М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Теперь продемонстрируем замечательный факт, что оператор и полностью определяет квантовое преобразование Е. То есть, чтобы узнать, как Е действует на произвольное состояние системы Я, достаточно знать, как оно действует лишь ва одно состояние, максимально запутанное с другой системой! Прием, который позволяет восстановить Е по и состоит в следующем. Положим, !ф) = ~ фу !у~) — некоторое состояние системы Я. Определим соответствующее состояние !ф) системы В уравнением !Ф) = — ~ Ф,"!уя) (8.56) Заметим, что (фп!ф) = (ф! 2 (4я)(уя! ЭЕ(!гц)!ус~)) !ф) (8.57) (8.58) (8.59) и, таким образом, для любого неотрицательно определенного оператора А оператор (ХЭЕ)(А) тоже неотрицательно определенный, как и требовалось доказать. Требование ~'„Ь~Е; < Х обеспечивает то, что вероятности меньше или равны 1.
Этим завершается первая часть доказательства. Предположим далее, что Е удовлетворяет аксиомам А1, А2 и АЗ. Наша цель найти представление Е операторной суммой. Предположим, мы ввели систему В той же размерности, что и исходная квантовая система Я. Пусть !4я) и (ьз) — ортонормированные базисы для В и Я. Удобно использовать один индекс 4 для обоих базисов и это, конечно, можно сделать, так как В и Я имеют одинаковую размерность. Определим общее состояние !а) системы И~ форму- лой 8.2. Квантовые преобразования 461 Пусть о = ~„, ~в;) (в;~ — некоторое разложение о, причем векторы ~в;) ненормированы.
Определим отображение Е;®))»и (фв;). (8.60) Легко показать, что это — линейное отображение, т.е. Е; — линейный оператор на пространстве состояний Я. Более того, имеем Е»)Я(ЯЕ» = (фв;)(в;ф) = (ФИФ) = ЕЖ)(Ф) (8.61) (8.62) (8.63) Тогда б()»/»)(ф!) = ~~» Е»(»ЯЯЕ» (8.64) » для всех чистых состояний ф) системы ь1. Из линейности следует, что б(р) = ~~ Е;рЕ». » (8.65) Условие 1 ',. Е; Е; < 1 вытекает непосредственно из аксиомы А1, связывающей след с(р) с вероятностью. Неопределенность в представлении операторной суммой Г» = /0)(0! =, Гэ = !1)(Ц = .
(8.67) о1 Го о1 Эти квантовые преобразования выглядят совершенно по-рэзному. Интерес- но то, что б и У, в действительности — это одно и то же квантовое пре- образование. Чтобы убедиться в этом, заметим, что Г» — — (Е» + Еэ)/~/2 и Гз = (Е1 — Еэ)/~/2. Следовательно, имеем (Е» + Еэ) р(Е( + Еэ) + (Е» — Еэ) р(Е/ — Е~з) Г(р)— 2 1 = Е»рЕ, + ЯзрЕэ = б(р). (8.68) (8.69) (8.70) Мы видели, что представление операторной суммой дает очень общее описание динамики открытой квантовой системы.
Однояначно ли такое описание? Рассмотрим квантовые преобразования б и У; действующие на отдельный кубит, в представлении операторной суммой с'(р) = ~ ь ЕьрЕь+ и У'(р) = 2 ь Гав+, где элементы преобразований Е и Г определены формулэии 462 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования Этот пример показывает, что элементы преобразования, возникающие в представлении операторной суммой, неоднозначны.
Неоднозначность в этом представлении очень интересна. Предположим, мы подбросили «честную монету» и в зависимости от того, что выпало, применили к системе одно из унитарных преобразований квантовой системы 1 или Я. Этот процесс соответствуег первому представлению Е операторной суммой. Второе представление Е операторной суммой (обозначенное вьппе л) соответствует проведению проектввного измерения в базисе ЯО), ~1)) с неизвестным результатом. Эти два, очевидно, совершенно разных физических процесса приводят к одной и той же динамике основной системы.
В каком случае два набора элементов дают одно и то же квантовое преобразование? Ответ ва этот вопрос важен, по меньшей мере, по двум причинам. Вопервых, с физической точки зрения неопределенность в выборе представления позволяет более глубоко понять, как разные физические процессы приводят к одинаковой динамике системы. Во-вторых,эта неопределенность имеет решающее значение для правильного понимания квантового исправления ошибок. )ео)(ео! Рис. 8.7.
Происхождение унитарной неопределенности представления операторной суммой. Еь = (еь((1 Э У')У)ео) [1 Э (еь)У'!еу)] (еа Щее) Уь Еу, (8.71) (8.72) (8.73) где мы использовали тот факт, что С. ~е ) (еу) = 1, а Уау — элементы матрицы У' в базисе ~еа). Оказывается, такой произвол в представлении операторной Интуитивно ясно, что должна существовать большая свобода в представлении операторной суммой. Рассмотрим сохраняющее след квантовое преобразование Е, которое описывает динамику некоторой системы, такой, например, как на рис.
8.3, справа. Было показано, что элементы преобразования Еа = (ее~У~ее) для Е можно связать с ортонормированным базисом среды. Предположим, к взаимодействию У мы добавили дополнительное унитарное действие У' только на срезу (рис. 8.7). Очевидно, это не изменит состояния основной системы. Какие элементы преобразования соответствуют этому новому процессу (1 Э У') У? Имеем 8.2. Квантовые преобразования 463 М) =)-.и,,! 4), (8.74) где иу — унитарная матрица из комплексных чисел, и мы заполним меньший набор состояний !ф;) или !гр ) нулевыми состояниями так, чтобы в этих двух множествах было одинаковое количество элементов.
Этот результат позволяет охарактеризовать свободу в выборе представления операторной суммой. Положим, (Ег) и (Р;) — два набора элементов одного и того же квантового преобразования и 2„,. Е;рЕ+ = Я г) рГ+ для любого р. Введем следующие определения: !ег) гя ~~» !»гл)(Е»!л».„»)), 1Х,) =— ~~, !йл) Я!йа)).
(8.75) (8.76) Из определения»г (уравнение (8.55)), следует, что гг = '!",. /е;) (е;! = 2,. /Л) (7";!, в значит, существует унитарная матрица иси так что /е;) = ~~» игг/Я. (8.77) Но для произвольного !ф) имеем (г»»(е;) ~„и;,(Ф!Л) ~ ип.ЧФ). Е»!г»») = (8.78) (8.79) (8.80) Следовательно, можно написать суммой, получающийся из втой физически понятной картины, заключает в себе всю суть свободы, доступной в данном представлении операторной суммой, что доказывается следующей теоремой.
'хеорема 8.2 (унитарнаи неопределенность представления операторной суммой). Предположим, (Еп..., Е,„) и (Еп..., Гг») — элементы преобразований для Е и У' соответственно. Добавив нулевые операторы к более короткому списку элемеатов преобразования, можно достичь равенства т = и. Причем с = У тогда и только тогда, когда существуют такие комплексные числа ий, что Е; = 2 , 'и; Рг, а ип — элементы УнитаРной матРиЦы РазмеРа гл х т. Доназательсгпео. Ключ к доказательству содержится в теореме 2.6. Согласно последней, два набора векторов !ф;) и !гр ) генерируют одинаковые операторы только в том случае, если 464 Глава 8.
Квантовый шум и квантовые преобразования И наоборот, предположим, что Е; и Е; связаны унитарным преобразованием вида Е; = ~, и;~Р). Простые выкладки показывают, что квантовое преобразование с элементами (Е;) совпадает с преобразованием с элементами Я). Теорема доказана. Теорему 8.2 можно использовать для ответа на другой интересный вопрос: какой максимальный размер среды может потребоваться, чтобы обеспечить данное квантовое преобразование? Теорема 8.3.
Любое квантовое преобразование б системы с гильбертовьгм пространством размерности Н можно представить операторной суммой, содержащей самое большее ~Р элементов, М г=~ Е,рЕ„', (8.82) Такая неопределенность в представлении операторной суммой удивительно полезна. Мы будем ее использовать, например, при изучении квантовой коррекции ошибок (гл. 10). Мы увидим, что определенные наборы операторов в представлении операторной суммой позволяют получить более полезную информацию о квантовых процессах коррекции ошибок, и нам надлежит исследовать эту проблему. Как обычно, наличие нескольких способов понимания процесса дает возможность более глубоко заглянуть в суть происходящего.
8.3 Примеры квантового шума и квантовых преобразований В данном разделе мы рассмотрим некоторые конкретные примеры квантового шума и квантовых преобразований. Они иллюстрируют мощь разрабатываемого нами формализма. Они также важны для понимания практических следствий шума в квантовых системах и того, как можно контролировать шум при помощи таких методик как исправление ошибок. где 1 < М < о'. Эта теорема имеет простое доказательство, мы предоставим читателю возможность сделать это самостоятельно. Упражнение 8.10.
Докажите теорему 8.3, используя неопределенность представления операторной суммой. Пусть (Еу) — множество элементов преобразования б. Определим матрицу как И~.ь аэ сг(Е+Еь). Покажите, что эта матрица эрмитова и ее ранг не превышает оэ, а следовательно, существует унитарная матрица и, такая что ойдо+ диагональна и содержит самое большее оз ненулевых элементов. Используйте и, чтобы определить для б новый набор из < оэ ненулевых элементов преобразования Я). 'Упражнение 8.11. Предположим, б — квантовое преобразование, отображающее Н-мерное пространство ввода в о'-мерное пространство вывода. Покажите, что Е может быть описано при помощи сЫ' элементов преобразования (Еь). 8.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
