М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Оказывается, существует единственный оператор А1, действующий также в пространстве У, такой, что для любых векторов ~с), ~ш) е У справедливо соотношение ((с),А~ш)) =(А~)с),(ш)). (2.32) Оператор А1 называется эрмитово-сопряженным (или просто соорязсенным) к оператору А. Из этого определения следует, что (АВ)1 = В1А~. По определению, сопряженным к вектору ~с) являегся вектор (с), т. е. )с)1 ш (с). Из этого определения вытекает, что (А)с))~ = (с~А1.
'Упражнение 2.13. Покажите для двух произвольных векторов (и) и )с), что (М)(М)' = 1с)( 4~. Упражнение 2.14 (антнлинейность сопряженного оператора). Покажите, что операция сопряжения антилннейна, т. е. а;А; = ~~~ а,'А). (2.33) Упражнение 2.15. Покажите, что (А1)~ = А. В матричном представлении эрмитово сопряжение означает транспонирование и комплексное сопряжение матрицы: А1 не (А*)г (здесь символ ь означает комплексное сопряжение, Т вЂ” операцию транспонирования).
Например, (2.34) 1+1 1 — 41 -21 1+ 41 Оператор А, совпадающий со своим эрмитово-сопряженным оператором, называется эрмитоеым или самосапрлжснным . Важным классом эрмитовых операторов являются проектпоры. Пусть И~ — й-мерное векторное подпространство векторного пространства У. Проведя ортогоналнзацию Грама-Шмидта, можно построить такой ортонормированный базис ~1),...,ф пространства У, что ~1),...,~в) — ортонормнрованный базис пространства И~.
По определению, оператор ь Р ж ~~~ р)(г~ (2.35) есть щюевтор на подпространство И~. Легко проверить, что это определение не зависит от выбора ортонормированного базиса ~1),...,~я) в пространстве $У. Из (2.20) следует, что для любого вектора с оператор ~с)(э~ эрмитов, поэтому оператор Р также эрмитов (Рг = Р). Мы будем часто для краткости говорить о авекторном пространстве» Р, имея в виду пространство, на которое оператор Р проектирует исходное пространство У. Орпюгональнмм дополнекием оператора Р будем называть оператор Ц ьт 1- Р. Легко видеть, что Я— 2.1.
Линейная алгебра 103 проектор на векторное пространство, натянутое на векторы ~Й + 1), ..., ~д), и его мы также будем называть ортаогональным дополнением пространства Р (и соответственно обозначать через (~). 'Упражнение 2.16. Покажите, что,для любого проектора Р выполняется равенство Рг = Р. Оператор А называется нормальным, если АА1 = А1А. Очевидно, что любой эрмнтов оператор является нормальным. Есть замечательная теорема, характеризующая нормальные операторы, согласно которой оператор является нормальным тогда и только тогда, когда он приводится к диагональному виду.
Это — пгеорема о спектаральисм разложении, ее доказательство приведено во вставке 2.2. Упражнение 2.17. Покажите, что нормальная матрица является эрмитовой тогда и только тогда, когда все ее собственные значения действительны. Матрица У называется унитарной, если УгУ = 1. Аналогично оператор У унитарный, если УгУ = 1. Легко проверить, что оператор является унитарным тогда и только тогда, когда любое его матричное представление унитарно. Унитарный оператор также удовлетворяет условию УУ1 = 1, следовательно У вЂ” нормальный оператор и для него существует спектральное разложение. С геометрической точки зрения унитарные операторы важны, поскольку они сохраняют скалярное произведение векторов.
Действительно, пусть |и) и ~ш)— векторы. Тогда скалярное произведение векторов У~с) и У~ш) равно скалярному произведению ~и) и ~ш): (Ци),У~ш)) = ЯУ1У~ш) = (с~1(ш) = (с~ш). (2.36) Из этого факта вытекает следующее красивое представление в виде тензорного произведения для произвольного унитарного оператора У. Пусть |ьг) — ортонормированный базис, а ~шг) ы У~сг). Тогда набор ~шг) также является ортонормироввнным базисом, поскольку унитарные операторы сохраняют скалярное произведение. Заметим, что У = 2,г ~шг) (тч ).
Наоборот: если )сг) и (шг) — два ортонормированных базиса, то легко проверить, что оператор У ы ,'~ ~шг)(и;~— унитарный. Упрюкнение 2.18. Покажите, что любое собственное число унитарной матрицы по модулю равно единице, т.
е. может быть записано в виде е'г, где В— некоторое действительное число. Упражнение 2.19 (свойства матриц Паули). Покажите, что матрицы Паули являются эрмитовыми и унитарными. Упражнение 2.20 (замена базиса). Пусть А' и А" — матричные представления оператора А, действующего в векторном пространстве У в двух разных ортонормированных базисах (~иг) и ~шг)). Элементы матриц А' и А" равны Аг1 = (й1АЫ, А' = (шг~А~шг). Как связаны между собой матрицы А' и Аа? Особенно важный частный случай эрмитовых операторов — неапгрицапгельиа определенные апсрапгорьь Оператор А называют неотрицательно определенным, если для любого вектора ~и) число Ди), А~и)) является действительным и неотрицательным.
Если (~и), А~и)) > 0 для любого вектора ~и) 11 О, будем 104 Глава 2. Введение в квантовую механику называть оператор А положительно оаределеннил«. В упр. 2.24 предлагается доказать, что любой неотрицательно определенный оператор является эрмитовым, поэтому в спектральном разложении такого оператора Я, Л;)4)(г) все собственные числа Л; неотрицательны. Упражнение 2.21. Повторите доказательство теоремы о спектральном разложении, приведенное во вставке 2.2, для случая эрмитова оператора М, упрощая доказательство в тех местах, где это возможно.
Упражнение 2.22. Докажите, что два собственных вектора эрмитова оператора, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны. Упражнение 2.23. Покажите, что все собственные числа проектора Р равны 0 нли 1. 'Упражнение 2.24. Докажите, что неотрицательно определенный оператор является эрмитовым. (Указание: покажите, что произвольный оператор А может быть записан в форме А = В + гС, где В и С вЂ” эрмитовы операторы.) Упражнение 2.25. Покажите, что для любого оператора А оператор А1А является неотрицательно определенным. 2.1.7 Тензорное произведение Тензорное лроаз ведение — особый способ получения нз векторных пространств «большего» векторного пространства. Эта конструкция является очень важной для понимания квантовой механики систем, состоящих из нескольких частиц.
Приводимое ниже описание несколько абстрактно и, возможно, не знакомому с понятием тензорного произведения читателю будет не так просто во все вникнуть. В этом случае можно пропустить данный подраздел при первом чтении и вернуться к нему в дальнейшем, когда в квантовомеханических задачах будет использоваться понятие тензорного произведения. Пусть У и И' — векторные пространства размерности т и и соответственно. Для удобства предположим, что пространства И и И' являются гильбертовыми. Тогда У 9 И' (читается «тензорное произведение Ъ' и И'») — пространство размерности тн.
Элементы пространства У 8 И" представляют собой линейные комбинации «тензорных произведений» ~о) Э ~ю) векторов о Е У и ю е И". Если («) и )Я вЂ” ортонормированные базисы в пространствах У и И', то )«) З )Я— базис в пространстве И 8 И'. Мы часто будем использовать обозначения ) о) ) ю), )о, ю) и даже )ош) вместо )о) 8 )и). Например, если У вЂ” двумерное векторное пространство с базисными векторами )0) и )1), то )0) 8 )0) + (1) ® )1) — элемент пространства г З У.
Вставка 2.2. Спектральное разложение Теорема 2.1 (о спектральном разложении). Любой нормальный оператор М, действующий в векторном пространстве Ъ', является диагональным в некотором ортонормированном базисе пространства И. Обратно: любой приводимый к диагональному виду оператор является нормальным. 2.1. Линейная алгебра 105 Дояалаижеъсгпво.
Второе утверждение — по существу простое упражнение, поэтому докажем только первое утверждение. Применим индукцию по размерности Н пространства И. В случае Н = 1 все очевидно. Пусть Л вЂ” собственное число оператора М, Р— проектор на собственное пространство, соответствующее собственному числу Л, Я вЂ” проектор на ортогональное дополнение к нему. Тогда М = (Р + фМ(Р + Я) = РМР+ЯМР+РМЯ+ЯМЦ. Очевидно, что РМР = ЛР. Далее, Я МР = О, поскольку оператор М переводит подпространство Р в себя. Кроме того, РМЯ = О. Чтобы доказать этот факт, возьмем вектор ~э) из подпространства Р. Тогда ММЦ~и) = М1МЯе) = ЛМ1)о).
Поэтому вектор МЦо) — собственный с собственным числом Л и, следовательно, лежит в педпростраистве Р. Из этого заключаем, что ЯМ1Р = О. Если применить к этому равенству операцию сопряжения, получим РМЯ = О. Поэтому М = РМР + ЯМЯ. Теперь докажем, что оператор ЯМЯ является нормальным. Действительно, ЯМ = ЯМ(Р + Я) = ЯМЯ, следовательно ЯМ1 = ЦМ1(Р + Я) = ЯМ1Я. Тогда (учитывая, что оператор М— нормальный, а Я = Я), имеем б)М4~(~М1~ = ~)М~М1б) = ЯММ1Я = ЯМ1МЯ = ЯМ1ЯМЯ = ЯМ" ЯЯМЯ, (2.37) (2.38) (2.39) (2.40) (2.41) так что оператор ЯМЯ является нормальным.
По индукции заключаем, что ЯМЯ вЂ” диагональный оператор в некотором ортонормированном базисе пространства Я, а относительно оператора РМР уже было доказано, что он диагональный в некотором базисе пространства Р. Отсюда следует, что М = РМР+ ЯМЯ вЂ” диагональный оператор в некотором базисе пространства У. Для представления в виде тензорного произведения это означает, что оператор М может быть записан в виде М = 2,. Л;(1) (1~, где Л; — собственные числа оператора М, ~з) — ортонормированный базис в И, а любой вектор нз набора р) является собственным вектором оператора М, соответствующим собственному числу Л;. В терминах проекторов это можно представить как М = 2,.
Л;Ро где Л; — собственные числа оператора М, Р; — проектор на собственное пространство оператора М, соответствующее собственному числу Ло Этя проекторы удовлетворяют условию полноты 2, Р; = 1 и образуют ортонормальный набор: Р;Р = 30Рь По определению тензорное произведение обладает следующими основными свойствами: 106 Глава 2. Введение в квантовую механику 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
