовы операторы Пусть А — линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
