М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Упражнение 7.33 (магнитный резонанс). Покажите, что формула (7.128) действительно сводится к (7.129). Для заданного гамильтониана (7.135) во вращающейся системе отсчета найдите соответствующий гамильтониан в лабораторной системе отсчета. Упражнение 7.34 (частоты ЯМР). Используя зыачение ядерного магнетона Бора, найдите частоту прецессии для протоыа в магнитном поле 11, 8 Тл. Какова должна быть напряженность Вм чтобы поверыуть спин на 90' за 10 мкс? Спин-спиновое взаимодействие Как правило, ядра, которые мы могли бы использовать, например ~Н, гзС, 'эг и гз1 1, имеют несколько спинов 1/2.
Взаимодействие между спинами возникает за счет двух основных механизмов: непосредственное дипольное взаимодействие и косвенное взаимодействие, происходящее с участием орбитальных электронов. Гамильтоыиан, описывающий днпольное взаимодействие, имеет вид, НГ г —— — ~тг ог — 3(оГ й)(ог ° й)~, и 7г7гй Г 4 (7.136) В,У „З.У йу Г НГ г = — оз ' тг = Ез ог+ — ~о+о + гг о+~. 4 4 (7.137) Нас будет интересовать случай, когда,У вЂ” скаляр (вообще говоря, это может быть теызор), что является хорошим приближением, если речь идет о жидко- сти и взаимодействие слабое, или когда два взаимодействующих ядра имеют сильно различающиеся частоты прецессии. В последнем случае где й — единичный вектор, задающий направление от первого ядра ко второму, а о — вектор магнитного момента (умноженный на два).
В жидкости с малой вязкостью, дипольные взаимодействия исчезают при усреднении по ориентациям молекул. Действительыо, если скорость поворота молекулы, определяемая вязкостью, много больше скорости, определяемой силой дипольного взаимодействия, мы можем усредыить Нз~г по й, что дает ноль. Взаимодействие через орбитальыые электроны, называемое также,У-связью, возникает благодаря тому, что спины ядер взаимодействуют с электронами своих атомов (контактное взаимодействие Ферми), а волновые функции электронов различных атомов перекрываются друг с другом. Это взаимодействие описывается гамильтонианом 410 Глава 7.
Квантовые компьютеры: физическая реализация Термодинамическое равновесие Существенное отличие ЯМР от других физических моделей, которые рассматривались ранее в этой главе, состоит в том, что в ЯМР речь идет об ансамбле систем, и все измерения, которые мы делаем, сводятся к усреднению по ансамблю. Кроме того, мы не совершаем никаких специальных действий, чтобы привести систему в какое-то фиксированное начальное состояние, например в основное состояние; современный уровень эксперимента это пока не позволяет. Вместо этого мы используем в качестве начального термодинамически равновесное состояние, т. е. е -Рн Р= г ' (7.139) где 11 = 1/ЙвТ, а Я = еге Р— статистическая сумма, определяемая из условия нормировки сг(р) = 1.
Поскольку при комнатной температуре 13 10 4, для большинства ядер мы можем использовать высокотемпературного. прибли- жение 2-о ~1 (7.140) где и — число спиноз. Так как спин-спиновые взаимодействия малы по сравнению с частотами прецессии спвнов, равновесную матрицу плотности р в первом приближении можно считать диагональной в Я-базисе, т.
е. ее можно рассматривать как статистическую смесь чистых состояний )00... 0), 100... 1),..., ~11... 1) . Естественно, это не значит, что каждая из молекул, входяппгх в ансамбль, может находиться только в одном из этих состояний, поскольку представление матрицы плотности в виде смеси чистых состояний неоднозначно. В принципе истинное физическое состояние может быть измерено методом ЯМР, если есть доступ к отдельным молекулам,но экспериментально это очень сложно.
Упражнение 7.36 (термодинамическн равновесное состояние ЯМР). Покажите, что для и = 1 равновесное состояние имеет вид (7.141) а для и = 2 и ю, ю 4ыв 5 0 0 0 0 3 0 0 0 0 — 3 0 0 0 0 — 5 1 баев Р ' 4 4йвТ (7.142) 6 Н,', = —,7Я,Я,. 4 (7.138) 'Упражнение 7.35 (вращательное утоньшение) . Покажите, что при усреднении Н~1д по б действительно получается ноль. О.2 о НОО $00 -200 -200 ЧОО 0 100 200 200 400 500 Частота в гц; 0=125.77 Мгц Рис. 7.17. Углеродный спектр трихлорвтилена, маркированного 2ОС.
Четыре линии справа при- надлежат ядру углерода, соседнему с протоном, всего их четыре ив-ва спаривания с протоном и вторым ядром углерода Четыре расположенных рядом линии справа — сигнал от второго ядра углерода. Оно далыне от протона, чем первое, повтому спаривание слабее. Измерение намагниченности Основная информация, которую можно извлечь из эксперимента, заключена в сигнале свободно затухающей индукции, который мы можем зэписэть как У(8) = Ус 12~е енсреел'(гХе+ Уь)1, (7.143) где матрицы Паули Хь и Уь действуют только нэ и-й спин, Ус — постояинэя, зависящая от геометрии катушек, добротности и максимального магнитного потока через образец.
Этот сигнал поступает с приемных катушек, измеряющих намагниченность образца в плоскости х — у. В лабораторной системе отсчета этот сигнал модулируется осцилляциями нэ частоте прецессии ядра ыо. Однако, обычно сигнал У(1) смешивается с опорным сигнэлом частоты ыо и после преобразования Фурье мы получим окончательный сигнал, подобный тому, что показан нэ рис. 7.17.
Упражнение 7.37 (ЯМР спектр для пары связанных спинов). Найдите У($) для Н =,ЩЯ2 и р = еевтг!4 Ц1 — 1Ц400(Я2 + 22))е '~тг!4. Сколько линий было бы в спектре первого спина, если бы гэмильтониэн был Н =,782 (Я2+ Яэ+ Я4) (с той же начальной мэтрицей плотности)? Кение были бы относительные высоты этих линий? О.в $ 44 ге 00 0.4 и 7.7.
Ядерный магнитный резонанс 411 412 Глава 7. Квантовые компьютеры: физическая реализация «То«иеря когеревтаностаи Одной из основных характеристик сигнала свободно затухающей индукции, подробное описание которой выходит за рамки нашей модели, является экспоненциэльное затухание сигнала намагниченности. Это обусловлено, в частности, неоднородностью постоянного магнитного поля, из-за которой частота прецессии спинов в разных частях образца различна. Эффекты, связавные с неоднородностями поля, в принципе являются обратимыми. Существуют также принципиально необратимые механизмы потери фазы, например спинспиновое взаимодействие.
Другой необратимый механизм — взаимодействие ядерных спинов с окружающей средой, приводящее к установлению термодинамически равновесного состояния. В ходе этого взаимодействия полная энергия системы спинов изменяется. Если рассматривать состояние только одного спина, эти эффекты можно феноменологически описать следующим преобразованием матрицы плотности: ! а Ь 1 ~ (а — ао)е '7т1+а Ье-гl ът« Ь 1 — а ~ ~ Ь е чгтг (ао — а)е чт1+1 а где Т1 и Тг — времена спин-решеточной (продольной) релаксации и спин спинозой (поперечной) релаксации, а параметр ао характеризует равновесное состояние. Два времени релаксации Т1 и Тг задают важные масштабы, характеризующие время жизни неравновесных классических состояний и квантовых суперпозиций соответственно. Существуют хорошо развитые теоретические методы вычисления Т1 и Тг для разных веществ; их измерение играет важную роль при использовании ЯМР для химического анализа.
Хорошо известны также экспериментальные методы измерения Т1 и Тг. Обозначим через Вг = е г"Яг«импульс, поворачивающий спин на 90' вокруг оси й. Чтобы измерить Тм можно применить Вг, затем выждать время т и применить Вг. Первый импульс поворачивает спин на 180', после чего он релаксирует в течение времени т обратно в равновесное состояние (а на сфере Блоха, где северный полюс соответствует основному состоянию, вектор Блоха сначала переворачивается вниз, а затем релаксирует обратно).
Второй импульс В поворачивает намагниченность на 90' в плоскость й — у, после чего она измеряется. Измеренная намагниченность М как функция т затухает по экспоненциальному закону М = Ма[1 — 2 ехр (-т/Тг)). Для того, чтобы определить Тг, в первом приближении можно просто измерить ширину резонансного пика. Метод Карра-Парселла-Мэйбума-Гилла позволяет измерить время Тг более точно. В этом методе сначала применяется операция В, после чего совершается Ь итераций процедуры «выждать время т/2, применить Вг, выждать время т/2, применить Вгм Данная последовательность импульсов осуществляет периодическую рефокусировку спиноз (см.
подразд. 7.7.3) и поэтому неоднородности поля Во становятся менее существенными. Измеренная намагниченность затухает по закону М = Мое' 7т«. 7.7. Ядерный магнитный резонанс 413 Рал«ильтониан длл нескольких епинов После обсуждения ЯМР-гамнльтониана для одного и двух спинов мы можем записать ЯМР-гамвльтониал для системы из и связанных спиыов: ~ + ~'Н.т + Нгч+ э, Нр + Н«г ь ~,ь ~,ь (7.145) Здесь первое слагаемое описывает свободную прецессию спиыов во внешыем поле, Нг' — магнита-дипольное взаимодействие (7.136), Нх — спин-спиновое взаимодействие типа «,У-связь», (7.137), Нг ~ — внешйее радиочастотное магнитыое поле и Н«э — взаимодействие с окружающей средой, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
