М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пусть р — оператор плотности. Покажите, что Ьг(р ) < 1, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда матрица р описывает чистое состояние. Легко сделать следующую (распространенную) ошибку: решить, что собственные числа и собственные векторы матрицы плотности имеют особое значение для ансамбля квантовых состояний, представляемых данной матрицей плотности. Например, можно было бы предположить, что квантовая система, описываемая матрицей плотности р = ->о)(о)+ -!1)(1!, 3 1 (2.162) находится с вероятностью 3/4 в состоянии !0) и с вероятностью 1/4 в состоя- нии !1). В действительности, все может оказаться по-другому.
Пусть !а) = )/-!О)+ ~/-)1), 1' 4 \~4 )Ь> = ),(-!0) — ~/->1) '1' 4 Ч4 (2.163) (2.164) и квантовую систему приготавливают с вероятностью 1/2 в состоянии !а) и с вероятностью 1/2 в состоянии !Ь) . Тогда легко проверить, что соответствующая матрица плотности описывается выражением р = -!а)(а)+ -!Ь)(Ь! = -)0)(0!+ -!1)(Ц. 1 1 3 1 (2.165) Таким образом, эти два разных ансамбля квантовых состояний порождают одинаковые матрицы плотности.
Вообще говоря, собственные векторы и собственные числа матрицы плотности просто указывают на один из возможных ансамблей, которому соответствует некоторая конкретная матрица плотности, и нет никаких причин считать, что этот ансамбль чем-то выделен по сравнению с остальными. Отсюда возникает естественный вопрос — как устроен класс ансамблей, порождающих данную матрипу плотности? Приведенное ниже решение этой задачи очень часто используется в квантовых вычислениях и обработке квантовой информации, особенно при рассмотрении квантового шума и исправления ошибок в квантовых вычислениях (гл. 8 и 10).
Для этой цели удобно использовать векторы !6ч), которые могут быть не нормированы на единицу. Будем говорить, что набор векторов !4;) порождает оператор р = — 2; !6Ч)(4!, а следовательно, связь с обычным описанием операторов плотности будет задаваться равенством ф) = /р;!фД. Возникает вопрос: когда два набора векторов (!чч) и !у;)) определяют один и тот же оператор р? Ответ на этот вопрос поз- 2.4. Оператор плотности 143 вопит решить задачу о том, какие ансамбли формируют заданную матрицу плотности. Теорема 2.6 (уннтарная свобода в представлении матрицы плотно- сти).
Наборы ф1) и (уч) порождают одну и ту же матрицу плотности тогда и только тогда, когда ~%!Фд =Яип Л'Ю (2.167) с некоторой унитарной матрицей сч ", в этом случае можно расширить меньший из ансамблей состояниями, встречающимися с нулевой вероятностью, чтобы количество векторов в ансамблях стало одинаковым. Таким образом, теорема 2.6 описывает свободу в выборе ансамблей (р;, !фД), порождающих матрипу плотности р. Легко проверить, что наш предыпущий пример матрицы плотности с двумя разными разложениями (см. уравнение (2.162)) возникает как частный случай этою общего утверждения. Перейдем к доказательству теоремы.
Доиазвглелъсгпво. Пусть !6ч) = Я сч !~р ), где и; — элементы некоторой унитарной матрицы. Тогда имеем ~!М(Ф*.! =Я п12п~М1)(Ы =Е К 1и !Ф)(у ! бьу )У 1) (Д,! хв = ~~'„!'Р1) (Ру! (2.168) (2.169) (2.170) (2.171) откуда следует, что наборы !ф;) и )у ) задают один и тот же оператор плотности. Докажем теперь обратное утверждение. Предположим, что (2.172) Й) =',„-нп!-У), (2.166) где комплексные числа ип задают унитарную матрицу. Тот набор из векторов !Ф;) и Д;), который содержит меньше элементов, следует дополнить нулевыми векторами так, чтобы в обоих наборах векторов стало поровну.
Отметим такое следствие этой теоремы: р = ~;Р'!т1)(эМ! = ~ 191!Ру)(Р1! для нормированных состояний ф;) и (~оу) с соответствующими вероятностями Р; и 91 тогДа и только тогда, когДа выполнЯетсЯ Равенство 144 Глава 2. Введение в квантовую механику Пусть А = 2 ь Ль(й)(й( — такое разложение оператора А, что состояния ~й) ортонормированы, в все числа Ль строго положительны. Наша идея заключается в том, чтобы связать состояния )фД с состояниями )й) ш ~/Ль~й), а также аналогичным образом связать состояния ~~р ) и ~й). Скомбинировав эти соотношения, получим нужный результат. Пусть ~ ф) — произвольный нормированный вектор, ортогонэльный пространству, порождаемому набором ~й): (ф)й)(й)ф) = О для всех л. Тогда нетрудно заметить, что О = (фАф) = ~~~ (т/фР)(Ф!4ч) = ~~~, !(ф~ф)!'.
(2.173) Следовательно, (фф;) = О для всех 1 и всех нормированных векторов !ф), ортогонвльиых к пространству, порождаемому набором ~й). Поэтому любой вектор ~фД может быть представлен в виде линейной комбинации векторов ~й): (ф;) = 1',ь с в (й). Поскольку А = ) ь )й) (й~ = ~, (4~;) (4; (, можно заключить, что (2.174) 1. Покажите, что произвольная матрица плотности для смешанного состояния кубита может быть записана в виде 1+г сг Р= 2 (2. 175) где г — такой трехмерный действительный вектор, что Я < 1. Этот век- тор называют секторам Блоха для состояния р.
2. Чему равен вектор Блоха для состояния р = 1(27 3. Покажите, что состояние р является чистым тогда и только тогда, когда !Л =1. 4. Покажите, что для чистого состояния приведенное в данном упражнении описание через вектор Блоха совпадает с тем, которое приводилось в рвзд. 1.2. Легко видеть, что операторы ~й)(У~ линейно независимы, поэтому ~ „. с,вст —— аю. Отсюда следует, что можно добавить дополнительные столбцы к матрице с,ю чтобы получить такую унитарную матрипу с, что фД = 1,„и;ь~й) (в последнем равенстве добавлены нулевые векторы к набору ~й)). Аналогично можно найти такую унитарную матрицу ю, что ~<р~) = ~',ь и ь~й).
Таким образом, рР;) = 2 ' о; ~~р ), где и = юи1 — унитарная матрица. Упражнение 2.72 (сфера Блоха для смешанных состояний). Понятие сферы Блоха для чистых состояний одиночного кубита было введено в резд. 1.2. Оно допускает приводимое ниже важное обобщение на смешанные состояния. 2.4. Оператор плотности 145 Упражнение 2.73. Пусть р — оператор плотности. Минимальный ансамбль, порождающий р, — это такой ансамбль (ри АД, число элементов в котором равно рангу оператора р.
Рассмотрим любое чистое состояние ~гд) из носителя оператора р. (Носитпелгм эрмитова оператора А называется векторное пространство, порожденное собственными векторами оператора А, соответствующвми ненулевым собственным числам.) Покажите, что состояние ф) входит в некоторый минимальный ансамбль, определяющий р, причем вероятность состояния (ф) в любом содержащем его минимальном ансамбле, порождающем р, задается формулой 1 (Ф'~р-'Ю ' где р 1 — оператор, обратный оператору р; при этом р рассматривается как оператор, действующий только на своем носителе. (Такое определение корректно и в том случае, когда у самого оператора р нет обратного.) 2.4.3 Редуцированный оператор плотности Возможно, наиболее содержательное применение оператора плотности — использование его как средства для описания подсистем составных квантовых систем.
Такое описание выполняется с помощью редуцированного операглора плсганосгли, который и рассматривается в данном подразделе. Этот оператор настолько полезен, что практически всегда встречается в анализе составных квантовых систем. Предположим, мы взяли две квантовые системы (А и В) и состояние составной системы описывается оператором плотности рлн. Редуцированный оператор плотности для системы А определяется соотношением рл = — Ьгн(р ~) (2.177) где Ьгн — отображение операторов, называемое частичным следом по систе- ме В. Частичный след определяется следующим образом: СгнЦа1)(аг~ З !Ь1)(Ьз!) = ~а1)(аг~ СгЦЬ1)(Ьз~), (2.178) где )а1) и )аз) — два произвольных вектора состояния системы А, (Ь1) и )Ьз)— два произвольных вектора состояния системы В. Операция взятия следа в правой части — обычное взятие следа в системе В (гг()Ь1)(Ьг() = (Ьэ(Ь1)).
Мы определиди частичный след только для специального подкласса операторов, действующих на пространстве состояний системы АВ; для завершения описания следует, чтобы в дополнение к уравнению (2.178) частичный след был линеен по аргументу. Пе очевидно, что редуцированный оператор плотности для системы А в каком-либо смысле задает описание состояния системы А. Физическое обоснование таково: редуцированный оператор плотности дает правильную статистику для измерений, выполняемых над системой А. Это объясняется более подробно во вставке 2.6.
В качестве примера приведем несколько простых 146 Глава 2. Введение в квантовую механику Вставка 2.6. Почему должен оставаться частичный след? Почему для описания части, входящей в некую квантовую систему, используется именно частичный след? Причина такова. Оператор частичного следа является единственным оператором, приводящим к правильному описанию наблюдаемых величин для подсистемы составной системы. Укажем точную формулировку этого утверждения. Пусть М вЂ” наблюдаемая, относящаяся к системе А; имеется измерительное устройство с помощью которого можно измерить величину М. Обозначим через М соответствующую наблюдаемую для того же измерения, выполненного над составной системой АВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
