М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Включая,у(~) в гамильтоняане Гейзенберга (7.174) на соответствующее время, можно реализовать оператор эволюция У = ехр ( — 4яЯ~ ° Яз). Покажите, что У эквивалентен операции обмена зшлг. Элемент ~/зйлР, который реализуется за вдвое меньшее время, является универсальным. Найдите явный вид этого элемента и покажите, как с помощью него и однокубитовых операций реализовать элемент СМОТ. 7.8.
Другие варианты реализации 431 Наконец, если появятся технологии, позволяющие удерживать отдельные ядерные спины в полупроводниках, манипулировать ими и делать измерения, возможен следующий подход. Предположим, что можем поместить отдельный атом з~Р (ядерный спин 1/2) в задаиную точку кристаллической подложки из ~Й (ядерный спин О), над которой располагаются литографически нане. сенные электростатические затворы. Эти затворы позволяют управлять ковфигурацией электронного облака, окружающего примесь фосфора, а звачит и магнитным полем, в котором иаходится ядервый спин фосфора.
Таким образом можно реализовать однокубитовые операции. Используя дополнительные затворы, расположевные между двумя атомами фосфора, можно искусствевно сформировать электронное облако, соединяющее эти атомы (аналог химической связи), что позволяет реализовать двухкубитовые операции. Изготовить подобную структуру очень сложно — например, расстояния между затворами должны быть не более 10 нм, а примеси з~Р должны прикрепляться строго в предписанные им позиции. Тем не меиее, данный подход показывает, что квантовые вычисления, возможно, могут быть реализованы с помощью более или менее традиционных вычислительных технологий. Из всех описаиных нами схем реализации квантового компьютера наиболее перспективными с технологической точки зрения представляются схемы, основанные на твердотельных системах.
Вместе с тем, предлагаются все новые и новые варианты квантовых вычислений с использованием атомов, молекул и фотонов, например в таких системах, как оптические решетки (искусствениые кристаллы, состоящие из атомов, удерживаемых в ловушке из пересекающихся световых лучей), где можно наблюдать Бозе-кондесацию. Возможио, что когда-нибудь для квантовых вычислеиий окажутся полезными мезоны, кварки, глюоны или даже черные дыры.
Но все же основные надежды связываются именно с методами физики твердого тела. Напомним, однако, что прежде чем в ковце 40-х гг. ХХ в. был создан трелзистор, потребовались мировые инвестиции в развитие полупроводниковых технологий порядка 1 триллиона долларов США. Развитие физики конденсированного состояния уже позволило открыть много иовых физических эффектов, например, сверхпроводимость, квантовый эффект Холла или кулоиовскую блокаду (классический эффект, открытый в то время, когда казалось, что про классическую физику уже давно все извество). В этой главе нас в основном интересовала реализация устройств, выполняющих квантовые вычисления.
Отдельные компоненты этих устройств могут оказаться полезвыми для других квантовых приложений. В частности, квантовая криптография и ее экспериментальная реализация описаны в раэд. 12.6. В равд. «История и дополнительная литератураь приведеиы ссылки на экспериментальные работы по квантовой телепортации и сверхплотному кодированию. Квантовые вычисления и передача информации тесно связаны друг с другом, что видно, например, из конструкции распределенных квантовых вычислений. Их экспериментальная реализация и разработка новых алгоритмов †несомнен очень перспективная область исследований.
Интерес к квантовым компьютерам и квантовым канелем связи связан в основном с надеждой иа их практическое использование. Кроме этого, как мы 432 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация увидели в ывстоящей главе, теория квантовых вычислений и квантовой информации способствует более глубокому пониманию свойств физических систем и является источником ыовых задач. Действительно, при рассмотрении систем из многих частиц, как правило, исследуются их статистические и термодинамические свойства. При этом требуется, зывя свойства отдельных атомов, описать свойства всей системы.
Напротив, в теории квантовой информации наибольшее внимание уделяется динамическим свойствам одиночных квантовых систем. Мы нвдеемся, что данный подход покажется вам полезным, и после прочтения этой главы вы будете продолжать думать о физике «алгоритмическим Задача 7.1 (эффективнвя временная разметка). Предложите эффективыую схему (состоящую из 0(ро1у(п))-элементов), которая осуществляет циклическую перестановку всех диагональных элементов в матрице плотности размера 2" х 2", зв исключением элемента )О") (О"!. Задача 7.2 (вычисления с линейной оптикой). Предположим, что, выполняя квантовые вычисления с одиночными фотоывми, вместо двойственного представления (подрвзд. 7.4.1) мы используем унарное представление, твк что 2" кубитовых бвзисыых состояний представлены квк (00... 01), )00...
010), !00... 0100),..., !10... 0). 1. Покажите, что произвольыое унитарное а-кубитовое преобразование этих состояний можно реализовать, используя только светоделители и фвзоврвщатели (т. е. без нелинейных сред). 2. Постройте схему, состоящую из светоделителей и фвзоврвщвтелей, которая реализует алгоритм Дейча-Йожв для одного кубита.
3. Постройте схему, состоящую из светоделителей и фазоврвщателей, которая реализует квантовый алгоритм поиска для двух кубитов. 4. Докажите, что для реализации унитарного преобразования общего вида потребуется схема из экспоыеыцивльного по п числа элемеытов. Задача 7.3 (управление через гамильтоыиаы Джейнса-Каммиыгса). Для того, чтобы выполнять квантовые вычисления, ыужно уметь управлять динамикой небольших квантовых систем через квкую-то внешнюю классическую степень свободы. Замечательно, что для атомных состояний такое управление можно осуществлять прн помощи оптических импульсов, причем суперпозиции атомных состояний сохраняют когерентыость достаточно долго.
В двиной задаче мы установим, при каких условиях возможно такое управление. Приведем сначала выражение для гамнльтонивнв Джейысв-Каммингсв, описывающего взаимодействие одиночного атома с одной модой электромагнитного поля: Н = а1сг + ао+, (7.175) где оь — атомные операторы, в а и а1 — операторы поля. 7.8. Другие варианты реализации 433 1. Рассмотрим матричный элемент (7.176) А„= (и!У!а), где П = е'~ *, !а) — когерентное состояние, !и) — состояние с и фотонами. Заметим, что А„является оператором, действующим на атомные состо- яния.
Проверьте, что ! !1!а~ сов(д /й) 81п(0 /й) и! ~ — 4 +7 з!п(д,/й + 1) соэ(0,/и + 1) ~ ' ( Уксзаиие. Используйте результаты упр. 7.17.) ,х" р„=с *— и! (7.178) Рд ()=* * д~ ° !')-О'- ~/х. Используя замену переменных п = х — Ь~/х и формулу Стирлинга а! ею Лтип" е (7.179) покажите, что е -ь2/э Рь = —.
~/Ы ' (7.180) 3. Наиболее важными является оператор А„при п = !а!~. Пусть и = аз+.ба. 1 / а=у — +— 1 Х и Ь=у — + — +1, (7.181) У У где у = 1/а,покажите, что -ь~/4 (2я)!/4 ~ ЯЬ) ешЬр сезар где у = а/д. Проверьте также, что А),Аь Ы =1. (7.183) 4. Идеальное унитарное преобразование атомных состояний можно записать в виде соэ ад ! з!пад 1 ~ 4в!пад созад ~ (7.184) 28 кое юев ваа я 2. Предположим, что а достаточно большое. Без потери общности можно считать а вещественным. Рассмотрим распределение вероятностей 434 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация Насколько Аь близко к У? Попробуйте оценить степень совпадения У'= пйп / ~(ф(У~Аь)ф)(з 4Т, !Ф> .У-, (7.186) разлагая ее в ряд Тейлора по р.
Т'„-""(д) = ехр (е'"!00)(1Ц+ е 'т)11)(00! + е тЛ!01)(12!+ е '"'~/2!12) (ОЦ +...) — ~, (7 186) 181 где б = х соэ ~р+ у е!и у, а состояния обозначаются как ~ атом, поле). Коэффициент ~/2 возникает из за того, что для бозонных состояний а" ~п) = ~/н + Цн+ 1). 1. Покажите что Т„"-~~" 3 (я) переставляет местами внутреннее и колебательное состояния атома у, при условии, что начальным колебательным состоянием было ~0).
2. Найдите значение д, при котором Т'„-""(д), действуя на любое состояние в вычислительном подпространстве, порожденном векторами )00), 101), ~10) и ~11), при любом б оставляет его в этом подпространстве. 3. Покажите, что если Т'„-""(у) сохраняет вычислительное подпространство, то при любом выборе угла поворота д и оси а оператор У Гсин( 8) Тини(и) Тсии(Р) аннет вы ~атель~ стран ство. 4.
Найдите значения а и 11, при которых оператор У диагонален и имеет следующий вид: е -си?Л 0 0 0 — 1 0 0 0 1 0 0 0 е'и? ~~ (7.187) Задача 7.4 (вычислення на двухуровневых атомах в ловушке). При реализации скот в подразд. 7.6.3 мы в целях упрощения рассматривали трехуровневые атомы. В данной задаче демонстрируется, как можно обойтись двумя уровнями, правда за счет некоторых дополнительных усложнений. Обозначим через Т'„-"","(д) операцию, реализуемую действующим на р-ю частипу лазерным импульсом с длительностью д~(Ф/Ой и с частотой, соответствующей синей боковой полосе и = П + м,. Аналогичную операцию для красной боковой полосы обозначим через Т",ганн(д).
Направление й задаег ось вращения, лежащую в плоскости й — у, и определяется фазой лазерного излучения. Если из контекста ясно, о каком атоме идет речь, индекс у будет опускаться. В явном виде операция Т'„-""3(д) записывается следующим образом: 7.8. Другие варианты реализации 435 б. Покажите, что с помощью элемента (7.187) и однокубитовьпс операций можно реализовать элемент скот, в котором два кубита представлены внутренними состояниями двух атомов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
