М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Мы вернемся к этим вопросам в подразд. 8.2.3. Приведем практический пример использования уравнения (8.6): рассмотрим квантовую цепь из двух кубитов (рис. 8.4), где У вЂ” элемент енот с основной системой, являющейся управляющим кубитом и окружающей средой, находящейся в начальный момент в состоянии )р,„„) = (О) (О(, в качестве управляемого кубита.
Подставив эти выражения в уравнение (8.6), нетрудно заметить, что (8.7) Е = РоРРе + КРРм где Ро = (0)(0( и Р1 = (1)(1! — проекционные операторы. Интуитивно ясно, кэк происходит такое преобразование: среда остается в состоянии ~0), только если система находится в состояния )О), в противном случае состояние среды меняется в ~1). В следующем разделе мы выведем это уравнение в качестве примера представления операторной суммой.
б(р) (О Рис. 8.4. Элемент СЙОТ нан пример неантового преобрааованин одного нубита. Мы описали квантовые преобразования как нечто, возникающее в результате взаимодействия основной системы с окружающей средой, однако стоит обобщить это определение, чтобы оно позволяло использовать отличающиеся пространства ввода и вывода. Например, рассмотрим один кубит А, который приготовлен в неизвестном состоянии р. Трехуровневая система (екутритв) В, в начальный момент приготовленная в некотором стандартном состоянии ~0), начинает взаимодействовать с системой А посредством унитарного преобразования У, в результате чего полная система переходит в состояние У(р ® )0)(0!)У+.
Теперь отбросим систему А, оставив систему В в некотором конечном состоянии р'. По определению квантовое преобразование Е, описывающее такой процесс, имеет вид 448 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования Е(р) = р' = сглЯ(РЗ (0)(ООУ1). (8.8) 8.2.3 Представление операторной суммой Квантовые преобразования могут быть представлены в элегантной форме, известной как аредсшаеление оперотиорной суммой, которая по существу повторяет уравнение (8.6) в терминах операторов в гильбертовом пространстве только основной системы. Главный результат мотивируется следующими простыми выкладками. Пусть ~еь) — ортонормировалный базис в (конечномерном) пространстве состояний среды, а р»„р — — )ео) (ео( — ее исходное состояние.
Вез потери общности можно считать, что начальное состояние среды чистое, так как, если оно смешанное, можно ввести дополнительную систему, очищающую состояние среды (см. рэзд. 2.5). Хотя эта дополнительная система фиктивная, она не влияет на динамику основной системы и может быть использована в качестве промежуточного шага в вычислениях. Уравнение (8.6) можно переписать в виде Е(Р) = ,')»,ЫЦРЗ ~ео)(есф1~еь) = ~ Еь РЕ~, (8.9) (8.10) Заметим, что Е переводит операторы плотности исходной системы А в операторы плотности результирующей системы В. В дальнейшем по большей части будут обсуждаться квантовые преобразования «над» некоторой системой А, т.
е. те, которые переводят операторы плотности системы А в операторы плотности системы А. Тем не менее иногда в приложениях оказывается полезным использовать более общее определение. Такое определение можно получить, назвав квантовыми преобразованиями класс отображений, которые возникают как результат следующей процедуры: некоторая исходная система приготовлена в некотором неизвестном квантовом состоянии р. Затем она приводится в контакт с другими системами, приготовленными в стандартных состояниях, при этом взаимодействие описывается некоторым унитарным оператором. После этого часть объединенной системы отбрасывается и остается одна окончательная система в некотором состоянии р'. Квантовое преобразование, определяющее такой процесс, просто переводит р в р'.
Такое обобщение позволяет естественным образом сочетать несовпадающие пространства ввода и вывода в нашей трактовке квантовых преобразований представлением операторной суммой и в наших аксиоматических построениях. Все же в большинстве случаев можно упростить рассуждения предположением о том, что пространства ввода и вывода квантового преобразования совпадают, используя удобное разделение на «основную систему» и «среду», которое в общем случае, не имеет места.
Иногда мы будем давать упражнения для демонстрации необходимых обобщений в случаях, когда пространства ввода и вывода различаются. 8.2. Квантовые преобразования 449 где Еь = (еь~Цее) — оператор в пространстве состояний основной системы. Уравнение (8.10) называется представлением Е операторной суммой, а операторы Еь — элелтентпами преобразования Е. Указанное представление важно, в оставшейся части книги мы неоднократно будем его использовать.
Элементы преобразования удовлетворяют важному ограничению, известному как соотлноатенае палнотьб аналогичному соотношению полноты для матрицы эволюции в описании классического шума. В классическом случае это соотношение полноты проистекает из условия нормировки распределения вероятности.
В квантовом случае соотношение полноты возникает из аналогичного требования о том, что след Е(р) равен единице: (8.11) 1 = сг(Е(р)) = Сг ~~~ ЕьрЕьт = Сг ~~ ЕьтЕьР (8.12) (8.13) Так как это соотношение верно для всех р, должно выполняться тождество (8.14) Е(р) = т ЕьрЕьт (8.15) 29 кои н Данное уравнение справедливо для сохраняющая след квантовых преобразований. Существуют также квантовые преобразования, не сохраняющие следа, для которых ',> ьЕь+Еь < 1, но они описывают процессы, в которых дополнительная информация о происходящем приобретается при измерении (далее мы объясним это подробнее).
Отображение Е вида (8.10), для которого ~ ь Е+ь Еь < 1, дает наше второе определенае квантового преобразования. Ниже будет показано, что это определение по существу совпадает с первым (8.6) и фактически является несколько более общим, поскольку учитывает квантовые преобразования, не сохраняющие следа. Мы часто будем возвращаться к первому определению, а затем опять использовать второе: из контекста должно быть ясно, каким из определений мы пользуемся в каждом случае. Упражнение 8.3. В нашем выводе представления операторной суммой неявно предполагалось, что пространства ввода и вывода преобразования совпадают.
Предположим, составная система АВ, находившаяся вначале в некотором неизвестном состоянии р, приводится в контакт с составной системой СР, находившейся вначале в некотором стандартном состоянии ~0). Эти две системы влияют друг на друга посредством унитарного взаимодействия 1т'. После взаимодействия мы отбрасываем системы А и Р, получая состояние р' системы ВС. Покажите, что отображение Е(р) = р' удовлетворяет равенству 480 Глава 8. Квантовый шум и квантовые преобразования 11 = Ро ® 1+ Р~ Э Х, (8.16) где Х вЂ” обычная матрица Паули (действующая на среду), а Ро гв )0)(0~ и Р~ ьз ~1)(Ц вЂ” проекторы (действующие на систему).
Найдите квантовое пре- образование этого процесса в представлении операторной суммой, считая, что начальное состояние среды есть ~0). 'Упражнение 8.5 (переворот снипа). То же, что в предыдущем упражне- нии, но Х У У = — ~В 1 + — З Х. ~/2 ~/2 (8.17) Найдите квантовое преобразование для этого процесса в представлении бпера торной суммой.
'Упражнение 8.6 (композиция преобразованиИ). Предположим, что Е и Р— преобразования одной квантовой системы. Покажите, что композиция Ро Š— это квантовое преобразование в том смысле, что у него есть представление операторной суммой. Сформулируйте и докажите обобщение этого результата на случай, когда Е и Р не обязательно имеют совпадающие пространства ввода и вывода. для некоторого набора линейных операторов Еы отображающих пространство состояний системы АВ в пространство состояний системы ВС, таких что ',С„Еь+Еь = 1. Представление операторной суммой существенно, поскольку позволяет дать внутренние характеристики динамики основной системы.
Такое представление описывает динамику основной системы без необходимости явно рассматривать свойства среды — все, что нам нужно знать, сосредоточено в операторах Еы которые действуют только на основную систему. Это упрощает вычисления и часто способствует лучшему пониманию. Более того, многие различные взаимодействия со средой могут привести к одной и той же динамике основной системы.
Если интересна именно динамика основной системы,то имеет смысл выбирать представление, которое не включает в себя несущественную информацию о других системах. Б конце этого подраздела исследуются свойства представления операторной суммой, и, в частности, его некоторые особенности, Так, будет дана его физическая интерпретация в терминах элементов преобразования Еы Естественно возникает вопрос: как представление операторной суммой может быть определено для любой открытой квантовой системы (при условии, что, например, задано взаимодействие между системой и средой или какая-то иная информация)? Ответ на этот вопрос — вторая тема, которая будет затронута в заключительной части данного подраздела. Обратная задача — как построить модель открытой квантовой системы для любого представления операторной суммой — завершает этот подраздел.
Упражнение 8.4 (измереиие). Предположим, имеется однокубитовая главная система, взаимодействующая с однокубитовой средой посредством преоб- разования 8.2. Квантовые преобразования 451 Физическая интерпретация представления операторной суммой Существует занятная интерпретация, которую можно дать представлению операторной суммой. Представьте себе, что над средой в базисе (ек) выполняется измерение после применения унитарного преобразования У. Применяя принцип неявного измерения, можно видеть, что такое измерение влияет только на состояние среды и не изменяет состояния основной системы, Пусть рк — это состояние основной системы, соответствующее полученному результату й, т. е.
рк сс сгв(~ек)(ек~Щр® /ео)(ео()У1!ек)(ек$) = (ел~81(рЗ ~ео)(ео()УЦек) (8.18) = ЕкрЕк1. (8.19) Нормируем рк, Ек рЕк Гг(ЕкРЕк) и находим вероятность получения Й: (8.20) р(1с) = Саек) (ек(Щр З ~ео) (ео 00т~|ек)(ек~) = сг(ЕкрЕк1). (8.21) (8.22) Следовательно, Г = т'э р('гс)рк = ~ ЕкрЕк.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
