М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Обобщение этой процедуры на случай большего, чем один, числа кубитов несложно, по крайней мере в принципе. Аналогично случаю с одним кубитом произвольную матрицу плотности п кубит можно разложить как (8.149) где суммирование выполняется по векторам б = (э«,..., э„) с элементами эо выбранными из множества О, 1, 2, 8. Проводя-измерения наблюдаемых, которые являются произведениями матриц Паули, можно оценить каждый член этой суммы и, таким образом, получить оценку для р.
Мы описали, как осуществить томографию состояния для системы, составленной из кубитов. А что, если не кубитовэя система? Не вызывает удивления то, что приведенный выше метод легко обобщить на такие системы. Мы не будем здесь этим заниматься, а отошлем читателя к разделу «История и дополнительная литератураь в конце главы. Теперь мы знаем, как осуществить томографию квантового состояния.
Попьггаемся использовать этот способ для томографии квантового процесса? Экспериментальная методика может быть описана следующим образом. Предположим, пространство состояний системы имеет размерность 4, например для одного кубита д = 2. Мы выбираем ~Р чистых квантовых состояний ~Ф~ ),..., Рга«) так, что соответствующие матрицы плотности г«ч)(9~!,..., ~Ф4«)(1«4« ~ обРазУ- ют базисный набор пространства матриц. Более детально выбор такого набора будет объяснен ниже.
Для каждого ) мы приготовим квантовую систему в состоянии ~ф ), а затем подвергнем ее процессу Е, томографию которого мы собираемся осуществить. После того, как процесс завершится, мы используем томографию квантового состояния, чтобы определить получаемое состояние Е(ррз)(4~~). Встав иа позицию пуриста, можно сказать, что все сделано, поскольку в принципе квантовое преобразование Е теперь определяется линейным расширением на все состояния.
На практике, конечно, мы бы хотели иметь способ определения удобного представления Е вз экспериментально доступных данных. Опишем обшую 8.4. Применения квантовых преобразований 485 процедуру, позволяющую это сделать, разработанную специально для случая одного кубита. Нашей целью является определение множества элементов преобразования (Е;) для Е Е(р) =~ Е;рЕ).
(8.150) Однако эксперименты дают числа, а не операторы, являющиеся теоретическим понятием. Чтобы определить Е; исходя из измеримых параметров, удобно рассмотреть эквивалентное описание Е, используя фиксированный набор операторов Ез которые образуют базис на множестве операторов в пространстве состояний, так что Е~ = ~~~ ее„Е~э (8.151) для некоторых комплексных чисел еьэ.
Уравнение (8.150) может быть переписано в виде Е(р) = ~~' Е~,рЕ~Х (8.152) где Х „ш 2 „. е; е,"„— элементы матрицы, которая, по определению, положительна и эрмитова. Это выражение, известное как представление Х-матрицей, показывает, что Е можно полностью описать матрицей комплексных чисел Х, если зафиксирован набор операторов Ео Вообще Х будет содержать И4-дз независимых действительных параметров, потому что линейное отображение пространства И х Ы матриц в себя описывается И4 независимыми параметрами, но имеется еще оз дополнительных ограничений, связанных с тем, что р должна оставаться эрмитовой со следом, равным единице, т.
е. выполняется соотношение полноты ~~) Е~1Е~ = Х, (8.153) Е(/п)(т/) = Е(~+)( — !) + 1Е(~ — )( — /) — — Е(~п)(п!) — — Е(/т)(тО. (8.154) Затем при помощи томографии квантового состояния можно определить Е(рд) для каждого р . что дает пз связей. Мы покажем, как экспериментально определить Х, а затем, как восстановить представление операторной суммой в виде (8.150), зная матрицу Х. Пусть р, 1 < у < оэ — фиксированный линейно-независимый базис в пространстве матриц Ы х И, т.
е. любая матрица д х И может быть однозначно записана как линейная комбинация р . Удобным выбором является множество операторов ~п) (т~. С экспериментальной точки зрения конечное состояние Е()п) (т!) може 5ыть получено, если приготовить исходные состояния )и), (т), )+) = ()п)+~т))/~Г2 и ( — ) = (~п)+)т))/~/2 и образовать линейную комбинацию Е(/п)(п!), Е(/т)(тО, Е(~+)(+!) и Е(! — )( — !) следующим образом: 486 Глава 8.
Квантовый шум и квантовые преобразования Более того, каждую б(ру) можно выразить как линейную комбинацию базисных состояний г(ру) =,'у л,,р„ (8.155) Е,„р;Е1,=~ Я"р„ ь (8.156) где фД" — комплексные числа, которые также можно вычислить при помощи стандартных алгоритмов из линейной алгебры, зная операторы Е и ру. Используя последние два выражения и (8.152), получим следующее уравнение: ХтппЯа Рь ~ Лувра ° (8.157) Из линейной независимости рь следует, что для каждого й имеет место выра- жение Евлах -=лье (8.158) выл Это необходимое и достаточное условие того, что матрица Х дает правильное квантовое преобраз9вание Е.
Можно считать Х и Л векторами, а ~3 — матрицей 64 х д4 со столбцами, нумеруемыми парами тп, и строками — парами уй. Покажем, каким образом можно получить Х. Пусть к — обобщенное обратное матрицы б, удовлетворяющее соотношению рта ~ ' рвс хкртп зь ~~ уькм щ (8.159) Большинство компьютерных программ для вычислений с матрицами способны находить такие обобщенные обратные. Теперь мы докажем, что Х, определен- ная формулой =— Я,к;ь Лы (8.160) уь удовлетворяет соотношению (8.158).
Сложность состоит в том, что, вообще говоря, Х не задается однозначно уравнением (8.158). Для удобства перепишем зти уравнения в матричной форме: (8.161) (8.162) ХшкЛ. Из построения, которое привело к уравнению (8.152) нам известно, что существует по меньшей мере одно решение уравнеция (8.161), которое мы назовем а, поскольку Е(ру) известно из томографии состояния, Луь можно определить при помощи стандартных алгоритмов линейной алгебры. Продолжая преобра- зоваиия, можно написать 8.4. Применения квантовых преобразований 487 Д.
Следовательно, Л = 13л~. Обобщенное обратное удовлетворяет равенству 13кР = ~3. Умножая определение Р слева на )3, получим (8.163) (8,164) (8.165) (8.166) Следовательно, Л, заданное (8.162), удовлетворяет равенству (8.161), что мы и хотели показать. Определив т, можно сразу получить представление Е операторной суммой следующим образом. Пусть унитарная матрица У+ диагонализует 1 (8.167) Легко убедиться, что (8.168) — элементы преобразования Е. Тогда можно сказать, что алгоритм состоит из следующих шагов: Л определяется экспериментально при помощи томографии состояний, которая в свою очередь задает Л уравнением Лт = кЛ, что дает полное описание Е, в том числе набор элементов преобразования Е;.
В случае однокубитового квантового процесса необходимо определить лишь 12 параметров (вставка 8.5). Томография двухкубитового квантового «черного ящикаэ Ез гораздо сложнее. В этом случае следует найти 240 параметров для того, чтобы полностью описать квантовое преобразование, действующее на систему! Очевидно, что их нахождение было бы довольно серьезным предприятием. Однако, как и в случае с одним кубитом, существует относительно прямой метод реализации компьютерной программы, которая автоматизирует вычисление при условии, что экспериментальные методики проведения томографии состояния и приготовления состояний доступны в лаборатории.
Вставка 8.5. Томография процесса в случае одного кубита Общий метод томографии процесса можно упростить в случае преобразований одного кубита, получив явные формулы, которые можно использовать для обработки экспериментальных данных. Эти упрощения становятся возможными благодаря выбору фиксированных операторов Е;, коммутационные свойства которых позволяют определить Л-матрицу прямым матричным умножением. В случае одного кубита мы используем следующие обозначения: Ео =1 Е~=Х, Ез = — 4У, В т содержится 12 параметров, которые задают произвольное однокубитовое квантовое преобразование Е.
Эти параметры могут быть измерены в четырех сериях зкспериментов. В качестве конкретного примера предположим, что приготовлены состояния )О), )1), )+) = ()О) + (1))/~/2 и ! — ) = ()О) + 1)1))/~/2, и четыре матрицы определяются при помощи томографии состояния. Оии соответствуют р' = с'(р ), где (8.177) рз = р~Х, рз = Хр~ и ре = Хр~Х. Из (8.156) и уравнений (8.169)-(8.172) можно определить Р", и аналогично р' определяет Л. Однако благодаря специальному выбору базиса, используя представление Е~ матрицами Паули, можно выразить матрицу р' как кронекеровское произведение р = Л З Л, где (8.178) т=Л ' ~ Л. (8.179) Мы показали, как динамика квантовой системы может быть экспериментально определена при помощи регулярной процедуры. Данная методика томографии квантовогд процесса аналогична шагу идентификации системы в классической теории управления и играет схожую роль для понимания и управления квантовыми системами с шумом.
488 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования р', = г()0)(0!), Р4 = Е()1)(1~), р~ — — б()+) (+ !) — 1б(! — ) ( — !) — (1 — 4)(р~ + р~)/2, Рз = Е(!+)(+!) + эб(! — )( — !) — (1+ а)(4+ р4)/2 2 [ Х вЂ” Г]~' так что т удобно выразить в терминах блочных матриц. (8.169) (8.170) (8.171) (8.172) (8.173) (8.
174) (8.175) (8.176) 8.4. Применения квантовых преобразований 489 Упражнение 8.32. Объясните, кэк обобщить квантовую томографию про- цесса ва случай не сохраняющих след квантовых преобразований, возникаю- пщх, например, при исследовании процесса измерения. Упражнение 8.33 (задание квантового процесса). Предположим, мы хо- тим точно задать произвольное квантовое преобразование Е одного кубита, описывая, как преобразуется набор точек (гь) на сфере Блоха. Докажите, что это множество должно содержать не менее четырех точек. Упражнение 8.34 (томография процесса для двух кубитов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
