М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Записывая эти уравнения в явном виде, для бита на жестком диске получим яс 1 р р рс (8.2) Рассмотрим более сложный пример шума в классической системе. Представьте, что мы пытаемся построить классическую схему для решения некоторой вычислительной задачи. К сожалению, для сборки схемы нам достались ненадежные детали. Наша несколько искусственная схема состоит из одного входного бита Х, который проходит через два последовательно соединенных элемента 1УОТ (НЕ), при этом получается промежуточный бит У и окончательный бит Я Естественно предположить, что правильное или ошибочыое срабатываыие второго элемента НЕ не зависит от того, правильно ли сработал первый. Такое предположение о том, что последовательные источники шума действуют независимо, физически осмысленно во многих ситуациях.
Оно приводит к стохастическим процессам Х вЂ” » У вЂ” » Я специального типа, называемым маркоескими процессами. Физически предположение о марковоском типе процессов соответствует тому, что окружение, вызывающее шум в первом элементе НЕ, считается действующим неэаеисимо от окружения, вызывающего шум во втором элемеыте. Это разумное предположение при условии, что элементы в пространстве сильно разнесены друг ст друга. Таким образом, шум в классических системах может быть описан при помощи теории стохастических процессов. Часто при анализе многоэтапных процессов марковские процессы являются хорошей моделью.
Для одноэтапного процесса вероятности состояний на выходе д связаны с вероятностями на входе р" уравнением д = Ер", (8.3) где Š— матрица вероятностей перехода, которую будем называть ма»прицей эеаеюции. Таким образом, конечное состояние системы линейно связаыо с на чальным. Это свойство линейности повторится при описании квантового шума, где матрицы плотности заменяют распределение вероятностей.
Какими свойствами должна обладать матрица эволюции Еу Наше требование состоит в том, чтобы при допустимом распределении вероятностей р" распределение Ер" тоже было допустимым. Это налагает два условия на Е. Вопервьпс, все элементы Е должны быть неотрицательны, это условие известно как требование па»»оэ»сительности. Если бы оно не выполнялось, можно было бы получить отрицательные вероятности в Ер".
Во-вторых, сумма элементов каждого столбца Е должна быть равна 1, это условие известно как требование 444 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования полногпм. Предположим, оно не выполняется. Допустим, например, что сумма элементов первого столбца не равна единице. Тогда, взяв р" с единицей в верхней позиции и всеми остальными элементами, равными нулю, увидим, что Ер не оказывается допустимым распределением вероятностей. Ключевые свойства классического шума можно сформулировать следующим образом: существует линейная связь между вероятностями на входе и выходе.
Она описывается матрицей перехода с неотрицательными элементами (положительность), сумма которых по любому сголбпу дает единипу (полнота). Системы с классическим шумом, действующим на протяжении нескольких этапов, описываются марковскими процессами при условии, что шум вызывается независимыми источниками. Каждое из этих ключевых свойств имеет важный аналог в теории квантового шума. Конечно, у квантового шума есть и некоторые неожиданные новые свойства. 8.2 Квантовые преобразования 8.2.1 Обзор Формализм квантовых преобразований — главный инструмент для описания эволюции квантовых систем при самых разнообразных условиях, включая стохастические изменения квантовых состояний.
В значительной степени марковские процессы таким же образом описывают стохастические изменения класси ческих состояний. Подобно тому как классические состояния задаются векторами вероятностей, квантовые состояния можно описывать в терминах оператора плотности (матрицы плотности) р, свойства которого обсуждены в рэзд. 2.4. И так же, как классические состояния преобразуются в соответствии с формулой (8.3), квантовые состояния преобразуются согласно формуле р"= Е(р) (8.4) Отображение Е в этом уравнении — это квантовое преобразование.
Два простых примера квантовых преобразований, приведенные в гл. 2, — это унитарное преобразование и измерение, для которых Е(р) = УрУ+ и Е (р) = М,„рМе соответственно (см. ниже упр. 8.1 и 8.2). Квантовое преобразование заключает в себе динамическое измеыение состояния, происходящее в результате некоторого физического процесса, р — это начальыое состояние, а Е(р) — конечное состояние по завершении процесса, возможно, с точностью до некоторого нормировочного множителя. В следующих нескольких разделах будет развита общая теория квантовых преобразований, включающая унитарную эволюцию, измерение и даже более общие процессы.
Будут обсуледены три различных подхода (рис. 8.2), все оыи эквивалентны. Первый основан ыа изучеыии динамики как следствия взаимодействия между системой и средой и схож с описанием классического шума в разд. 8.1. Это конкретный подход, и его легко связать с реальным миром. К сожалению, он страдает от одного недостатка — он математически неудобен. 8.2. Квантовые преобразования 445 Второй подход к пониманию квантовых преобразований, будучи полностью эквивалеитвым первому, преодолевает это иеудобство, благодаря такому мощному математическому средству квавтовых преобразоваиий, как предсптаелеипе операпюряой суммой.
Это довольно абстрактиый метод, ио оя весьма полезен для вычислений и теоретических исследовавий. Третий подход, эквивалентный двум первым, описывает квантовые преобразования яа языке вабора физических аксиом, которым, как мы предполагаем, удовлетворяют динамические отображения в квантовой механике. Преимущество этого метода заключается в его общности, ои показывает, что квантовая динамика описывается квавтовыми преобразовавиями при удивительно разнообразных внешних обстоятельствах.
Однако ои ве представляет того удобства при вычислениях, которое обеспечивает второй подход и ие обладает конкретностью первого. Вместе эти три подхода к квантовым преобразованиям являются мощным инструментом, при помощи которого можно понять природу квантового шума и его действие. рис.8.2. Три подхода к квантовым преобразованиям, которые зквивалентны, но дают различные преимущества в зависимости от предполагаемого применения Упражнение 8.1 (унитарная эволюция как квантовое преобразоваиие). Чистое состояние эволюциоиирует при уиитариом преобразовании как ф) -+ Уф). Покажите, что то же самое можно записать в виде р -+ Е(р) и 11Р(1+, для Р = !Ф)(Ф~.
Упражнение 8.2 (измереиия как квантовые преобразования). Напомвим (см.равд. 2.2.3), что квантовое измерение с возможными результатами пт описывается набором измеряющих операторов М, таких что 2; М+М = 1. Пусть р — состояние системы непосредственно перед взмеревием. Покажите, что для Ею(Р) ы М РМ+ состояние системы сразу после измеревия можво представить как спт(Р) (8.5) сг(Е (Р)) Также покажите, что вероятность результата измерения раева р(тл) = сг(Е (Р)) 8.2.2 Окружающая среда и квантовые преобразования Динамика замкнутой квалтовой системы описывается унитарным преобразовавием. Умозрительно можно представить унитарное преобразование как черный 446 Глава 8.
Квантовый шум и квантовые преобразования Е(Р) = ~у, Ж(РВРе )Я (8.6) Конечно, если (у не содержит никакого взаимодействия со средой, то о'(р) = УРУ+, где (à — это часть сУ, которая действует на саму систему. Уравнение (8.6) — первое из трех эквивалентных определений квантовых преобразований. Р Е(Р) Рис.
8.3. Модели вамкиутой (слева) и открытой (справа) кваитовых систем. В денном определении существенную роль играло предположение, что исходное состояние системы — прямое произведение. Вообще говоря, это неверно. Квантовая система всегда взаимодействует со средой, что приводит к увеличению корреляций, одним из проявлений которых является теплообмен между системой и средой.
Предоставленная самой себе квантовая система будет релаксировать к состоянию с той же температурой, что и окружающая среда, т. е. между ними будет корреляция. Однако во многих случаях, представляющих практический интерес, резонно считать, что в начальный момент состояние системы и среды является прямым произведением. Когда экспериментатор приготавливает квантовую систему в определенном состоянии, он уничтожает все корреляции между системой и средой.
В идеальном случае корреляции были бы полностью разрушены, а система находилась бы в чистом состоянии. Даже если этого нет, как мы увидим далее, формализм квантовых преобразований позволяет описывать динамику квантовой системы и в тем случае, когда исходные состояния системы и окружающей среды не являются прямым произведением. ящик, на вход которого подается исходное состояние, а на выходе получается результат, как показано на рис. 8.3, слева.
Для наших целей внутреннее устройство ящика не существенно, его можно реализовать при помощи квантовой схемы, системы с некоторым гамильтонианом или каких-либо других средств. Естественный способ описания динамики отпкрвипоб квантовой системы— считать эту динамику следствием взаимодействия интересующей нас системы, которую будем называть основной, и окружаюецей среды. Вместе они образуют замкнутую квантовую систему (рис. 8.3, справа). Другими словами, предположим, имеется система, находящаяся в состоянии р, которую мы поместили в ящик, присоединенный к среде. Вообще говоря, окончательное состояние системы Е(р) может ие быть связанным унитарным преобразованием с исходным состоянием р.
Мы предполагаем (пока), что исходное состояние системы — это прямое произведение р З р,кр,. После преобразования У система больше не взэлмодействуег со средой и таким образом мы берем частичный след по окружению, чтобы получить приведенное состояние самой системы: 8.2. Квантовые преобразования 447 Другой важный вопрос: как задать У, если у среды фактически бесконечное число степеней свободы? Интересно отметить, что для адекватного описания любого возможного преобразования р -+ Е(р) оказывается достаточным описывать среду в гильбертовом пространстве размерности не более г)з, если гильбертово пространство основной системы имеет размерность г(. Также оказывается, что нет необходимости считать среду находящейся в смешанном состоянии в начальный момент, достаточно чистого состояния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
