М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Такой У удобно представить в виде блоч- ной матрицы: [Е| ) [Ез[ [Ез! [Е4) (8.42) в базисе [еь) . Заметим, что элементы преобразования Еь определяют только первую колонку блоков этой матрицы (в отличие от других ситуаций здесь удобно, чтобы первый индекс соответствовал состоянинм среды, а второй — основной системы). Определение оставшейся части матрицы остается за нами, мы просто выбираем эти элементы таким образом, чтобы У был унитарным. Заметим, что в соответствии с результатами гл. 4, У может быть реализован квантовой схемой.
Метод, к которому мы собираемся перейти, состоит в следующем. Прежде всего мы намереваемся забыть все, что узнали о квантовых преобразованиях и начать заново определять квантовые преобразования в соответствии с набором аксиом, которые обоснуем физически. Сделан это, докажем, что отображение б удовлетворяет этим аксиомам в том и только в том случае, если может быть представлено операторной суммой, тем самым установив недостающую связь меж„лу абстрактными аксиоматическими формулировками и нашими предьь дущими рассуждениями.
Мы определяем квантовое преобразование Е как отображение из множества операторов плотности исходного пространства Яз во множество операторов плотности результирующего пространства Яз, удовлетворяющее следующим систем, взаимодействующих с окружающей средой. Теперь мы собираемся перейтн к другой точке зрения — попытаемся записать физически осмысленные аксиомы, которым, как мы надеемся, должны удовлетворять квантовые преобразования.
Эта точка зрения более абстрактна, чем подход, использованный нами ранее и основанный на явной модели система-среда, но он также чрезвычайно эффективен вследствие абстрактности. 8.2. Квантовые преобразования 457 трем аксиоматичсским свойствам (заметим, что для простоты обозначений мы считаем с41 = Яэ = Ю)' А1. Во-первых, Сг(Е(р)) — вероятность того, что процесс, представляемый Е, вообще произойдет; здесь р — начальное состояние. Следовательно, 0 < Сг(Е(р)) < 1 для любого состояния р. А2.
Во-вторых, Š— линейное отображение на множестве матриц плотности, т. е. для вероятностей (р;) имеем (8.43) Е ~~,,р*рс =~ р Е(рс) АЗ. В третьих, Š— вполне положигаельное отображение. Это значит, что, если Е отображает операторы плотности системы Яс в операторы плотности системы Яз, то Е(А) должно быть веотрицательно определенным для любого положительного оператора А. Более того, если ввести дополнительную систему В произвольной размерности, должен быть верным следующий факт: (Х Э Е)(А) положительно для любого неотрицательно определенного оператора А составной системы ВЧм где Х обозначает тождественное отображение системы В.
Первое свойство введено для математического удобства. Чтобы рассматривать измерения, удобно условиться, что Е ве обязательно сохраняет след матрицы плотности, т.е. Сг(р) = 1. Более того, примем, что Е должно быть определено таким образом, что Сг(Е(р)) равен вероятности получения описываемого Е результата измерения. Например, предположим, что мы осуществляем проективное измерение в базисе отдельного кубита. Тогда для описания этого процесса используются два квантовых преобразования, определяемые тождествами Ее(р) гв ]0)(0[р[0)(0[ и Е1(р) = ]1)(1[р[1)(Ц.
Обратите внимание, что вероятности соответствующих результатов измерения равны Сг(Ес(р)) и Сг(Е1(р)). Используя эту договоренность, получим правильно нормированное конечное состояние Е(р) (8.44) Сг[Е(р)] ' В случае, если процесс детерминированный, т. е. никакого измерения не выполняется, это сводится к требованию Сг(Е(р)) = 1 = Сг(р) для всех р. Как обсуждалось выше, в этом случае можно сказать, что квантовое преобразование сохраняет след, поскольку Е дает полное описание квантового процесса. В то же время, если существует такое р, что Сг(Е(р)) < 1, то квантовое преобразование не сохраняет след, так как Е не предоставляет полного описания процессов, которые могут произойти с системой (т. е.
с некоторой вероятностью может получиться другой результат измерения). Фнэичесное квантовое преобразование удовлетворяет требованию, что вероятности никогда не превышают единицы, т.е. Сг(Е(р)) < 1. 458 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования Второе свойство также проистекает из физического требования к квантовым преобразованиям. Предположим, вход р квантового преобразования полУчаетса слУчайным выбоРом состоаниа из ансамблЯ (Рь Ен) квантовых состояний, то есть р = ",~ '„р;р;. Тогда можно было бы ожидать, что результирующее состояние Е(р)/бг(Е(р)) = Е(р)/р(Е) соответствует случайной выборке из ансамбля (р(1~Е), Е(рл)/ 1г(Е(рл))), где р(1~Е) — вероятность того, что было приготовлено состояние рп при условии, что процесс Е осуществился, Следовательно, (8.45) где р(Е) = 1г(Е(р)) — вероятность того, что с состоянием р произошел процесс, описываемый Е.
По правилу Байеса (Приложение 1) имеем р( М) = р(ЕЯ вЂ” "' р(Е) р(Е) (8.46) Вставка 8.2. Вполне положительный или положительный Операция транспонирования над отдельным кубитом является примером, показывающим, почему важно, чтобы квантовые преобразования были вполне положительны. По определению зто отображение соответствует транспонированию оператора плотности в выбранном базисе: (8.47) Данное отображение положительно на операторах плотности одного от- дельного кубвта.
Предположим, однако, что кубит — часть системы из двух кубитов, исходно находившихся в начальный момент в запутанном состоянии тогда формула (8.45) сводится к (8.43). Третье свойство также возникает из важного физического требования, что не только Е(р) должно быть допустимой матрицей плотности (с точностью до нормировки), если таковой является р, но, более того, если р = рло — матрица плотности некоторого объединения систем В и Я, а Е действует только на Я, то Е(ряб) должно также приводить к допустимой матрице плотности (с точностью до нормировки) составной системы. Соответствующй пример дан во вставке 8.2. Формально предположим, что мы ввели вторую (конечномерную) систему В.
Пусть Х обозначает тождественное отображение для системы В. Тогда отображение ХЗ Е должно преобразовывать неотрицательно определенные операторы в неотрицательно определенные операторы. 8.2. Квантовые преобразования 459 ~00) + ~11) (8.48) а оператор транспонирования применяется к первому из этих двух ку- битов, в то время как второй изменяется тривиальным образом.
Тогда оператор плотности системы после преобразования примет вид 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 (8.49) Вычисления показывают, что собственные значения этого оператора равны 1/2, 1/2, 1/2и -1/2, т. е. это †недопустим оператор плотности. Таким образом, операция транспонирования — пример положительногоотображения,которое не вполне положительно, т.
е. оно сохраняет положительность операторов основной системы, но теряет это свойство, если его применить к системам, которые включают в себя основную систему как подсистему. Е(р) = ~ ЕгрЕ1 (8.50) для некоторого набора операторов (Е;), которые отображают исходное гильбертово пространство в результирующее гильбертово пространство, и т~„, Е+ Е; ( 1. Доназатпааьсгпво.
Положим б(р) = 2,. Е;рЕ+. Очевидно, что б линейно, поэтому для проверки того, что Š— квантовое преобразование, необходимо доказать только то, что оно вполне положительно. Пусть А — любой неотрицательно определенный оператор, действуюпшй на пространство состояний расширенной системы ЕЯ, а ~ф — некоторое состояние Ж). Определив ~~р;) = (1л З Е+))Я, получим (ф((Хл ® Е;)А(1л Э Е,".)Я = (~о,(А(у;) (8.51) >О (8.52) вследствие того, что неотрицательно определенный оператор А. Следова- тельно, Может показаться удивительным, что этих трех аксиом достаточно для определения квантовых преобразований. Тем не менее следующая теорема показывает, что они эквивалентны ранее использовавшимся моделям система- окружающая среда и определению в терминах представления операторной суммой.
Теорема 8.1. Отображение Е удовлетворяет аксиомам А1, А2 и АЗ в том и только в том случае, если 460 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования !ф)(ХЭ Е)(А)(ф) = ~ (у;!А!у;) > О, 1 (8.53) !а) ив з ~~, !зя)(гц). (8.54) Состояние !а) — с точностью до нормировочного множителя — максимально за- путанное состояние систем В и ц. Такая интерпретация !а) как максимально запутанного состояния может помочь в понимании дальнейшего построения. Далее, определим оператор и на пространстве состояний В(~ выражением = Ря Э Е)()а)(а!) (8.55) Можно представлять его как результат действия квантового преобразования Е на одну половину максимально запутанного состояния системы ВЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
