М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Мир ие является локально реалистичным. Большинство физиков считают, что при правильном квантовомеханическом подходе должно быть опущено именно предположение о реализме, в то время как другие, напротив, полагают, что следует отказаться от предсгавления о локальности. Как бы то ни было, неравенство Белла и надежные экспериментальные проверки приводят к заключению, что либо реализм, либо локальность, либо их обоих следует исключить из картины мира, чтобы получить хорошее интуитивное понимание квантовой механики. Какие уроки можно извлечь из неравенства Велла для квантовых вычислений и обработки квантовой информации? Исторически наиболее полезным уроком, наверное, был самый труднообъяснимый: в запутанных состояниях, например, в ЭПР-парах, есть нечто принципиально важное.
Многие достижения в области квантовых вычислений, тем более в теории квантовой информации, выросли из вопроса: «Что дает запутывание для данной задачи?» Как мы 160 Глава 2. Введение в квантовую механику поняли из рассмотрения телепортации и сверхплотного кодирования (и как мы будем узнавать неоднократно на протяжении остальной части книги), вводя в задачу запутывание, мы добавляем новые возможности, немыслимые в рамках классической теории информации. С более общей точки зрения, неравенство Белла показывает, что запутывание — принципиально новый ресурс, который существенно въжодит за классические рамки.
(Образно говоря, классические взгляды можно сравнить с бронзовым веком, а запутывание — с появлением железа.) Главная задача квантовцх вычислений и обработки квантовой информации состоит в использовании этого Нового ресурса для решения задач, неразрвшимых или труднорешаемых с помощью только Классических средств. Задача 2.1 (фуикции от матриц Паули). Обозначьте через у( ) функцию, отображающую множество комплексных чисел в себя. Пусть б — нормированный вектор в трехмерном пространстве, Π— произвольное действительное число. Покажите, что ДО) + г( — О) у(О) — Д вЂ” О) (2.231) Задача 2.2 (свойства числа Шмидта).
Пусть !ф) — чистое состояние со- ставной системы, содержащей системы А и В. 1. Докажите, что число Шмидта вектора ~ф равно рангу редуцированной матрицы плотности рл -= Сгн®)(ф). (Обратите внимание, что ранг эрмитова оператора равен размерности его носителя.) 2. Пусть рр) = ~ (оо)фз) — представление вектора )ф, где )а ) и (Д)— соответственно состояния систем А и В (вообще говоря, не обязательно нормированные).
Докажите, что число членов в таком разложении не меньше Ясй(ф) — числа Шмидта вектора ~Ф). 3. Пусть |ф) = а~~р) + р) у). Докажите, что (2.232) ЯсЦф) > ~ Ясй(~о) — Ясп( у)). Задача 2.3 (неравенство Цирельсона). Пусть Я = о о, В = г о, Я = в У, Т = К д, где о, г", в и 1 — единичные векторы в действительном трехмерном пространстве. Покажите, что (4) Э Я+ В Э Я + В Э Т вЂ” Я Э Т) = 41+ [Я, й) Э (Я, Т). (2 233) Используя этот факт, докажите, что (Я Э Я) + (В Э Я) + (ВЭТ) — (ЯЭТ) < 2~/2, (2.234) т. е.
отклонение от неравенства Белла, полученное в уравнении (2.230), явля- ется максимально возможным в рамках квантовой механики. 2.6. Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена и неравенство Белла 161 История и дополнительная литература Существует огромное количество книг по линейной алгебре самого разного уровня сложности.
Нам больше всего нравится двухтомник Хорна и Джонсона [183, 184], который охватывает большое количество тем, изложенных в доступном для понимания стиле. Другими полезными справочными пособиями являются книги Маркуса и Минка [288), а также Бхатиа [53]. Также хорошие введения в линейную алгебру содержатся в книгах Халмоша [175], Перлиса [317) и Стренга [376].2 Издано много отличных учебников по квантовой механике. К сожалению, в большей части из них описываются вопросы, имеющие слабое отношение к квантовым вычислениям и обработке квантовой информации. Наиболее подходящей является прекрасная книга Переса [319]. Помимо исключительно ясного изложения элементарной квантовой механики автор подробно останавливается на неравенстве Велла и связанных с ним фактах.
Среди хороших учебников вводного уровня следует отметить книгу Сакурая [346], третий том замечательного курса лекций фейнмана, Лейтона и Сэндса [151], а также двухтомник Коэна-Таннуджи, Диу и Лалоэ [107, 108). Все три упомянутых учебника несколько ближе к теме квантовых вычислений и обработки квантовой информации, чем остальные пособия по квантовой механике, хотя и в них содержится много материала, не имеющего отношения к теме нашей книги. Поэтому если вы хотите ознакомиться с квантовыми вычислениями и обработкой квантовой информации, нет необходимости читать какой-либо из этих трех учебников полностью. Тем не менее каждая из трех указанных книг может оказаться полезной в качестве справочника, особенно при чтении физических статей.
Ссылки на историю квантовой механики содержатся в конце гл. 1.8 Во многих текстах по квантовой механике используются только проективвые измерения. Для применения к квантовым вычислениям и обработке квантовой информации более удобно (и, как мы полагаем, более просто для начннающвх) начинать с общего описания измерений, в котором проективные измерения рассматриваются как частный случай. Естественно, как было показано выше, в конечном счете оба этих подхода оказываются эквивалентными. Теория измерений общего вида, которую мы использовали, была разработана между 40-ми и 70-ми гг.
ХХ в. Значительная часть исторических вопросов содержится в книге Крауса [229[. Интересное обсуждение, связанное с квантовыми измерениями, имеется в равд. 2.2 книги Гардинера [159], а также у Брагинского и Хахили [55). В равд. 2.2.6 работы Переса [318] описываются РОЧМ- Из имеющихся на русском языке учебников можно порекомендовать следующие Кострикин А.И., Манин ЮИ Линейная алгебра и геометрия М Изд-во МГУ, 1980; Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре М-Л Государственное издательство технико- теоретической литературы, 1962. — Прим.
верее. Из книг по квантовой механике на русском языке советуем обратить внимание на такие, как Ландау Л Д. и Лифшиц Е М Теоретическая физика том 111. (Квантовая механика. иерелятивистская теория) М . Физматлит, 2001; Галицкий В М, Корнаков В.М., Коган В.И Задачи по квантовой механике. М Наука, 1981; Фейнман Р, Лейтон Р, Сеиде М Фейнме новские лекции по физике.
Вып 8 Квантовая механика (1) 1966 Вып 9 Квантовая механика (П) 1967. Мх Мир — Прим. нерее 162 Глава 2. Введение в квантовую механику измерения для различения неортогонавьных состояний. Дальнейшее развитие этого направления, описанное в упражнении 2.64, восходит к книге Дуана и Гуо [119!. Сверхплотное кодирование было разработано Беннеттом и Визнером [76]. Эксперимент, по реализации сверхплотного кодирования с помощью запутанных фононных пар выполнили Меттл, Вайнфуртер, Квят и Цайлингер [299].
Формализм операторов плотности был введен независимо Ландау [233] и фон Нейманом [403]. На унитарную свободу в представлении матриц плотносги (см. теорему 2.6) впервые указал Шредингер [349], позже она была открыта независимо Джейнсом [199], а также Хьюстоном, Йожа и Вуттерсом [186].
Результаты упр. 2.73 взяты из статьи Джейнса, а упр.2.81 и 2.82 — из работы Хьюстона, Йожа и Вуттерса. Класс распределений вероятностей, которые могут появляться в разложении матриц плотности для заданной матрицы, исследовался Ульманом [390] и Нильсеном [305].
Знаменитое разложение Шмидта появилось в работе [348]. Результат упражнения 2.77 получен Пересом [320]. ЭПР-эксперимент придуман Эйяштейном, Подольским и Розеном [143], а его видоизмененная форма, в которой он описывается в нашем учебнике, восходит к Бому [64]. Иногда его ошибочно называют «парадоксом Эйнштейна- Подольского-Розенаь. Неравенство Белла назвало в честь Белла [43], впервые получившего неравенство аналогичного типа. В том виде, в котором оно приведено в нашем учебнике, это неравенство выведено Клаузером, Хорне, Шимоня и Хольтом [86] (поэтому его часто называют СНЯН-неравенством).
Последнее неравенство было независимо получено Беллом, который не опубликовал свой результат. Часть 3 задачи 2.2 восходит к Таплиялу (частное оюбщение). Неравенство Цирельсона появилось в работе [387]. Глава 3 ВВЕДЕНИЕ В ИНФОРМАТИКУ Когда мм занимаемся естпестпвеинътми науками, то имеем дело с мирам, который нам дала Природа, и нам остаетпся только открыть его законы. Когда мм имеем дело с компьютером, то можем внести в него свои законът и создать свой мир. Алан Кей Наша наука все еще находится в эмбриональной стадии. Это прекрасно, что у нас нет двухтыслчелетпней истпории.
Мът все еще на тпом этапе, когда очень и очень важные результатът полвляютсл прямо у нас на глазах. Майкл Рабин об информатике Ключевое понятие информатики — алгорипъм. Алгоритм — это точный рецепт ютполнения какой-либо задачи (пример: алгоритм сложения чисел в столбик, который мы все изучаем в детстве). В этой главе мы даем набросок части современной теории алгоритмов, развившейся в связи с компьютерами.
Нашей основной моделью для алгоритмов будет машина Тьюринга. Это — идеализированное вычиолительное устройство, похожее на современный персональный компъютер, но с более простой системой команд и неограниченной памятью. То, что машины Тьюринга на первый взгляд очень просты, не должно вводить в заблуждение: это очень мощные устройства. Мы увидим, что с их помощью можно выполнять любые алгоритмы, даже такие, которые выполняются на гораздо более мощных компьютерах. Основной вопрос, в котором мы постараемся разобраться при изучении алгоритмов, состоит в выяснении того, какие ресурсы нужны для решения задачи.
Этот вопрос естественно распадается на две части. Во-первых, хотелось бы выяснить, какие вычислительные задачи разрешимы, лучше всего предъявляя конкретные алгоритмы для решения задач. Например, есть много хороших алгоритмов для быстрой сортировки последовательности чисел в возрастающем порядке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
