М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Трудность состоит в том, что результатом работы квантового алгоритма, как правило, является случайная величина. Зная ее распределение вероятностей, можно решить задачу. К сожалению, знание только среднего значения этой случайной величины вообще говоря еще не дает всей необходимой для нахождения ответа информации. Если, используя метод ЯМР, мы выполним квантовый алгоритм без всякой его модификации, то получим именью среднее значение, поскольку измерение выполняется ые нзд отдельной и-спинозой молекулой, а над большим ансамблем таких молекул. Эту трудность иллюстрирует следующий пример.
Квантовый алгоритм разложения на множители дает в качестве промежуточного результата случайное рациональное число вида с/т, где с — неизвестное целое число, а т — целое число, которое нас интересует. Подчеркнем, что число с/т получается при использовании проективных измерений. Далее, используя классический алгоритм разложения в цепные дроби, можно с большой вероятностью определить число с (подразд. 5.3.1). Затем мы проверяем, является ли число т делителем, и если нет, повторяем весь алгоритм еще раз. К сожалению, в случае ансамблевых измерений можно узнать только среднее (с/т).
Поскольку с распределено приблизительно равномерно, из этого среднего нельзя извлечь никакой информации о значении т. 7.7. Ядерный магнитный резонанс 419 Тем не меыее, у этой проблемы существует простое решение, которое применимо вообще ко всем алгоритмам, связанным с задачей о скрытой подгруппе (гл. 5). Оно состоит в том, чтобы включить все классические вычисления, завершающие работу алгоритма, в квантовую часть алгоритма. Это всегда возможно, поскольку классические вычислеыия это частный случай квантовых. В вышеприведенном примере каждый квантовый компьютер, входящий в ансамбль (т. е.
каждая молекула) должна выполнить разложеыие в цепную дробь, найти г и проверить, является ли г делителем. Далее, можно модифицировать алгоритм так, что в измеряемый сигнал дадут вклад лишь те молекулы, в которых проверка на делимость прошла успешно. Окончательным результатом измерения будет среднее по аысвмблю число (г). 7.7.4 Эксперимент Одним из ыанболее привлекательных аспектов метода ЯМР является то, что уже удалось экспериментально осуществить некоторые квантовые вычисления. В этом разделе, завершающем обсуждение метода ЯМР, мы кратко опишем три эксперимента, продемонстрировавших томографию квантового состояния, элементарные логические элементы и квантовый алгоритм поиска. Мы также обсудим недостатки метода ЯМР.
Томография квантового состояния р = — 1+ ~ ~гьаь (7.166) где оь — матрицы Паули, а гь — вещественный трехкомпонентный вектор. По- скольку матрица Паули обладает свойством ортогональности эг(оьа ) = 2бьб (7.167) можно восстановить р, зная результаты трех измерений (7.168) гь = (оь) = сг(рог). Если предварительыо применить нужные однокубитовые импульсы, стандартное ЯМР измерение (7.143) позволит определить (оь), и, таким образом, найти р. Аналогичное утверждение справедливо и для большего числа спннов. На гг Как мы обычно отлаживаем программу на классическом компьютере? Ее работу можно проанализировать, измеряя выутреынее состояние компъютера в различные моменты времени.
Аналогично, в случае квантового компьютера ыам потребуется методика, позволяющая определить его матрипу плотности. Эта методика называется томографией квантоврго состояния. Напомним, что матрица плотности одного кубита может быть представлена как 420 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация зо го го о чо -го -зо -г -4 Рис. 7.18. Экспериментальное измерение матрицы плотности в разностной форме. Выбран условный масштаб по вертикальной оси и показаны лишь вещественные части матричных элементов; все мнимые части малы по сравнению с вещественными.
Слева вверху а — термодинамически равновесное состояние двух спиноз ЯМР наблюдался на протоне и ядре углерода в молекуле хлороформа (ззСНС!з) в магнитном поле 11,76 Тл Образец был приготовлен з виде раствора 0,5 миллилитров (200 миллимолей) хлороформа в ацетоне-ое, дегазованного и запаянного в тонкостенную пятимиллиметровую ампулу. б — эффективно чистое состояние, приготовленное с использованием временной разметки на молекуле хлороформа, см (7.161), в— термодинамически равновесное состояние трех спиноз ЯМР наблюдался на трех ядрах фтора а молекуле трифторатилена, г — эффективно чистое состояние системы из трех спиноз, прин» товленное с использованием логической разметки, см (7.166). Квангповые логические элементьг В силу ряда причин два ядерных спина протона и углерода в молекуле хлороформа представляют собой очень хорошую систему для реализации одноку- практике удобно работать с бесследовой частью матрицы р, которая называется разностной формой матрицы плотности.
Примеры томографии для двух и для трех спинов показаны на рис. 7.18. Упражнение 7.45 (ЯМР-томография квантовых состояний). Рассмотрим систему из двух спиноз в состоянии р. В девяти экспериментах измеряется девять сигналов ьгь(1) = ьгосг ~е ггнгМарМа)е'нг(гХЬ + )га)1, здесь Мо = 1, Мз = Всы Мг = Взз, Мэ = В ю М4 = В гВы, Мо = В,гВзз, и т. д. Покыките что эти эксперименты позволяют однозначно восстановить состояние системы Р.
'Упражнение 7.46. Сколько экспериментов достаточно (необходимо) провести для ЯМР-томографии состояния трех свинов? 7.7. Ядерный магнитный резонанс 421 битовых и двухкубитовых логических элементов. В поле лв 11, 8 Тл частоты прецессии этих спинов равны дв 500 МГц и — 125 МГц. Таким образом, резонансные частоты хорошо разнесены и можно избирательно воздействовать на каждый спин.
Частота спин-спинозой .7-связи равна 215 Гц. Соответствующий ей период гораздо больше длительности радиочастотных импульсов, но вместе с тем гораздо меньше характерного времени релаксации. Типичные времена релаксации: Тг = 18 с и Тз = 7 с для протона; Тг = 25 с и Тг = О, 3 с для углерода. Такая малая величина Тз для углерода обусловлена его взаимодействием с тремя квадрупольными моментами ядер хлора. Тем не менее, оценивая произведение наименьшего Тз на частоту,7-связи, мы видим, что за время когерентности можно реализовать примерно 60 логических элементов.
о, о', о,' о,' -о, -о,' -а,' -о', 1 о,а О,б О,'4 о,'г о -о,г -0,4 -0,6 -о',а г1 Рис. 7.19. Квантовые схемы, реализованные методом Я|ир, и вещественные части экспериментально измеренных матриц плотности в разностной форме На изображенных схемах 71е и Вэ — однокубитовые повороты на 90' вокруг осей В и р, реализованные радиочастотными импульсами длительности около 10 мкс Двухкубитовый оператор е гн' гл4 описывает свободную молюцию в течение времени 1/44 ю 4,3 мс Наверху схема для элемента СНОТ с термодинамически равновесным состоянием нз входе В выходном состоянии диагональные элементы, соответствующие (10) и )11), переставлены, что соответствует классической таблице значений элемента СНОТ.
Внизу. схема, создающая состояние Белла 000) — (11))/Л, и результат ее работы На вход схемы подается эффективно чистое состояние )00) Гамильтониан этой двухспиновой системы хорошо аппроксимируется выражением (7.147). Его можно существенно упростить, если использовать в эксперименте два вспомогательных модулирующих осциллятора, частоты которых равны частотам прецессии протона и углерода. Во вращающейся системе отсчета, определяемой этими осцилляторами, упрощенный гамильтониан имеет вид (7.169) Н = 2иЬЯгюю где,7 = 215 кГц. С помощью этого гамильтониана можно легко реализовать 422 Глава 7.
Квантовые компьютеры: физическая реализация Кеантлоеые оагоритпмы Еще один простой пример квантовых вычислений методом ЯМР— это реэ лизация алгоритма Гровера. Рассмотрим задачу поиска в списке из четырех элементов (т. е. для и = 2 кубитов). Это значит, что задана функция Дз), х е (1,2,3,4), такая, что )(я) = 0 для всех з ф яс и 7(хс) = 1.
Требуется най. ти элемент зо. В классическом случае для этого необходимо вычислить у(х) в среднем 2,25 раз, тогда как квантовый алгоритм позволяет найти яо, вычцсляя функцию 7" только один раз (гл. 6, вставка 6.1). Нам потребуются три оператора: оракул О, изменяющий знак состояния в зависимости от значения функции у, оператор Адамара Не~, применяемый к двум кубитам одновременно, и условный сдвиг фазы Р.
Оракул О изменяет знак базисного состояния, соответствующего хс, например, для зс = 3 он имеет вид 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 — 1 (7.170) элемент Скот. На рис. 7.19 изображена схема, реализующая Скот с точностью до однокубитовых фазовых сдвигов, а также схема, создающая состояние Белла. Для каждой схемы показаны экспериментально измеренные результаты.
'Упражнение 7.47 (ЯМР-реализация сыот). Проверьте, что схема, изображенная в верхней части рис. 7.19, действительно реализует элемент Скот с точностью до однокубитовых фазовых сдвигов (т. е. что она правильно переставляет классические входные состояния и после применения дополнительных однокубитовых В;вращений превращается в квантовый скот). Предложите еще одну схему из тех же самых блоков, реэлизующую скот. упражнение 7.48. Проверьте, что схема, изображенная в нижней части рис. 7.19, действительно создает состояние Белла (!00) — )11))/~/2. Упражнение 7.49 (элемент обмена). Важное применение метода ЯМР в химии состоит в определении структуры молекул, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
