М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Примеры квантового шума и квантовых преобразований 465 8.3.1 След и частичный след Одно из основных применений формализма квантовых преобразований — описание измерения. Квантовое преобразование можно использовать для описания как вероятности получить некоторый конкретный результат измерения над квантовой системой, так и изменения состояния системы, связанного с измерением. Простейшим преобразованием, связанным с измерением, является взятие следа р — ~ сг(р); можно показать, что оно является квантовым преобразованием, следующим образом. Пусть Но — некоторое исходное гильбертово пространство с ортонормированным базисом ~1)...
ф, а НЛ вЂ” одномерное результирующее пространство с базисным вектором ~0). Определим б(р) как б(р) ш ~~~ !0)(1!р/г)(% (8.83) т.е. б — квантовое преобразование согласно теореме 8.1. Заметим, что о(р) = Фг(р)(0)(0(, поэтому с точностью до несущественного множителя )0)(0(, квантовое преобразование совпадает со следом. Еще более полезным результатом является то, что взятие частичного следа — тоже квантовое преобразование. Предположим, имеется объединенная система ЯВ, и мы хотим взять след по системе В. Пусть |Я вЂ” базис системы В. Зададим линейный оператор Е;: Ноя -+ Но соотношением Е; ~Л.!щ))у) ш Л;!д;), (8.84) где Лз — комплексные числа, а )д ) — произвольные состояния системы Я. Опре- делим б как квантовое преобразование с элементами (Е;), т.
е. б(р) ьз ~~~ ЕсвЕ) (8.85) 30 капе ювмжлв и Начнем (подразд. 8.3.1) с обсуждения того, как можно описать измерение квантовым преобразованием и, в частности, рассмотрим преобразования, соответствующие взятию следа и частичного следа. Затем мы перейдем к описанию шума, начиная с демонстрации графического метода для квантовых преобразований на отдельном кубите. Этот метод используется в оставшейся части раздела для иллюстрации элементарных процессов классической ошибки и переворота фазы (подразд.
8.3.3), а также для обсуждения деполяризующего канала (подразд. 8.3.4), затухания амплитуды (подразд. 8.3.5) и затухания фазы (подразд. 8.3.6). Затухание амплитуды и фазы — это идеализированные модели шума, которые заключают в себе многие из наиболее важных особенностей шумов, происходящих в квантовомеханических системах, и мы рассмотрим не только их абстрактную математическую формулировку, но и появление этих процессов в реальных квантовых системах. 466 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования В соответствии с 8.1, это — квантовое преобразоваиие из системы ЯВ в систе- му Я. Заметим, что Е(р З (Я Ц' О = рбуи = сгл(р З )Я Ц' !), (8.86) где р — любой эрмитов оператор иа пространстве состояний системы Я, а 1Я и 1Д вЂ” векторы, принадлежащие ортоиормироваииому базису системы В.
Из лииейиости Е и 6гл слеэует, что Е = Фги. 8.3.2 Геометрическая картина квантового преобразования одного кубита Существует элегантный геометрический метод для изображения квантовых преобразований одного кубита. Этот метод позволяет достичь интуитивного понимания поведения квантовых преобразований в терминах действия, производимого ими иа сфере Блоха. Обратимся к упр. 2.27, где было показано, что состояние отдельного кубита всегда может быть записано в представлении Блоха: 1+г Р= (8.87) где г — трехкомпоиеитвый действительный вектор.
В явном виде получим 1~ 1+г. г.-1г„ Р= 2 ~ г, + югэ 1 — г, (8.88) В таком представлеиии оказывается, что произвольное, сохраняющее след кван- товое преобразование эквивалентно отображению вида т — + т = Мг"+с, (8.89) где М вЂ” действительная матрица 3 х 3, а с — постоянный вектор. Это аффия- ное отображение, переводящее сферу Блоха в себя.
Чтобы в этом убедиться, предположим, что операторы Е,, генерирующие представлеиие Е операторной суммой, имеют вид з Е; = а;1+ ~~~ ац,<ты э=1 (8.90) Тогда несложно проверить, что сь = 21 ~~ ~~~ црва~ а~р, л Мв = ~~ ~аиа~ц+а~ аи, (~сц~ — ~'~ а~ра~р бт Р + 4 ~'~ у,э(сца~р — о~ а~р) (8.91) (8.92) 8.3. Примеры квэлтового шума и квантовых преобразований 467 здесь использовалось соотношение полноты ~, Е+ Е; = Х для упрощения выражения для с. Смысл аффинного отображения, задаваемого уравнением (8.89), станет яснее, если рассмотреть полярное разложение матрицы М = ЦМ~, где У унитарная матрица.
Из того, что М действительна, следует, что ~М) действительна и эрмитова, т.е. ~М) — симметрическая матрица. Далее, так как М действительна, можно считать, что У также действительна и, таким образом, является ортогональной матрицей: У~У = 1, где Т обозначает операцию транспонирования. Следовательно, можно записать (8.93) М= ОЯ, где Π— действительная ортогональная матрица с детерминантом 1, представвпощая собственное вращение, а Я вЂ” действительная симметрическая матрица. Тогда уравнение (8.89) — это просто последовательные выполнения деформации сферы Блоха вдоль главных осей, определяемой Я, собственного вращения, связанного с О, и перемещения, обусловленного с. Упражнение 8.12.
Почему можно считать, что в разложении (8.93) детерминант О равен 1? Упражнение 8.13. Покажите, что унитарные преобразования соответствуют вращению сферы Блоха. Упражнение 8.14. Покажите, что бес(Я) не обязательно положительный. 8.3.3 Каналы с классической ошибкой и переворотом фазы Описанную выше геометрическую картину можно использовать для визуализации некоторых важных квантовых преобразований отдельных кубитов, которые нам понадобятся ниже для теории исправления ошибок. Канал с классической ошибкоа переворачивает состояние кубита из ~О) в )1) (и наоборот) с вероятностью (1 — р).
Элементы этого преобразования следующие: о1 Го 11 Ее = ~/ру =,~р ~, Ед~/Т вЂ” рХ = ~/Т вЂ” р . (8.94) ~О 1~* о~' Действие канала с классической ошибкой проиллюстрировано на рис. 8.8. При помощи геометрической картины очень просто проверить известные факты об этом квантовом преобразовании. Например, легко убедиться, что величина сг(рэ) для отдельного кубита равна (1+ )г(э)/2, где ф — норма блоховского вектора. Сжатие сферы Блоха, проиллюстрированное на рис. 8.8, не может увеличить нормы блоховского вектора, и, таким образом, мы сразу же делаем вывод, что для канала с классической ошибкой Фг(р ) может только уменьпппъся. Это — ве единственный пример применения геометрической картины.
Как только она станет достаточно привычной, ею можно пользоваться для лучшего понимания свойств квантовых преобразований отдельного кубнта. 468 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования Рис. 8.8. Действие канала с классической оюибкой на елоховской сфере при р = 0,3. Сфера слева соответствует набору всех чистых состояний, а деформированная сфера справа — состояниям после прохождения через канал Обратите внимание на то, что состояния на оси й не изменяются, тогда как плоскость (9 — а) равномерно снимается в (1 — 2р) раз Рис. 8.9. Действие канала с переворотом фазы на блоховской сфере при р =, .
р и и = 0,3. 06 атите внимание на то, что состояния на оси 2 не изменяются, тогда как плоскость й — р равномерно сжимается в (1 — 2р) раз. У канала с переворотом фазы следующие элементы преобразования: Ео = 1/рХ = 1/р, Е1 = 1/à — рЯ = ф — р . (8.95) Действие канала с переворотом фазы проиллюстрировано на рис. 8.9.
В качестве частного случая канала с переворотом фазы рассмотрим квантовое пре. образование, возникающее при р = 1/2. Используя произвол в представлении операторной суммой, это преобразование можно записать в виде Р— ' Е(Р) = 1аоР1"с + р1Рг1, (8.96) 470 Г лава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования 1 3 Рис.
8.11. Де м . Д яствие деполяриэующего канала на блоковской сф ере для р =,5. йб атите вни— О,.й ание на то, что вся сфера равномерно сжимается как функция р —,.й р 8.3.4 Деполиризующий канал б(р) = — + (1 — р)р. р1 2 (8.100) Действие деполяризующего канала на блоховской сфе б сфере изо ражено на Квантовая схема, моделирующая действие деполяризующего канала показана на рис. 8.12. Ве хняя р... ерхняя линия схемы — это вход деполяризующего канала, а две нижние являются «средой» для моделируемого канала. Мы используем среду с двумя входами в смешанном состоянии.
Идея з третий к бит нахо вероятностью (1 — р) и в состоянии )1) с вероятностью р, действует как переключатель: от него зависит, поменяются или нет местами полност состояние 1/2 х полностью смешанное е /, хранимое во втором кубите, и содержимое первого кубита. Р 1/2 (1 — р)(0)(0~+ рР)(Ц Рис. 8.12. С .
Схема, моделирующая деполяриэующий канал. Деполдризрющий канал является важным примером квантового ма. П ставьте, что мы бе м от е ре тдельный кубит и с вероятностью р этот кубит делоантового шума. редлдриздется. Т.е. он заменяется на полностью смешанное состояние 1/2. С вероятностью (1 — р) кубит остается неизменным. Состояние квантовой системы после воздействия такого шума имеет вид 8.3. Примеры квантового шума и квантовых преобразований 471 Выражение (8.100) ие имеет вида операторной суммы. Заметим, что для любого р справедливо уравнение р+ ХрХ+ УрУ+ Зр3 (8.101) и, тогда подставив 1/2 в (8.100), получим уравнение Е(р) = 1 — — ) р+ -(хрХ+УрУ+ ЯрЯ), Зр1 р 4) 4 (8.102) показывающее, что элементы преобразования деполяризующего капала есть ь/Г-зр!ь, гхл, р17з, 'рчс.г ~ °, б удобно параметризовать деполяризующий канал по-другому, например: б(р) (1 р) р+ Р (ХрХ+ Уру+ грг) 3 (8.103) т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
