М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Для этого достаточно сделать несколько очень простых (и обоснованных) предположений относительно пространств состояний систем, которые мы будем изучать, и придерживаться их. Простейшей квантовомеханической системой (и при этом системой, которая будет чаще всего использоваться) является ирбита Пространство состояний кубита двумерно. Обозначим базисные векторы в нем как ~0) и )1). Тогда произвольный вектор состояния в этом пространстве может быль представлен в виде ~4) = а!О) + Ь! 1), (2.82) где а и Ь вЂ” комплексные числа. Поэтому условие единичности вектора ф) ((4)ф = 1) эквивалентно условию )а)з + )Ь|з = 1.

Условие (ф4) = 1 часто называют условием нормировки для векторов состояний. Будем использовать кубит как основную квантовомеханическую систему. Далее (гл. 7) мы узнаем, что существуют реальные физические системы, которые могут быть описаны с использованием кубитов.

Пока же нам достаточно рассматривать кубит как абстрактный объект, не указывая его конкретных реализаций. В наших обсуждениях всегда будет применяться ортонормированный базис из векторов ~0) и ~1), который следует считать зафиксированным заранее.

Неформально говоря, состояния ~0) и ~1) аналогичны двум значениям 0 и 1, которые может принимать бит. При этом кубит отличаегся от бита тем, что первый может находиться в супериозиции двух основных состояний (т. е. в состоянии вида а)0) + Ь)1)), и тогда невозможно утверждать с определенностью ни то, что кубит находится в состоянии ~0), ни то, что он находится в состоянии )1). Введем полезный термин, связанный с описанием квантовых состояний.

Будем говорить, что линейная комбинация 2, уф;) — суперпозиция состояний ~ф~) с амплитудой ся для состояния ~фД. Например, состояние !О) — )1) (2.83) есть суперпозиция состояний (О) и )1) с амплитудой 1/ъ~2 для состояния )О) и амплитудой — 1/~Г2 для состояния ~1). 116 Глава 2. Введение в квантовую механику 2.2.2 Эволюция Как будет меняться со временем состояние !ф) квантовомеханической системы? Описание такого изменения задается следующим постулатом. Постулат 2. Эволюция заманув»вй квантовой системы описывается унитарным преобразованием. Другими словами, состояние !Ч1) системы в момент времени $~ связано с ее состоянием !ф') в момент 1з посредством унитарного оператора У, зависящего только от моментов времени $~ и $з: (2.84) Квантовая механика не только не дает ответа на вопрос, о том, как устроено пространство состояний или квантовое состояние конкретной системы, но и не сообщает, какой оператор У описывает квантовомеханическую динамику реальной системы.

Она просто «гарантирует» надежное средство описания замкнутой квантовомеханической системы. Возникает очевидный вопрос: какие унитарные операторы было бы естественно рассмотреть? В случае одиночного кубита оказывается, что любой унитарный оператор может быть реализован в некоторой реальной системе. Рассмотрим несколько примеров унитарных операторов для одиночного кубита, которые играют важную роль в квантовых вычислениях и обработке квантовой информации. Выше было приведено несколько примеров таких операторов — матрицы Паули (подразд. 2.1.3), квантовые элементы (гл. 1). Как отмечалось в подразд. 1.3.1, матрицу Х часто называют квантовым г(ОТ по аналогии с классическим логическим элементом отрицания?4ОТ. Матрицы Паули Х и У также называют матрицами изменения би«па и пвревврачивания фазан матрица Х переводит !О) в !1) и !1) в !О), поэтому естественно говорить, что она изменяет бит; матрица Я оставляет вектор !О) неизменным, а !1) переводит в -!1), появляющийся дополнительный множитель -1 называют фазввюм множителем, что оправдывает термин «переворачивание фазы».

В подразд. 2.2.7 содержится дальнейшее обсуждение использования термина «фаза». Другим интересным оператором является элвменш Адамара, обозначаемый символом Н. Он определяется следующим образом: Н!О) гв (!О) + !1))/~/2, Н!1) ьз (!О) — /1))/~/2; в матричном представлении это выглядвп как (2.85) упражнение 2.51. Проверьте, что оператор Адамара Н является унитарным.

з'пражнение 2.52. Докажите, что Нз = 1. упражнение 2.53. Чему равны собственные числа и собственные векторы оператора Н? Для использования постулата 2 необходимо, чтобы описываемая система была замкнутой. Иными словами, она не должна взаимодействовать каким- 2.2. Постулаты квантовой механики 117 либо образом с другими системами. В действительности же все системы (кроме Вселенной в целом) взаимодействуют с какими-то системами.

Тем не менее существуют интересные системы, которые могут быть с хорошей точностью описаны как замкнутые и эволюция которых таким образом с хорошей точностью задается унитарным оператором. Заметим также, что в принципе любая открьггая система может быть описанв как часть большей замкнутой системы (Вселенной), эволюция которой может быть задана унитарным оператором. Ниже будут введены новые средства для оцисания эволюции открытых систем, однэко пока мы будем изучать только поведение замкнутых систем.

Постулат 2 показывает, квк связаны между собой состояния замкнутой квантовой системы в два разных момента времени. Можно указать уточненный вариант этого постулата, который описывает эволюцию квантовой системы в дифференциальной форме.

Из этого уточненного постулата мы восстановим постулат 2. Однако прежде чем сформулировать по-новому постулат, хотелось бы отметить два обстоятельства. Во-первых, оператор Н, который вводится в постулате 2' и используется в дальнейшем, не совпадает с введенным выше оператором Адамара. Во-вторых, в постулате 2' используется аппарат дифференциальных уравнений. Заверяем читателей, не очень хорошо знакомых с теорией дифференциальных уравнений, что она не понадобится нигде в нашей книге, кроме некоторых разделов гл. 7, где обсуждаются конкретные физические реализации систем обработки квантовой информации.

Постулат 2'. Эволюция состояния замкнутой квантовой системы во времени описывается уравнением Шредикеера (2.86) В этом уравнении Ь вЂ” физическая постоянная, называемая посшоянной Планка, и ее значение подлежит определению в эксперименте. Нас не будет интересовать ее точное значение. У теоретиков принято включать множитель 6 в состав оператора Н, что фактически означает приравннвание этого множителя к единице. Буквой Н обозначен фиксированный для данной системы эрмитов оператор, называемый гамиаьтонианам замкнутой системы. Если известен гамильтониан системы (предполагается, что значение посто- явной й определено), можно получить полное представление о динамике системы (по крайней мере в принципе).

Вообще говоря, нвхождение гамильтоннана (необходнмого для описания конкретной физической системы) — очень сложная задача; значительная часть задач физики ХХ в. заключалась именно в этом; для решения указанной задачи требуется большое количество данных, определяемых в экспериментах. С нашей точки зрения конкретный вид гамильтониана„необходимого для описания атомов в той или иной конфигурации,— детвиизацая, которая должна обсуждаться в физических теориях, построенных в рамках квантовой механики, а не в теории квантовой механики как таковой. В большей части материала о квантовых вычислениях и обработке квантовой информации гамнльтонианы рассматриваться не будут.

Когда они все-таки будут обсуждаться, мы будем просто начинать с утверждения, что 2.2. Постулаты квантовой механики 119 вием гамильтонианов. В большей части нашей книги мы будем использовать первое из этих двух описаний. Упражнение 2.54. Пусть А и  — коммутирующие эрмитовы операторы. Докажите, что ехр(А) ехр(В) = ехр(А + В). ( Указание: Используйте результаты, полученные в подразд. 2.1.9.) Упражнение 2.55.

Докажите, что оператор П(1м1з), определенный в урав- нении (2.91), является унитарным. Упражнение 2.56. Используя спектральное разложение, покажите, что для любого унитарного оператора П оператор К = — 1 1об(П) является эрмитовым, а следовательно, П = ехр(1К) для некоторого эрмитова оператора К. В теории квантовых вычислений и обработки квантовой информации мы часто будем говорить о примеиекии того или иного унитарного оператора для конкретной квантовой системы.

Например, при обсуждении квантовых схем будет рассмотрен вопрос о действии унитарного элемента Х на одиночный кубит. Не противоречит ли это введенному выше тезису о том, что унитарные операторы описывают эволюцию замкну»пой квантовой системы? В конце юнцов ведь если говорится, что мы применяем унитарный оператор, то подразумевается, что существует внешнее «мы», взаимодействующее с квантовой системой, т. е. система не является замкнутой.

Примером подобной ситуации является фокусировка лазерного луча на атоме. Напряженно потрудившись, можно написать гамильтониан, задающий систему атом-лазер. Интересна следующая особенность такого гамильтониана. Если рассматривать эффекты, относящиеся только к атому, то оказывается, что поведение атома почти полностью, хотя и не идеально, описывается другим гамильтонцаном — самолето»«ианом атома. Он содержит члены, связанные с интенсивностью и другими параметрами лазера, которые можно изменять. Все выглядит так, яоя есло бы эволюция атома описывалась гамильтонианом, который Можно менять, хотя атом и не является замкнутой системой. В заключение отметим, что во многих случаях оказывается возможным написать псрсмс»«яый ео еременп гамильтониан квантовой системы, который зависит от параметров, находящихся под управлением экспериментатора.

Характеристики

Список файлов книги