М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 110
Текст из файла (страница 110)
(8.23) (О Рис. 8.$. Элемент СйОТ как элементарная модель измерения отдельного кубита. Эта формула дает красивую физическую интерпретацию квантовых преобразований с элементами (Ек). Действие квантового преобразования эквивалентно взятию состояния р и случайной его замене на ЕкрЕк+/сг(ЕкрЕк) с вероятностью эг(ЕкрЕк).
В таком виде это очень похоже на понятие канала с шумом, используемое в классической теории информации. В этом смысле мы будем иногда называть некоторые квантовые преобразования, описывающие процессы квантового шума, квантовыми каналами с шумом. 452 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования Простой пример (см. рис. 8.4) иллюстрирует такую интерпретацию представления операторной суммой.
Предположим, мы выбрали состояния ~еь) = ~Оя) и ~1я), где использован индекс Е, чтобы подчеркнуть, что данные состояния относятся к среде. Это можно интерпретировать как справедливое измерение в базисе кубита среды (рис. 8.5). Выполнение такого измерения не изменяет, конечно, состояния основной системы. Используя индексы Р для обозначения основной системы, действие скот можно раскрыть как Ео = (Оя!ЦОя) = !О~ )(Ор/, Е1 — — (1я/ЦОя) = !1р)(1р/, (8.25) (8.26) и, таким образом, имеем Е(Я = РорРо+ Р1 рР1 (8.27) в соответствии с уравнением (8.7).
Измерение и представление операторной суммой Если имеется описание открытой квантовой системы, то можно найти пред- ставление ее динамики операторной суммой? Впрочем, ответ нам уже известен: имея унитарное преобразование для системы и среды и базис состояний ~еь) среды, элементы преобразования мы определяем выражением: (8.28) Еь ш (еь(Цео). Можно еще больше обобщить этот результат, если разрешить выполнять измерения над составной системой (система — среда) после унитарного взаимодействия, которые позволят приобрести информацию о квантовом состоянии. Оказывается, такая физическая возможность естественным образом связана с не сохраняющими след квантовыми преобразованиями, т. е. отображениями Я(р) = ~"» ЕьрЕь+, такими, что ~ ь Ее+Ее < Х. Пусть основная система в начальный момент находится в состоянии р, для удобства будем обозначать ее буквой Я.
К системе Я присоединена окружающая ее система Е. Предположим, что Я и Е в начальный момент — независимые системы и что Е в начальный момент находится в некотором стандартном состоянии и. Таким образом, начальное состояние объединенной системы можно представить как (8.29) Мы считаем, что взаимодействие между системами описывается унитарным оператором У. После выключения взаимодействия над объединенной системой осуществляется проективное измерение, описываемое проекторами Рт. Случай, когда измерение не производится, соответствует специальному выбору, У = ~Орбя)(ОрОя~+ )Ор1я)(Ор1я(+ ~1р1я)(1рОя~+ (1рОя)(1р1я)~ (8 24) следовательно, 8.2.
Квантовые преобразования 453 когда существует только один возможный результат измерения т = О, соответствующий проектору Ро = 1. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 8.6. Наша цель — определить конечное состояние Я как функцию начального состояния р. Конечное состояние ь)Е задается выражением Р,п11(РВ п)11гР,п (8.30) Гг(Р ЩрВо)11ГР )' если был получен результат измерения т.
После взятия следа по Е конечное состояние Я определяется как ггв(Рм(1(р В а)11гР, ) (8.31) тг(Р Я(Р В о)11гР,п) а Р.и [~Е Рис. 8.6. Модель система -среда квантовых преобравованид Это представление конечного состояния зависит от начального состояния среды т, взаимодействия У и измеряющего оператора Р . Определим отображение Е(Р) - =Сгн(Ртп П(Р В п)П Ртп), (8.32) так что конечное состояние Я вЂ” Е„,(р)/ сг(Е,п(р)). Заметим, что Сг(Е„,(р)) — это вероятность получить пт в результате измерения. Пусть и = 2,. д~(Я(Я вЂ” диа- гонализация для ск. Введем ортонормированный базис ~ев) для системы Е.
За- метим, что Е(р) = ~~~ щ СтяЦеь)(еь~Р„ЛУ(рВ Я(Я)У~Рп~еь)(евД = ~> Е врЕ'в, (8.33) (8.34) где Еув ш,/д:(еь~Р„Я13). (8.35) Это уравнение является обобщением уравнения (8.10) и позволяет явным образом вычислить операторы, входящие в представление операторной суммой 454 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования для Е„„при условии, что начальное состояние о системы Е и взаимодействие между Е и Я известны.
Квантовые преобразования б„, можно представлять как описание некоторого процесса измерения, обобщающее описание измерения, данное в гл. 2. Упражнение 8.7. Предположим, что вместо того, чтобы выполнять проективное измерение составной системы (основная система + среда), мы произвели измерение общего вида, описываемое операторами измерения (М ). Найдите представление операторной суммой для соответствующих квантовых преобразований Е основной системы и покажите, что соответствующие вероятности получения различных результатов измерения равны Сг(Е,„(р)).
Модели система — среда для произвольного представления операторной суммой Мы показали, что взаимодействующие квантовые системы естественным образом приводят к использованию представления квантовых преобразований операторной суммой. А насчет обратной задачи? Существуют ли «разумные» модельные среды и взаимодействия, приводящие к квантовому преобразованию, соответствующему данному набору операторов (Е»)? Под «разумным» взаимодействием мы подразумеваем то, что это либо унитарная эволюция, либо проективное измерение. Здесь мы обсудим, как построить такую систему.
Наша конструкция предназначена только для квантовых преобразований, отображающих пространство ввода в то же самое пространство вывода, но распространение ее на более общий случай тривиально. В частности, мы покажем, что для любого, сохраняющего или не сохраняющего след квантового преобразования б с элементами (Е»), существуют модельная среда Е, находящаяся в начальный момент в чистом состоянии ~ео), и модельная динамика, определяемая унитарным оператором е? и проектором Р в Е, так что Е(р) = гзн(РП(ра (ео)(ео!)«7~Р) (8.36) Чтобы убедиться в этом, предположим сначала, что о' — это сохраняющее след квантовое преобразование с представлением операторной суммой, генерируемым элементами преобразовэния (Еь), удовлетворяющими соотношению полноты ',Сь Ее+Ее = 1, поэтому необходимо только найти подходящий унитарный оператор У, чтобы смоделировать эту динамику.
Пусть (еь) — ортонормированный базис для Е, так что индекс я задаег взаимнооднозначное соответствие с операторами Еь. Заметим, что, по определению, в Е такой базис существует: мы пытаемся найти модельную среду, приводяшую к динамике, описываемой элементами преобразования (Еь). Определим оператор У со следующим действием на состояния вида 1»р) ~ео): (8.37) где ~ео) — некоторое стандартное состояние модельной среды.
8.2. Квантовые преобразования 455 Заметим, что для произвольных состояний ф) и [у) основной системы справедливо уравнение (ф(ее[111П[ср) [ео) = ~~~ ЯЕ~Еь[ р) = (4фр) (8.38) вследствие соотношения полноты. Таким образом, оператор 11 можно расши- рить до унитарного оператора, действующего нв всем пространстве объединен- ной системы. Легко проверить, что Сгн(11(р® [ео)(ео])Ф) = Е ЕьрЕь1, (8.39) 11[6)[ео) = ~~ [Ф)[т,й).
(8,40) Далее опРеделим пРоектоРы Р = 2,ь [т,й)(т,й] на системе окРУжающей среды Е. Покажите, что после применения 11 к р З [ео) (ее[, измерение Р дает результат т с вероятностью йг(Е (р)), а соответствующее состояние основной системы после измерения будет иметь вид Е,„(р) Сг(Е (Р)) 8.2.4 Аксиоматический подход к квантовым преобразованиям До настоящего момента нашим основным мотивом для изучения квантовых преобразований было то, что они предоставляют элегантный способ изучения так что данная модель реализует квантовое преобразование Е с элементами (Еь). Этот результат проиллюстрирован во вставке 8.1. Не сохраняющие след квантовые преобразования можно легко моделировать, используя схожие идеи (упр. 8.8). Более интересное обобщение этой конструкции возникает в случае набора квантовых преобразований (Е ), соответствующих возможным результатам измерения, вследствие чего квантовое преобразование ~ Е сохраняет след, поскольку сумма вероятностей различных исходов равна едившце и 1 = ~„~ р(т) = 1г[Д, Ео,)(р)] для всех возможных начэльных состояний р (см упражнение 8.9) Упражнение 8.8 (квантовые преобразования, не сохраняющие след).
Объясните, как построить унитарный оператор для модели система — окружэющэя среда не сохраняющего след кввнтового преобразования, введя в набор элементов преобразования Еь дополнительный оператор Е, выбранный таким образом, что при суммировании по всему множеству й (включэя й = оо) получается 2 ь Еь+ Еь = 1. 'Упражнение 8.9 (модель измерений).
Если дэн набор квантовых преобрэзовэш1й (Е ), таких, что ~ Е сохраняет след, то можно построить модель из мерений, приводящую к этому набору квантовых преобразований. Пусть для каждого т Е„,ь — набор элементов преобрэзоввния Е . Введем систему среды Е с ортонормированным базисом [т, й), находящимся во взаимнооднознвчном соответствии с набором индексов элементов преобразования. Аналогично предыдущему построению определим оператор 11 следующим образом: 486 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования Вставка 8.1. Реализация квантовых преобразований Используя сохраннющее след квантовое преобразование, выраженное в представлении операторной суммой б(р) = 2 ь ЕьрЕь+, можно сконстру- ировать для него физическую модель следующим образом. С учетом фор- мулы (8.10) У должно удовлетворять условию Еь = (ее[У[ее), (8.41) где У вЂ” некоторый унитарный оператор, а [еь) — ортонормнрованные ба- зисные векторы системы среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
