М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Сейчас мы хотим доказать, что М обязательно совпадает с М З 1в. Обратите внимание, что если система АВ приготовлена в состоянии ~т)ф), где ~т) — собственное состояние оператора М с собственным числом т, а ф) — произвольное состояние системы В, то измерительное устройство должно с единичной вероятностью выдать после измерения результат т.
Таким образом, если Р,„— проектор на собственное подпространство оператора М, соответствующее собственному значению т, то соответствующий проектор для оператора М равен Р 8 1в. Следовательно, имеем М=~ тР З1в=М®1в. (2.179) ~г(Мрл) = 1г(гарля) Сг((М ® 1в)рлв) (2.180) Это уравнение, конечно, вы?юлняется, если принять р ьэ 1гв(р~~). Действительно, частичный след оказывается единственной функцией, обладающей таким свойством. Чтобы убедиться в единственности, обозначим через 1( ) произвольное отображение множества операторов плотности системы АВ во множество операторов плотности системы А, обладающее свойством для всех наблюдаемых М.
Пусть М; — ортонормированный базис в пространстве эрмитовых операторов со скалярным произведением Гильберта-Шмидта (Х, У) ы Фг(ХУ) (сравните с упражнением 2.39). Тогда разложение оператора 1(рлв) по этому базису дает Фг(МДр )) = Фг((М 8 1в) рл ) (2.181) На следующем шаге необходимо показать, что процедура взятия частичного следа дает правильную статистику измерений при наблюдении за частью системы. Предположим, выполняется измерение над системой А, описываемое наблюдаемой М.
Согласно требованию физической непротиворечивости, усредненный результат измерения не должен зависеть от способа образования смеси рл в системе А. Вычисляя его с помощью матриц рл и через рлв, получим следующее равенство: 2.4. Оператор плотности 147 вычислений, в которых используются редуцированные операторы плотности. Представьте себе, что квантовая система находится в состоянии, описываемом тензорным произведением р"и = р ® о, где р и и — операторы плотности для систем А и В соответственно. Тогда р4 = Сгн(р З <т) = р Сг <т = р, (2.184) что и следовало ожидать в соответствии с интуитивными представлениями. Аналогично в этом состоянии р = сг.
Менее тривиальным примером служит состояние Белла 000) + )11))/~/2. Его оператор плотности равен ! ОО)+ !И) ~ /(ОО!+ (СЦ ~/2 / С, ч'2 (2.185) !ОО)(00!+ ~11)(00~+ ~00)(1Ц+ !11)(1Ц (2.186) Взяв след по второму кубиту, найдем редуцированный оператор плотности для первого кубита: р = Сгзр Сгз(~00) (00~) + Сгз 011) (000 + Сгз(!00) (1Ц) + Сгз(/11)(1Ц) (2.187) (2.188) 2 ~0)(0/(О!0) + ~1)(0~(0!1) + ~0)(Ц(ЦО) + !1)(Ц(Ц1) (2.189) ~0)(0! + !1)(Ц (2.190) 2 1 2 (2.191) Обратите внимание, что это состояние является смешанным, поскольку Сг((7/2)з) = 1/2 ( 1. Это поистине замечательный результат.
Состояние системы, содержащей оба кубита, является чистым, т. е. известно точно; тем не менее первый кубит находится в смешанном состоянии, т. е. в состоянии, о котором наши знания неполны. Это странное свойство — существование такого состояния всей системы, которое нам известно точно, при том что ее составная 148 Глава 2. Введение в квантовую механику Квантповвя пта«епортпация и редуцированный операпитр пяотпностпи Полезным приложением редуцированного оператора плотности является анализ квантовой телепортации. Напомним сказанное в подразд. 1.3.7. Квантовой телепортацией называют процедуру передачи квантовой информации по классическому каналу от Алисы к Бобу при условии, что онн заранее разделили между собой кубиты ЭПР-пары.
На первый взгляд кажется, что телепортацию можно использовать для передачи сообщения со скоростью, превышающей скорость света, что является главным «табу» теории относительности. В подразд. 1.3.7 мы предположили, что запрет на передачу сообщения со скоростью, большей скорости света, в данном методе возникает из-за необходимости передать Бобу результат измерения Алисы. Редуцированный оператор плотности позволяет строго обосновать эту идею. Напомним, что непосредственно перед тем, как Алиса выполнит свое измерение, квантовое состояние трех кубитов задается следующим вектором (уравнение (1.32)): фз) — — []00)(а]0) + Д1)) + ]01)(а]1) + ДО)) + ]10)(а]0) — Д1)) + ]11)(а]1) — ДО)) .
(2.192) Состояние системы сразу после измерения, проведенного в вычислительном базисе Алисы, можно записать как ]00) [а]0) + Д1)] с вероятностью —, 1 (2.193) 1 ]01) [а]1) + ДО)] с вероятностью —, 1 [10) [а]0) — тт]1)] с вероятностью —, (2.195) 1 ]11) [а]1) — ДО)] с вероятностью —. 4 (2.196) Таким образом, оператор плотности имеет вид р = — []00) (00](а]0) + Д1) )(а" (О] + 17*(Ц) + ]01) (ОЦ(а]1) + ДО) )(а'(Ц + )3'(О]) + ]10)(10](а]0) — Д1))(а'(0] — »т'(Ц) + ]Щ(1Ц(а]1) — тт]0))(а*(Ц вЂ” ~8'(0]) .
(2.197) (2.194) часть находится в смешанном состоянии, — отличительный признак квантового запутывания. 'Упражнение 2.74. Пусть система, состоящая из систем А и В, находится в состоянии ]а) ]8), где ]а) и ]6) — чистые состояния соответственно систем А и В. Покажите, что редуцированный оператор плотности системы А соответствует чистому состоянию.
'Упражнение 2.75. Найдите редуцированные операторы плотности для каж- дого кубита в каждом из четырех состояний Белла. 2.5. Разложение Шмидта и расширение до чистого состояния 149 Взяв след от системы Алисы, можно видеть, что редуцированный оператор плотности системы Боба выглядит как р = — ((а!0) +,Д1))(а*(0!+ 13'(Ц) + (а!1) + ДО))(а*(Ц + В'(О!) + (а!0) — Д1))(а'(О! —,3*(1~) + (а!1) — ДО))(а'(Ц вЂ” )3'(О!)! (2.198) 2(!а!г+ фг)(0)(0!+ 2(!а!г+ фг)!1)(Ц 4 /0)(0! + !1)(Ц 2 (2.201) в последнем равенстве использовано условие полноты. Таким образом, состояние системы Боба посае того, как Алиса провела свое измерение, но до того, как Воб узнал его результат, задается матрицей 1(2.
Это состояние не зависит от переданного при телепортации состояния !ф), поэтому любое измерение, сделанное Бобом до того, как он узнает результат измерения Алисы, не будет содержать никакой информации относительно состояния !ф), а это как рез и означает, что Алисе не удастся использовать телепортацию для передачи информации Бобу со скоростью, превышающей скорость света.
2.5 Разложение Шмидта и расширение до ЧИСТОГО СОСТОЯНИЯ !ф) = ~Лг!ал)!гв) (2.202) где Л; — неотрицательные действительные числа, удовлетворяющие условию 2 'г Лг = 1; их называют коэффициентами Шмидта. Это утверждение очень полезно. Чтобы осознать его важность, рассмотрим такое его следствие. Пусть |ф) — чистое состояние составной системы АВ. Тогда, согласно теореме 2.7, состояния систем А и В задаются соответственно матрицами р" = ~ г Лг!1л)(1л! н р = 2, Лг)1в)(4в!, поэтому собственные числа матриц рл и ри одинаковы и равны Лг. Многие важные характеристики квантовых систем выражаются через собственные числа редуцированных операторов плотности соответствующих систем, поэтому в чистом Операторы плотности и операция взятия частичного следа — только первые инструменты, полезные при изучении составных квантовых систем, являющихся ключевым понятием в теории квантовых вычислений и в обработке квантовой информации.
двумя другими широко применяемыми инструментами являются разложение Шмидпи и расширение до чистого состояния. В данном разделе мы введем эти понятия и попытаемся объяснить их важность. Теорема 2.7 (разложение Шмидта). Пусть |ф) — чистое состояние составной системы АВ. Тогда существуют такие ортонормированные состояния !1л) системы А и ортонормированные состояния !1и) системы В, что 150 Глава 2. Введение в квантовую механику состоянии составной системы такие характеристики одинаковы для обеих подсистем.
Например, рассмотрим состояние двух кубитов, задаваемое вектором (!00) + !01) + )11) )/~/3. Оно не обладает никакой очевидной симметрией, ио если вычислить эг((рл) э) и Сг((рв) э), то результат в обоих случаях будет равен 7/9. Это не что иное как следствие теоремы о разложении Шмидта. Доиазвпэелъспэво. Приведем доказательство для случая, когда размерности пространств состояний систем А и В равны.
Общий случай предлагается доказать в упр. 2.76. Пусть !Я и !й) — фиксированные ортонормированные базисы соответственно систем А и В. Тогда вектор ф) может быть переписан в виде ф) = ~~~ азь)Я!й), (2.203) где а — матрица с комплексными коэффициентами а.ь. Мы можем воспользоваться разложением по сингулярным числам: а = исЬ, где о' — диагональная матрица с неотрицательными элементами, а и и — унитарные матрицы. Таким образом, имеем )Ф) = ~~,чбте Ы)й) (2.204) ель Введем обозначения )1л) эз Я ю ч)у), !гв) ги 2„ев!й), Лз гя Ии.
Тогда получим равенство )Ф) = ~~~ Л;)1л))гв). (2.205) Легко проверить, что векторы !1л) образуют ортонормированный набор (это следует из унитарности матрицы и и ортонормированности набора !Я); аналогичное утверждение верно для !1в). Упражнение 2.76. Докажите теорему 2.7 о разложении Шмидта для общею случая, когда размерности пространств состояний систем А и В не совпадают. 'Упраокнение 2.77. Пусть АВС вЂ” квантовая система, состоящая из трех отдельных систем.
Покажите (приведите пример), что существуют такие квантовые состояния )ф) этой системы, которые нельзя представить в виде (2.206) !ф) = ~~~ Лв!ЙА)!$В)!1С)1 где Л; — действительные числа, !1л), !гв) и !1в) — ортонормированные базисы соответствующих систем.
Базисы !гл) и !1в) называют йиисами Шмидта соответственно для систем А и В, а количество ненулевых значений Л; — числам Шмидтпа для состояния !ф). Число Шмидта является важной характеристикой составной квантовой системы, определяющей в некотором количественном смысле степень запутывания между собой систем А и В.
Чтобы получить представление об этой связи, рассмотрим слевующее очевидное, но важное свойство: число Шмидта 2.5. Разложение Шмидта и расширение до чистого состояния 151 )АВ) аэ ~~~ ~/рДегл))Р). (2.207) Теперь вычислим редуцированный оператор плотности для системы А, соот- ветствующий состоянию ~АВ): сгн(!АВ)(АВ~) = ~Л,/р рд~4'")Ц ~ сгД4 )(у ~) = ~ЛИ')(у'Я', р;!г' )(1 ! (2.208) (2.209) (2.210) 1 А (2.211) Таким образом, ~АВ) — расширение состояния рл до чистого. Отметим тесную связь разложения Шмидта с расширением до чистого состояния: расширение смешанного состояния р системы А до чистого состоит в сохраняется при унитарном преобразовании только системы А или только системы В.
Чтобы проверить это, заметим, что если 2 г Л;~44) ~гя) — разложение Шмидта для вектора Ср), то Я, Лги~14))~ьн) — разложение Шмидта для У(Ф) ( — унитарный оператор, действующий только на систему А). Такого рода свойства алгебраической инвариантности делают число Шмидта очень полезным инструментом.
Упражнение 2.78. Докажите, что состояние ~гд) составной системы АВ может быть представлено в виде произведения состояний систем А и В тогда и только тогда, когда его число Шмидта равно 1. Докажите, что ~ф) можно представить в виде произведения состояний тогда и только тогда, когда р (а Следовательно и рв) — чистое состояние. Второй технический прием для применения в квантовых вычислениях и обработке квантовой информации — расширение до чистого соппояния. Предположим, задано состояние р'4 квантовой системы А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
